北师版八上数学7.1 为什么要证明（课件）

第七章平行线的证明1为什么要证明数学八年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学八年级上册BS版01课前预习

1.

实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因

此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归

纳是不够的，必须进行

⁠.有根有据的证明

2.

检验数学结论常用的三种方法.（1）实验验证法：常用于检验一些比较直观、简单的结论；（2）举反例法：多用于说明某结论不正确；（3）推理论证法：既可以验证某结论是正确的，也可以验证某

结论是不正确的.注：实验验证是最基本的方法；在推理的依据正确的前提下，

推理论证是最可靠、最科学的方法.数学八年级上册BS版02典例讲练

（1）当

n

＝0，1，2，3，4，5时，

n2－

n

＋11的值是质数

吗？能否得出结论：对于所有的自然数

n

，

n2－

n

＋11的值

都是质数？【思路导航】先计算，再对结论进行判断.解：当

n

＝0，1，2，3，4，5时，

n2－

n

＋11的值分别是11，

11，13，17，23，31，它们都是质数.当

n

＝11时，

n2－

n

＋11＝121＝11×11，不是质数.所以不能得出题目中的结论，即对于所有的自然数

n

，

n2－

n

＋11并非都是质数.【点拨】观察、归纳以及对少数具体的例子进行计算得出的结

论不一定正确，只有通过推理论证的方法研究问题，才能解释

问题的本质.（2）若有一条线段

AB

的长为3

cm，另一条线段

BC

的长为2

cm，则

AC

的长一定是5

cm吗？【思路导航】先画出所有可能的图形，再进行判断即可.解：不一定.如图所示，此时

AC

＝

AB

－

BC

＝3－2＝1（cm）.【点拨】说明一个结论错误，只需举出一个例子，该例子不适

合这个结论即可，例子的选取一定要满足所给的条件，而不能

满足结论.

1.

已知骑自行车的速度是15

km/h，骑摩托车的速度是40

km/h，则下列结论一定正确的是（

D

）A.

从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达B.

从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达C.

从A地到B地，骑自行车和骑摩托车的人不可能同时到达D.

从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达D2.

在一次测试中，老师出了如下题目：比较

nn＋1与（

n

＋1）

n

的大小.有些同学经过计算发现：当

n

＝1时，

nn＋1

（

n

＋1）

n

（填“＞”“＜”或

“＝”）；当

n

＝2时，

nn＋1

（

n

＋1）

n

（填“＞”“＜”或

“＝”）；所以他们得出一个结论：若

n

为任意自然数，则

nn＋1＜（

n

＋

1）

n

.＜

＜

这些同学的结论是

的（填“正确”或“错误”）.错误

【解析】当

n

＝1时，

nn＋1＝1，（

n

＋1）

n

＝2，此时

nn＋1＜（

n

＋1）

n

；当

n

＝2时，

nn＋1＝8，（

n

＋1）

n

＝9，此时

nn＋1＜（

n

＋1）

n

；当

n

＝3时，

nn＋1＝81，（

n

＋1）

n

＝64，此时

nn＋1＞

（

n

＋1）

n

.所以，若

n

为任意自然数，

nn＋1＜（

n

＋1）

n

不成

立，即这些同学的结论是错误的.故答案为＜，＜，错误.

观察下列等式：第一个等式：22－21＝4－2＝2＝21；第二个等式：23－22＝8－4＝4＝22；第三个等式：24－23＝16－8＝8＝23；……（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式；（2）根据你所发现的规律，用含字母

n

的式子表示第

n

个等式，并说明等式成立.【思路导航】（1）根据规律写出第四个等式即可；（2）由

（1）归纳出第

n

个等式，再利用等式的性质说明.（2）第

n

个等式：2

n＋1－2

n

＝2

n

.理由如下：因为2

n＋1＝2×2

n

＝2

n

＋2

n

，所以2

n＋1－2

n

＝2

n

＋2

n

－2

n

＝2

n

，即等式成立.【点拨】本题考查数字的变化规律，关键是找出其中的“变”

与“不变”.如：此题中“变”的是指数，“不变”的是底数

“2”，并用

n

表示“变”的部分，得出一般式子.同时根据规

律推理得出一般式子后，必须进行有根有据的说明.解：（1）第四个等式：25－24＝32－16＝16＝24.

观察下列等式：第一个等式：32－4×12＝5；第二个等式：52－4×22＝9；第三个等式：72－4×32＝13；……根据上述等式反映出的规律，解答下列问题：（1）写出第五个等式：

⁠；112－4×52＝21

（1）【解析】因为第一个等式：32－4×12＝5；第二个等式：52－4×22＝9；第三个等式：72－4×32＝13；……所以第五个等式：112－4×52＝21.故答案为112－4×52＝21.（2）解：猜想第

n

个等式：（2

n

＋1）2－4

n2＝4

n

＋1.验证如下：因为（2

n

＋1）2－4

n2＝4

n2＋4

n

＋1－4

n2＝4

n

＋1，所以猜想的等式正确.（2）猜想第

n

个等式（用含

n

的代数式表示），并验证你猜想

的等式是否正确.

警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中只

有一个人是主谋.经过审讯，A，B，C三名警察各自得出结

论.A：主谋是甲或乙；B：甲不是主谋；C：乙和丙都不是主

谋.已知三名警察中只有一个人的推测正确，则主谋是

⁠.【思路导航】根据题意，分只有警察A或警察B或警察C推测正

确三种情况进行分析、推理、判断，便可得到结果.丙

①由A正确，得主谋是甲或乙；②由B错误，得甲是主谋；③由C错误，得乙和丙中有一个是主谋.由②③和“其中只有一个人是主谋”得出矛盾，故假设不成立.【解析】（1）假设A的推测正确，则③由C错误，得主谋是乙或丙.综上所述，得到主谋是丙，符合题意，故假设成立.（2）假设B的推测正确，则①由A错误，得主谋是丙或丁；②由B正确，得主谋是乙、丙或丁；②由B错误，得主谋是甲.由①②即可得出矛盾，故假设不成立.综上所述，只有B的推测正确，且主谋是丙.故答案为丙.（3）假设C的推测正确，则①由A错误，得主谋是丙或丁；【点拨】在进行推理时，可以先假设，然后看有没有矛盾：若

没有矛盾，则假设就是正确的；若有矛盾，则假设就是错误的.

即先假设某种情形成立，再通过逻辑逐步推理，得出特殊事实

应遵循的规律，进而观察是否与事实相符或相矛盾，从而作出

判断.

甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，一个人不小心打碎

了玻璃窗.老师问他们时，他们这样说.甲说：“玻璃是丙或丁

打碎的.”乙说：“肯定是丁打碎的.”丙说：“我没有打碎玻

璃.”丁说：“我没有干这种事.”他们的老师听了之后说：

“他们中有三位都不会说谎.”由此我们知道，打碎玻璃的