2025版新教材高考数学全程一轮总复习第八章解析几何第七节双曲线及其性质学生用书

第七节双曲线及其性质【课标标准】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.驾驭双曲线的简洁几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简洁应用．必备学问·夯实双基学问梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．2．双曲线的标准方程和简洁几何性质标准方程x2a2-yy2a2-x图形性质范围________________________对称性对称轴：________，对称中心：________顶点________________________渐近线________________________离心率e＝ca实轴与虚轴实轴|A1A2|＝________；虚轴|B1B2|＝________；实半轴长________，虚半轴长________a，b，c的关系c2＝________(c>a>0，c>b>0)[常用结论](1)双曲线的焦点到渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.(3)焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为b2(4)与双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的肯定值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)等轴双曲线的渐近线相互垂直，离心率等于2.()(3)双曲线x2m2-y2n2＝λ(m>0，n>0，(4)关于x，y的方程x2m-y2n2．(教材改编)双曲线2x2－y2＝8的渐近线方程是()A．y＝±12x B．y＝±2C．y＝±2x D．y＝±223．(教材改编)经过点A(4，1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．4．(易错)已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点5．(易错)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3关键实力·题型突破题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程()A．x2－y28＝1(B．x2－y2C．x2－y28＝1(D．y28－x(2)[2024·河南郑州模拟]已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上．若△AF1F2A．17a2 B．15a2C．214a2 D．215a2[听课记录]题后师说(1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解此类题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的肯定值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)利用双曲线定义求方程，要留意三点：①距离之差的肯定值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．巩固训练1(1)一动圆P过定点M(－4，0)，且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆P的轨迹方程是()A．x24-y212＝1(x≥2)C．y24-x2(2)[2024·黑龙江齐齐哈尔模拟]设F1，F2分别是双曲线x24-y245＝1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2A．143B．715C．153D．515题型二双曲线的标准方程例2(1)双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为()A．x220-y2C．y220-x2(2)[2024·山东济南历城二中模拟]由伦敦闻名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完备结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2-x2b2＝1(aA．y29-x2C．y23－x2＝1 D．(3)[2024·辽宁沈阳模拟]焦点在x轴上的双曲线C与双曲线x24-y29＝1有共同的渐近线，且(4)经过点P(3，27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为________________．[听课记录]题后师说求双曲线方程的两种方法巩固训练2(1)[2024·广东佛山模拟]已知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的肯定值等于6，则双曲线的标准方程为()A．x29-y2C．y29-x2(2)[2024·河北保定期末]已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，A．x216-y2C．x212-y2(3)过点(23，3)且渐近线与双曲线C：y2－题型三双曲线的简洁几何性质角度一渐近线例3(1)[2024·山东日照模拟]下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线相互垂直的是()A．y2－x2＝4 B．x23－yC．y23－x2＝1 D．x2－y(2)[2024·河南洛阳模拟]已知双曲线C：y2m－x2＝1(m>0)的离心率e＝52A．