《数学》复习人教A（新高考）-复习验收卷（五）平面向量与复数复习验收卷

《数学》复习人教A（新高考）-复习验收卷（五）平面向量与复数复习验收卷《数学》复习人教A（新高考）-复习验收卷（五）平面向量与复数复习验收卷/《数学》复习人教A（新高考）-复习验收卷（五）平面向量与复数复习验收卷复习验收卷(五)平面向量与复数(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020·浙江"超级全能生”联考)已知复数z满足z(1＋3i)＝1－i(i为虚数单位),则复数z的虚部为()A.－eq\f(2,5)B.eq\f(2,5)C.－eq\f(2,5)ID.eq\f(2,5)i答案A解析z＝eq\f(1－i,1＋3i)＝－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i,虚部为－eq\f(2,5),故选A.2.(2020·武汉调研)已知向量a＝(1,1),b＝(－1,3),c＝(2,1),且(a－λb)∥c,则λ＝()A.3B.－3C.eq\f(1,7)D.－eq\f(1,7)答案C解析由题意知a－λb＝(1＋λ,1－3λ),c＝(2,1).若(a－λb)∥c,则(1＋λ)×1－2(1－3λ)＝0,解得λ＝eq\f(1,7),故选C.3.如图,若向量eq\o(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z,则z＋eq\f(4,z)表示的复数为()A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i答案D解析由题图可得Z(1,－1),即z＝1－i,所以z＋eq\f(4,z)＝1－i＋eq\f(4,1－i)＝1－i＋eq\f(4(1＋i),(1－i)(1＋i))＝1－i＋eq\f(4＋4i,2)＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选D.4.(2021·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中,点P(eq\r(3),1),将向量OP绕点O按逆时针方向旋转eq\f(π,2)后得到向量eq\o(OQ,\s\up6(→)),则点Q的坐标是()A.(－eq\r(2),1)B.(－1,eq\r(2))C.(－eq\r(3),1)D.(－1,eq\r(3))答案D解析由P(eq\r(3),1),得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(π,6),2sin\f(π,6))),∵将向量eq\o(OP,\s\up6(→))绕点O按逆时针方向旋转eq\f(π,2)后得到向量eq\o(OQ,\s\up6(→)),∴Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,2))),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,2))))).又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,2)))＝－sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,2),sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,2)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2),∴Q(－1,eq\r(3)).故选D.5.设复数z满足(1＋i)z＝2i(其中i为虚数单位),则下列结论正确的是()A.|z|＝2B.z的虚部为iC.z2＝2D.z的共轭复数为1－i答案D解析由(1＋i)z＝2i,得z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i(1－i),(1＋i)(1－i))＝1＋i,∴|z|＝eq\r(2),z的虚部为1,z2＝(1＋i)2＝2i,z的共轭复数为1－i,故选D.6.已知单位向量e1,e2分别与平面直角坐标系x,y轴的正方向同向,且向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝3e1－e2,eq\o(BD,\s\up6(→))＝2e1＋6e2,则平面四边形ABCD的面积为()A.eq\r(10)B.2eq\r(10)C.10D.20答案C解析由向量正交分解的定义可知,eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3,－1),eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2,6),则|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋(－1)2)＝eq\r(10),|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝3×2＋(－1)×6＝0,所以AC⊥BD,即平面四边形的对角线互相垂直,所以该四边形的面积S＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|·|\o(BD,\s\up6(→))|,2)＝eq\f(\r(10)×2\r(10),2)＝10.故选C.7.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→))满足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2,eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2,若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ,μ∈R),且λ＋μ＝1,则|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值为()A.1B.eq\f(\r(5),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)答案D解析|eq\o(OC,\s\up6(→))|2＝(λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→)))2＝[λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))]2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→)),因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2,所以|eq\o(OC,\s\up6(→))|2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·2＝4λ2－4λ＋4＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3,当λ＝eq\f(1,2)时,|eq\o(OC,\s\up6(→))|取得最小值eq\r(3).8.(2021·海南新高考诊断)如图,在等腰直角△ABC中,D,E分别为斜边BC的三等分点(D靠近点B),过E作AD的垂线,垂足为F,则eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(4,15)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(8,15)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(8,15)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,15)eq\o(AC,\s\up6(→))答案D解析设BC＝6,因为D,E分别为斜边BC的三等分点且D靠近点B,则BD＝DE＝2.在△ABD中,AB＝3eq\r(2),BD＝2,∠ABD＝45°,由余弦定理可知AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD)＝eq\r(10),则AD＝AE＝eq\r(10).在△DAE中,cos∠DAE＝eq\f(AD2＋AE2－DE2,2AD·AE)＝eq\f(4,5).因为AF⊥EF,所以eq\f(AF,AD)＝eq\f(AF,AE)＝eq\f(4,5),所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AD,\s\up6(→)).因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)),所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(8,15)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,15)eq\o(AC,\s\up6(→)),故选D.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知等边三角形ABC内接于⊙O,D为线段OA的中点,则eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\f(4,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))D.eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))答案AC解析如图所示,设BC中点为E,连接AE,D在AE上,则eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)·eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)).