正弦函数、余弦函数的性质（第1课时周期性、奇偶性）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时周期性、奇偶性第五章三角函数人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习目标1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.(数学抽象)2.会求正弦函数、余弦函数的周期,并会应用.(数学运算)3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.(数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点一:函数的周期性1.周期函数条件①函数f(x)的定义域为D,如果存在一个

常数T

②对每一个x∈D,都有x+T∈D,且

=f(x)

结论函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期2.最小正周期

条件如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的

结论这个最小

叫做f(x)的最小正周期

非零

f(x+T)正数

正数

名师点睛1.对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”,要特别注意“每一个值”的要求.如果只是对某些x有f(x+T)=f(x),那么T不一定是f(x)的周期.2.自变量x本身加的常数才是最小正周期,如f(2x+T)=f(2x)中T不是最小正周期,因为f(2x+T)=f(2(x+))=f(2x),所以

才是最小正周期.3.周期函数的周期不唯一.若T是函数f(x)的最小正周期,则kT(k∈Z,k≠0)也是函数f(x)的周期.4.并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.微思考(1)周期函数的周期是否唯一?

(2)如何理解周期函数定义中“对定义域内的每一个值,都有f(x+T)=f(x)”?能举例说明吗?提示

不唯一.若f(x+T)=f(x),则f(x+nT)=f(x),n∈Z,且n≠0.知识点二:正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数y=sin

xy=cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π奇偶性奇函数偶函数名师点睛函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期:(1)函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期(2)函数y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期微思考记f(x)=sin(cos

x);g(x)=cos(sin

x).f(x)与g(x)是否为周期函数?它们的奇偶性是什么?提示

因为f(x+2π)=sin(cos(x+2π))=sin(cos

x)=f(x);g(x+π)=cos(sin(x+π))=cos(-sin

x)=cos(sin

x)=g(x),所以f(x)与g(x)均为周期函数.因为f(x)与g(x)的定义域均为R,且f(-x)=sin(cos(-x))=sin(cos

x)=f(x),g(-x)=cos(sin(-x))=cos(-sin

x)=cos(sin

x)=g(x),所以f(x)与g(x)均为偶函数.重难探究·能力素养速提升问题1函数的性质一般有哪些?通过什么方法研究函数的性质?问题2从三角函数的图象分析,利用什么性质可以把三角函数的图象转化为某一区域的图象?探究点一三角函数的周期问题及简单应用问题3如何理解三角函数的周期?如何求三角函数的最小正周期?有哪些基本方法?【例1】

求下列三角函数的最小正周期:(1)y=3sin

x,x∈R;解

3sin(x+2π)=3sin

x,由周期函数的定义知,y=3sin

x的周期为2π.(2)y=cos2x,x∈R;解cos

2(x+π)=cos(2x+2π)=cos

2x,由周期函数的定义知,y=cos

2x的周期为π.(4)y=|cosx|,x∈R.解

函数y=|cos

x|的图象如图(实线部分)所示,由图象可知,y=|cos

x|的周期为π.规律方法

求函数最小正周期的常用方法求三角函数的最小周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用

求得;(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.探究点二三角函数的奇偶性及其应用问题4一个周期内的正、余弦函数图象从整体上看具备奇偶性,可否通过此性质来简化研究?问题5如何判断函数的奇偶性?有哪些基本方法?【例2】

判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|sin

x|+cosx;解

函数f(x)=|sin

x|+cos

x的定义域为R.∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin

x|+cos

x=f(x),∴函数f(x)是偶函数.规律方法

1.判断函数奇偶性的常用方法:(1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.(2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性.(3)验证法,即验证f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0(或

=±1,且f(x)不为0)是否成立.此法通常用于函数是非奇非偶函数的情形.2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数是非奇非偶函数.探究点三函数奇偶性、周期性的综合问题问题6三角函数周期性的关系式可以如何变形?问题7三角函数的奇偶性从几何角度可否拓展到对称性?可否用代数形式表示?问题8通过函数的周期性、奇偶性可否化简三角函数的求值问题?可否把不同区间的函数值转换到局部同一区间?规律方法

解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值;利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.学以致用·随堂检测促达标1234567891011A级必备知识基础练1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是(

)A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数A解析

因为x∈R,且f(-x)=sin

x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.1234567891011C12345678910113.函数f(x)=cos(+2x)是(

)A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数C12345678910114.下列函数中是奇函数的为(

)C.y=3x-sinx

D.y=x2+sinxC解析

C选项中,令f(x)=3x-sin

x,x∈R,则f(-x)=3(-x)-sin(-x)=-3x+sin

x=-f(x),故函数是奇函数,其余都不符合.12345678910115.已知函数f(x)=sin2x,则下列关于f(x)的叙述正确的是(

)A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)的最小正周期为2πD.f(x)的最小值不是-1A解析

f(x)是奇函数;f(x)的最小正周期为

;f(x)的最大值是1,最小值是-1.故选A.12345678910116.下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是(

)A.y=cos|2x|

B.y=|sin2x|D1234567891011解析

对选项A,y=f1(x)=cos|2x|,函数定义域为R,f1(-x)=cos|2(-x)|=f1(x),函数为偶函数,排除;对选项B,y=f2(x)=|sin

2x|,函数定义域为R,f2(-x)=|sin

2(-x)|=f2(x),函数为偶函数,排除;12345678910117.设函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=

.

-9解析

令g(x)=x3cos

x,x∈R,∴g(-x)=(-x)3·cos(-x)=-x3cos

x=-g(x),∴g(x)为奇函数.又f(x)=g(x)+1,∴f(a)=g(a)+1=11,g(a)=10,∴f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-9.1234567891011B级关键能力提升练B12345678910119.(多选题)下列函数中周期为π,且为偶函数的是(

)A.y=|cosx|

B.y=sin2xAC解析

由y=|cos

x|的图象知,y=|cos

x|是周期为π的偶函数,所以A正确;B中函数为奇函数,所以B不正确;123456789101110.(多选题)函数y=xcosx-sinx的部分图象不可能为(

)ABD1234567891011解