y＝±2x B．y＝±12C．y＝±2x D．y＝±22[听课记录]题后师说求双曲线渐近线方程的两种常用方法巩固训练3(1)[2024·广东汕头模拟]双曲线x2m-y2A．2 B．2C．3 D．3(2)双曲线C：y2a2-x2b2＝1(a角度二离心率例4(1)[2024·广东汕尾期末]已知双曲线x2a2-y2b2＝1(aA．233 C．3 D．2(2)[2024·安徽巢湖模拟]已知F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且2|PF1|＋|PF2|＝5|F1F2A．2 B．3C．5 D．10(3)[2024·河北保定模拟]已知双曲线x2a2-y2b2＝1的右焦点为F，在右支上存在点P，Q，使得POQFA．3+52 C．9+652 (4)[2024·江西临川一中模拟]已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)左，右焦点分别为F1(－c，0)，F2(A．[2＋1，＋∞) B．(1，2＋1]C．(1，2＋1) D．(2＋1，＋∞)[听课记录]题后师说求双曲线离心率(或其范围)的两种常用方法巩固训练4(1)[2024·山东潍坊模拟]已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为()A．2 B．2C．3 D．3(2)[2024·河南商丘模拟]已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，A．(1，2) B．(1，3)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)(3)[2024·山东济南模拟]已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，若PF2⊥F1F2，∠真题展台1.[2024·全国甲卷]若双曲线y2－x2m2＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y2．[2024·北京卷]已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x3．[2024·全国乙卷]双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠F1NF2A．52B．32C．134．[2024·全国甲卷]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A．72B．132C．75．[2024·全国乙卷]已知双曲线C：x2m－y2＝1(m>0)的一条渐近线为3x＋my＝0，则6．[2024·新高考Ⅱ卷]已知双曲线x2a2-y7．[2024·新高考Ⅰ卷](多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.()A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±-mD．若m＝0，n>0，则C是两条直线第七节双曲线及其性质必备学问·夯实双基学问梳理1．差的肯定值焦点焦距2．x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)y＝±baxy＝±abx(1，＋∞)2a2baba2＋夯实双基1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：由题意，x24-y28＝1的渐近线方程为y＝±故选C.答案：C3．解析：由题意，设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)代入点A(4，1)的坐标得42－12＝λ，解得λ＝15，所以所求双曲线的方程为x2答案：x24．解析：设双曲线x2－y216＝1的左右焦点分别为F1，F∴a＝1，b＝4.则||PF1|－|PF2||＝2，可设|PF2|＝4，则|PF1|＝2或|PF1|＝6，∵c＝17>4，∴|PF1|>2，∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6.答案：65．解析：由题意知ba＝tanπ3＝3或ab＝tanπ当ba＝3时，e＝1+ba当ab＝3时，e＝1+ba2＝答案：2或2关键实力·题型突破例1解析：(1)如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.依据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离之差是常数且小于|C1C2|.又依据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离比到C1的距离大)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－y28＝1((2)不妨令A在双曲线右支，依题意可得|F1A|＋|F2A|＋2c＝14a，|F1A|－|F2A|＝2a，c＝3a，解得|F1A|＝5a，|F2A|＝3a，又|F1F2|＝2c＝6a，由余弦定理|F1F2|2＝PF1即36a2＝25a2＋9a2－2×5a×3acos∠F1PF2，解得cos∠F1PF2＝－115所以sin∠F1PF2＝1-cos2所以△AF1F2的面积S＝12×3a×5a×41415＝214故选C.答案：(1)A(2)C巩固训练1解析：(1)设动圆P的半径为r，由题意知|PM|＝r，圆N的圆心坐标为(4，0)，半径为4.动圆P与圆N相切有两种状况，即内切或外切，所以|PN|＝r±4，所以||PN|－|PM||＝4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，所以点P在以M，N为焦点的双曲线上，所以2a＝4，2c＝8，所以b＝23，所以动圆P的轨迹方程是x2故选D.