故选AC.10.已知a＝(－2,1),b＝(k,－3),c＝(1,2),若(a－2b)⊥c,则与b共线的单位向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5),－\f(\r(5),5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5),－\f(\r(5),5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5),\f(\r(5),5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5),\f(\r(5),5)))答案AD解析由题意得a－2b＝(－2－2k,7),∵(a－2b)⊥c,∴(a－2b)·c＝0,即(－2－2k,7)·(1,2)＝0,－2－2k＋14＝0,解得k＝6,∴b＝(6,－3),∴e＝±eq\f(b,\r(62＋(－3)2))＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5),－\f(\r(5),5))),故选AD.11.设z1,z2是复数,则下列说法中正确的是()A.若|z1－z2|＝0,则eq\o(z,\s\up6(－))1＝eq\o(z,\s\up6(－))2B.若z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2,则eq\o(z,\s\up6(－))1＝z2C.若|z1|＝|z2|,则z1·eq\o(z,\s\up6(－))1＝z2·eq\o(z,\s\up6(－))2D.若|z1|＝|z2|,则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)答案ABC解析对于A,若|z1－z2|＝0,则z1－z2＝0,z1＝z2,所以eq\o(z,\s\up6(－))1＝eq\o(z,\s\up6(－))2正确;对于B,若z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2,则z1和z2互为共轭复数,所以eq\o(z,\s\up6(－))1＝z2正确;对于C,设z1＝a1＋b1i,z2＝a2＋b2i,若|z1|＝|z2|,则eq\r(aeq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,1))＝eq\r(aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)),即aeq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2),所以z1·eq\o(z,\s\up6(－))1＝aeq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)＝z2·eq\o(z,\s\up6(－))2,所以z1·eq\o(z,\s\up6(－))1＝z2·eq\o(z,\s\up6(－))2正确;对于D,若z1＝1,z2＝i,则|z1|＝|z2|,而zeq\o\al(2,1)＝1,zeq\o\al(2,2)＝－1,所以zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2),错误.故选ABC.12.(2020·济南调研)下列命题正确的是()A.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB＝CD,则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))B.在△ABC中,若O点满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0,则O点是△ABC的重心C.若a＝(1,1),把a向右平移2个单位,得到的向量的坐标为(3,1)D.在△ABC中,若eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(CA,\s\up6(→)),|\o(CA,\s\up6(→))|)＋\f(\o(CB,\s\up6(→)),|\o(CB,\s\up6(→))|))),则P点的轨迹经过△ABC的内心答案BD解析如图,A,B,C,D四点满足条件,但eq\o(AB,\s\up6(→))≠eq\o(CD,\s\up6(→)),故A错误;对于B,设BC的中点为D,当eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0时,能得到eq\o(OA,\s\up6(→))＝－(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))),所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝－2eq\o(OD,\s\up6(→)),所以O是△ABC的重心,故B正确.对于C,向量由向量的方向和模确定,平移不改变这两个量,故C错误.对于D,根据向量加法的几何意义知,以eq\f(\o(CA,\s\up6(→)),|\o(CA,\s\up6(→))|),eq\f(\o(CB,\s\up6(→)),|\o(CB,\s\up6(→))|)为邻边所得到的平行四边形是菱形,点P在该菱形的对角线上,由菱形的对角线平分一组对角,得P点在∠ACB的平分线所在直线上,故D正确.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知复数z1＝a＋2i,z2＝2＋3i(i是虚数单位),若z1·z2是纯虚数,则实数a＝________.答案3解析因为复数z1＝a＋2i,z2＝2＋3i,所以z1·z2＝(a＋2i)·(2＋3i)＝2a－6＋(3a＋4)i,又z1·z2是纯虚数,所以2a－6＝0,且314.在直角梯形ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(λ＞0),∠B＝60°,AD＝eq\r(3),E为CD中点,eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝－1,则|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝________.答案2解析设|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝x,eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\r(3)×2×eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)×eq\f(x,2)×0＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))x＋(－1)×eq\f(x,2)·x＝3－x－eq\f(1,2)x2＝－1,求得x＝2,即|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2.15.(2021·重庆联考)若eq\f(a＋bi,i)(a,b∈R)与(2－i)2互为共轭复数,则a－b＝________.答案－7解析∵eq\f(a＋bi,i)＝eq\f((a＋bi)(－i),－i2)＝b－ai,(2－i)2＝4－4i－1＝3－4i,eq\f(a＋bi,i)(a,b∈R)与(2－i)2互为共轭复数,∴b＝3,a＝－4,则a－b＝－7,故答案为－7.16.已知平面向量a,b满足|2a＋b|＝1,且a·(a－b)＝1,则|a－b|的取值范围为________答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(13)－1,2),\f(\r(13)＋1,2)))解析设向量2a＋b与a－b的夹角为θ,则a·(a－b)＝eq\f(1,3)(2a＋b＋a－b)·(a－b)＝eq\f(1,3)(|2a＋b||a－b|cosθ＋|a－b|2)＝1,化简得|a－b|cosθ＋|a－b|2＝3,即cosθ＝eq\f(3,|a－b|)－|a－b|∈[－1,1],解得eq\f(\r(13)－1,2)≤|a－b|≤eq\f(\r(13)＋1,2).四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a＝(1,－2).(1)若|c|＝2eq\r(5),且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|＝1,且a＋b与a－2b垂直,求a与b的夹角θ的余弦值.解(1)设c＝(x,y),由c∥a和|c|＝2eq\r(5),可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1·y＋2·x＝0,,x2＋y2＝20,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2,,y＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,,y＝－4.))∴c＝(－2,4)或c＝(2,－4).