专题12 平行线的证明压轴题的三种考法（原卷版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题12平行线的证明压轴题的三种考法类型一、三角形折叠问题例1．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．(1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝，可以发现与的数量关系是；(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；(3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系．例2．在中，平分交于点，交于点，P是边上的动点（不与重合），连接，将沿翻折得，记．

(1)如图1，点与点重合时，用含的式子表示；(2)当点与点不重合时，①如图2，若平分交于点，猜想之间存在的等量关系，并说明你的理由；②若，请直接写出的大小（用含的式子表示）．【变式训练1】（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；

（2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______；（4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______；【变式训练2】（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．【变式训练3】有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．(1)如图1，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．(2)当∠A′EB′=∠B′EB时，设∠A′EB′=x．①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．类型二、三角形内角和定理与外角和定理例．在中，，平分，点F为射线上一点（不与点E重合），且于点D．

(1)如图1，如果点F在线段上，且，，则______．(2)如果点F在的外部，分别作出和的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究、、三者之间的数量关系，并说明理由：(3)如图3，若点与点重合，、分别平分和的外角，连接，过点作交延长线于点，交的延长线于点，若，且，求的度数．【变式训练1】如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）【变式训练2】综合与探究：

(1)如图1，，分别是的两个内角，的平分线，说明的理由．【深入探究】(2)①如图2，，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是；②如图3，，分别是的一个内角和一个外角的平分线，，交于点，探究与之间的等量关系，并说明理由．【拓展应用】(3)请用以上结论解决下列问题：如图4，在中，，分别平分，，，，分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，．若，则的度数是．类型三、平行线性质与判定例．如图①，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接．

(1)已知，求的度数；(2)求证：平分．(3)在（1）的条件下，若，将绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边转至线段上时停止转动，记旋转角为，请求出当为多少度时，与某一边平行？(4)在（3）的条件下，直接写出与之间的关系．【变式训练1】如图，，点P在直线上，作，交于点M，点F是直线上的一个动点，连接，于点E，平分．

(1)若点F在点E左侧且，求的度数；(2)当点在线段（不与点M，E重合）上时，设，直接写出的度数（用含的代数式表示）；(3)将射线从（1）中的位置开始以每秒的速度绕点P逆时针旋转至的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，为直角三角形．【变式训练2】【基础巩固】（1）如图1，已知，求证：；【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，，求的度数；【拓展提高】（3）如图3，在四边形中，，点E是线段上一点，若平分，．①试求出的度数；②已知，，点G是直线上的一个动点，连接并延长．2.1若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，________；2.2如图4，若是的平分线，与的延长线交于点F，与交于点P，且，则________（用含的代数式表示）．

课后训练1．如图，长方形纸片，点，分别在，边上，将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，然后再次折叠纸片使点与点重合，点落在点，折痕为，若，则度．2．如图，中沿将四边形翻折，使点、点分别落在点和点处，再将沿翻折，使点落在点处，若，，则的度数为．3．在中，，点D是下方一点，连接，，过点D作，连接，分别过点B、D作直线、，使得，平分，平分，则．4．（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______；

（2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________；

（3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数；（4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改