(2)设|PF1|＝5x，|PF2|＝3x，则由双曲线的定义可得：|PF1|－|PF2|＝5x－3x＝2x＝2a＝4，所以x＝2，故|PF1|＝10，|PF2|＝6，又|F1F2|＝14，故cos∠F1PF2＝100+36-1962×10×6＝－12，故sin∠F1PF2＝32，所以△PF1故选C.答案：(1)D(2)C例2解析：(1)2a＝|-5+62+所以a＝25，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x2故选B.(2)因为双曲线y2a2-x又双曲线的一条渐近线为3x＋7y＝0，所以－ab＝－3即7a＝3b，又下焦点到下顶点的距离为1，所以c－a＝1，结合c2＝a2＋b2解得a2＝9，b2＝7.故选A.(3)由题意可设双曲线C的方程为：x24-y29则a2＝4λ，b2＝9λ，∵双曲线焦点到渐近线距离为b，∴32＝9λ，解得：λ∴双曲线C的方程为x2(4)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为所求双曲线经过点P(3，27)，Q(－62，7)，所以9m+28n=1，72m+49n=1.故所求双曲线的方程为y2答案：(1)B(2)A(3)x28-巩固训练2解析：(1)由题意，c＝5，2a＝6⇒a＝3，则b＝c2-a故选C.(2)依据题意得：双曲线C的渐近线方程为y＝±bax因为其一条渐近线与直线l：2x－y＝2垂直，所以－ba解得ba＝12，即a＝2又右焦点到渐近线的距离为2，则bca2+b2所以双曲线的方程为x2故选A.(3)依据题意，双曲线C：y2－x22＝1渐近线方程为y＝±22x，所以要求的双曲线方程为y2－x22＝λ(λ≠0)，又过点(23答案：(1)C(2)A(3)x2例3解析：(1)由于双曲线的焦点在y轴上，所以选项BD不满意题意；选项A中双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线的斜率乘积为－1，所以两渐近线相互垂直，所以选项A满意题意；选项C中双曲线的渐近线为y＝±3x，两渐近线的斜率乘积不为－1，所以两渐近线不相互垂直，所以选项C不满意题意．故选A.(2)由题意，双曲线C：y2m－x2＝1(m>0)，可得a2＝m，b因为双曲线C的离心率e＝52，可得ca＝1+ba2＝1+1所以双曲线C的渐近线方程为y＝±abx＝±2x故选A.答案：(1)A(2)A巩固训练3解析：(1)由题意可知m>0，所以双曲线x2m-y2m+2＝1(m∵双曲线x2m-y∴m+2m＝2，解得m故选A.(2)设双曲线的半焦距为c，则焦点坐标为(0，±c)，而双曲线的渐近线方程为：ax±by＝0，故焦点到渐近线的距离为bca2+b2＝b，故故渐近线方程为x±2y＝0.答案：(1)A(2)x±2y＝0例4解析：(1)双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax，ba＝3，b＝3故选D.(2)由题意可知，2|PF1|＋|PF2|＝25c，|PF1|－|PF2|＝2a，∴PF1又∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(2a+25c3)2＋(25c-4a3)∴c2－25ac＋5a2＝0，即(c－5a)2＝0，c＝5a，∴e＝5.故选C.(3)由题意，当POQF为正方形时，点P的坐标为(c2代入x2a2-y2b2＝1可得c24a2-c24即(c2－a2)c2－a2c2＝4a2(c2－a2)，整理得c4－6a2c2＋4a4＝0，即e4－6e2＋4＝0，解得e2＝3＋5.故选B.(4)由题意可得点P不是双曲线的顶点，否则asin∠PF在△PF1F2中，由正弦定理得PF1sin∠因为asin∠PF所以PF1PF2所以|PF1|＝ca·|PF2因为点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以ca|PF2|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝2由双曲线的性质可得|PF2|>c－a，所以2a2c-a>c－a，化简得c2－2所以e2－2e－1<0，解得－2＋1<e<2＋1，因为e>1，所以1<e<2＋1，即双曲线离心率的取值范围为1，故选C.答案：(1)D(2)C(3)B(4)C巩固训练4解析：(1)由△BA1A2是一个等边三角形，可得b＝3a，即b2＝3a2，则有c2－a2＝3a2，即c2＝4a2，则双曲线C的离心率e＝ca故选A.(2)由题意可知，1a2-1b2＝1，所以b2－a2＝a2b2，又b2＝c2－a2，所以c2－2a2＝a2(c2－a2)，所以a2＝c2-2a2故选D.(3)不妨假设点P在双曲线右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，由于PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，故|PF1|＝2|PF2|，故|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，而tan∠PF1F2＝PF2F1F2故e＝ca＝3答案：(1)A(2)D(3)3真题展台——知道高考考什么？1．解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝xm，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得0-2mm2+1＝1，解得m＝±33答案：32．解析：双曲线y2＋x2m＝1的标准方程为y21-x2-m＝1，其渐近线方程为y1