(2)∵a＋b与a－2b垂直,∴(a＋b)·(a－2b)＝0,即a2－a·b－2b2＝0,又|a|＝eq\r(12＋(－2)2)＝eq\r(5),|b|＝1,∴a·b＝3,∴cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(3\r(5),5).18.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,AB＝3,AC＝2,∠BAC＝60°,D,E分别是边AB,AC上的点,AE＝1,且eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2).(1)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|;(2)若P是线段DE上的一个动点,求eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))的最小值.解(1)因为eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(AE,\s\up6(→))|cos60°＝eq\f(1,2),|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝1,所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1.(2)因为|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|,∠DAE＝60°,所以△DAE为等边三角形,所以∠BDP＝∠CEP＝120°,BD＝2,CE＝1.设DP＝x(0≤x≤1),则EP＝1－x,所以eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝(eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(EP,\s\up6(→))－eq\o(EC,\s\up6(→)))＝eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(EP,\s\up6(→))－eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝x(1－x)cos180°－xcos60°－2(1－x)·cos60°＋2×1×cos60°＝x2－eq\f(1,2)x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,16)≥－eq\f(1,16),当x＝eq\f(1,4)时,等号成立,所以eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))的最小值为－eq\f(1,16).19.(本小题满分12分)设两个向量a,b满足|a|＝2,|b|＝1.(1)若(a＋2b)·(a－b)＝1,求a,b的夹角;(2)若a,b的夹角为60°,向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.解(1)由(a＋2b)·(a－b)＝1得a2＋a·b－2b2＝1.又a2＝4,b2＝1,所以a·b＝－1.所以cos〈a,b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝－eq\f(1,2),又0≤〈a,b〉≤180°,所以a,b的夹角为120°.(2)由已知得a·b＝2×1×cos60°＝1,所以(2ta＋7b)·(a＋tb)＝2ta2＋(2t2＋7)a·b＋7tb2＝2t2＋15t＋7,因为向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角,所以2t2＋15t＋7＜0,解得－7＜t＜－eq\f(1,2).设2ta＋7b＝λ(a＋tb)(λ＜0),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t＝λ,,7＝tλ,))解得2t2＝7,当t＝－eq\f(\r(14),2)时,λ＝－eq\r(14),此时向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为180°,不符合题意.所以向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角时,t的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7,－\f(\r(14),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(14),2),－\f(1,2))).20.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(eq\r(2)a－c)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝ceq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→)).(1)求角B的大小;(2)若|eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(6),求△ABC面积的最大值.解(1)由题意得(eq\r(2)a－c)cosB＝bcosC.根据正弦定理得(eq\r(2)sinA－sinC)cosB＝sinBcosC,所以eq\r(2)sinAcosB＝sin(C＋B),即eq\r(2)sinAcosB＝sinA,因为A∈(0,π),所以sinA>0,所以cosB＝eq\f(\r(2),2),又B∈(0,π),所以B＝eq\f(π,4).(2)因为|eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(6),所以|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝eq\r(6),即b＝eq\r(6),根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－eq\r(2)ac≥2ac－eq\r(2)ac＝(2－eq\r(2))ac(当且仅当a＝c时取等号),即ac≤3(2＋eq\r(2)).故△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(3(\r(2)＋1),2),因此△ABC的面积的最大值为eq\f(3\r(2)＋3,2).21.(本小题满分12分)(2021·宜昌模拟)如图,在同一个平面内,向量eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→)),eq\o(OC,\s\up6(→))的模分别为1,1,eq\r(2),eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为α,且tanα＝7,eq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为45°.若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m,n∈R),求m＋n的值.解∵tanα＝7,α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),∴cosα＝eq\f(\r(2),10),sinα＝eq\f(7\r(2),10).∵eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为α,eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→)),|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1,|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(2),∴eq\f(\r(2),10)＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))|·|\o(OC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·(m\o(OA,\s\up6(→))＋n\o(OB,\s\up6(→))),|\o(OA,\s\up6(→))|·|\o(OC,\s\up6(→))|)＝eq\f(m＋n\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),\r(2)).①又∵eq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为45°,∴eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→)),|\o(OB,\s\up6(→))|·|\o(OC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))·(m\o(OA,\s\up6(→))＋n\o(OB,\s\up6(→))),|\o(OB,\s\up6(→))|·|\o(OC,\s\up6(→))|)＝eq\f(m\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))＋n,\r(2)).②又cos∠AOB＝cos(45°＋α)＝cosαcos45°－sinαsin45°＝eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(7\r(2),10