第07讲 反比例函数（10大考点）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略沪教版（解析版）

第07讲反比例函数（10大考点）

U考点考向

一、反比例函数的概念

1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量

成反比例.用数学式子表示两个变量X、y成反比例，就是孙=3或表示为丫=七，其中k是不等于0的

X

常数.

2、解析式形如y=A（上是常数，k手0）的函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系数.

X

3、反比例函数y=4的定义域是不等于零的一切实数.

X

二、反比例函数的图像

1、反比例函数y=&（人是常数，k轨）的图像叫做双曲线，它有两支.

X

三、反比例函数的性质

1、当4>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量X的值逐渐增大

时，y的值随着逐渐减小.

2、当上<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大

时，y的值随着逐渐增大.

3、图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交.

Q考点精讲

反比例函数的定义（共3小题）

1.（2021秋•杨浦区期中）已知y与2z成反比例，比例系数为幻，z与工成正比例，比例系数为七，%和

2

&2是已知数，且内•七#0,则y关于x成反比例.（填“正”或“反”）

kl

k1k

【分析】根据反比例函数的定义得出y=-L根据正比例函数的定义得出z=工后r,求出），=，_,再根据

2z2x

反比例函数的定义得出答案即可.

【解答】解：•••》与2z成反比例，比例系数为力,

Vz与L成正比例，比例系数为k2,

2

z=幻XL=LIT,

22

kl

.%豆

--y-----------;--------―-^，

2Z

2Xyk2XX

：总和心是已知数，且修乂2#0,

关于x成反比例，

故答案为：反.

【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数的定义，能熟记正比例函数与反比例函数的定义是解此题的

关键.

2.（2020秋•嘉定区期中）若产（4-2。）xa?-5是反比例函数，则a的值是-2.

【分析】根据反比例函数形式＞=依7」为常数，女工0）,即可得出关于。的关系式，进而得到a的值.

【解答】解：（4-2a）xa--5是反比例函数，

.,.4-2a#0,且次-5=-1,

解得a—_2,

故答案为：-2.

【点评】此题主要考查了反比例函数定义，解题时关键是注意）'=履7的形式中

3.（2020秋•静安区期末）己知y=yi+y2,yi与（x-I）成反比例，”与x成正比例，且当x=2时，＞1=4,

y=2.

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）求当x=3时的函数值.

k1

【分析】（1）设yi=—―，y2=k2x（依W0）,把x=2,yi=4和x=2,y=2分别代入求解即可得到答案；

x-1

（2）把x=3代入解析式计算可得答案.

【解答】解：（1）设yi=±L,y2=lc2x（幻#0）,

X-1

ki

y=———

x-1

ki=4

把x=2,yi=4和x=2,y=2分别代入得I,

k]+2k2=2

k]=4

解得，

k2=-l'

关于x的函数解析式为y=——-%；

X-1

(2)当尤=3时，y=-^--3=-I.

3-1

【点评】此题考查的是反比例函数的定义、正比例函数的定义，掌握其概念是解决此题关键.

二.反比例函数的图象（共2小题）

4.（2020秋•宝山区校级期末）函数y=-履与y=Y玉（左＜0）的图象大致是（）

【分析】根据正比例函数和反比例函数的性质即可判断.

【解答】解：：k＜0,

...反比例函数y=Y玉的图象位于一、三象限，正比例函数y=-质的图象过一、三象限;

X

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数及正比例函数的图象，二次根式的意义，熟知正比例函数、反比例函数的

性质是解题的关键.

5.（2020秋•奉贤区期末）已知正比例函数了=日和反比例函数＞=-K在同一坐标系内的大致图象是（）

A.(1)或(3)B.(1)或(4)C.(2)或(3)D.(3)或(4).

【分析】根据反比例函数及正比例函数的图象的性质并结合其系数解答即可.

【解答】解：（1）、函数y=日中，&V0,函数y=-K中，2<0；正确;

X

（2）、函数y=日中，k<0,函数y=-区，k>0；错误；

x

（3）、函数y=日中，k>0,函数y=-K中，^<0；错误；

x

（4）、函数y=日中，k>0,函数y=-区中，k>0；正确.

x

故选：B.

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所

在的象限.

三.反比例函数的性质（共3小题）

6.（2021秋•浦东新区期末）已知正比例函数），=匕（后0）,y的值随x的值的增大而减小，那么它和反比

例函数）=-区JW0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（）

【分析】首先由uy=kx（20）中y随x的增大而减小”判定上<0,然后根据上的符号来判断函数）=-K

X

所在的象限.

【解答】解：:•函数尸区（抬0）中y随x的增大而减小,

.♦/VO,该函数图象经过第二，四象限;

...函数>=-K的图象经过第一、三象限;

X

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点:

①反比例函数y=K的图象是双曲线；

②当&>0时•，它的两个分支分别位于第一、三象限;

③当％<0时，它的两个分支分别位于第二、四象限.

7.（2021秋•普陀区期末）如果反比例函数丫上2的图象位于第二、四象限，那么人的取值范围是（）

X

A.k<2B.ZV-2C.k>2D.k>-2

【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出Z-2V0,即可得出结果.

【解答】解：・・•反比例函数的图象位于第二、四象限，

：.k-2<0,

:・k<2,

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证

是解决问题的关键.

8.（2021秋•徐汇区校级期末）下列函数中，y的值随着x的值增大而减小的是（）

A.y=2B.y=-2xC.y=--D.y=2x

xx

【分析】根据正比例函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断.

【解答】解：A、y=2是反比例函数，;？〉。，故在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；

X

3、y=-2%是正比例函数，4=-2V0,故y随着x增大而减小，符合题意；

C、y=2是反比例函数，V-2<0,故在第一象限内），随x的增大而减小，不符合题意；

x

D、y=2x,正比例函数，k>0,故y随着x增大而增大，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，正比例函数的

性质是解题的关键.

四.反比例函数系数k的几何意义（共1小题）

9.（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知双曲线k（x>0）经过矩形OABC的边AB的中点F,交BC

于点E,且四边形OEB尸的面积为2.则人=（）

A.2B.AC.1D.4

2

【分析】设3点坐标为（a,b）,由矩形0ABe的边A5的中点为F,则F点的坐标为（a,上），根据反比

2

例函数）=区（20）系数k的几何意义得到SAW=SAOEC=」■因=工・2则必=2k,利用S矩形=S四边

x222

彩。EBF+SAOAF+SAOEC得至I]a0=2+4k+4k,所以2k=4+2,再解——次方程即可.

22

【解答】解：设B点坐标为（a,b）,

•矩形OABC的边AB的中点为F,

二尸点的坐标为（a,旦）,

2

.".5AO4F=SAOEC=——.

222

:・ab=2k,

•；S矩形=S四边形0E8/+SzsOAF+S^OEC，

.•.帅=2+工+4

22

：.2k=k+2,

•**k=2.

故选:A.

【点评】本题考查了反比例函数）=K（k¥0）系数Z的几何意义：从反比例函数），=履（kWO）图象上任

X

意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|从

五.反比例函数图象上点的坐标特征（共6小题）

10.（2021秋•杨浦区期中）已知点（xi,yi）和（X2,”）都在反比例函数y=-3的图象上，如果xi<x2,

X

那么yi与”的大小关系正确的是（）

A.y\<y2B.y\=yiC.y\>yiD.无法判断

【分析】分W，X2同号和异号两种情况讨论.

【解答】解：：反比例函数y=-3中无=-3,

X

・・・图象在二、四象限，在每个象限y随X的增大而增大，

当XI,元2同号，即OVxi<无2或XIVx2V0,yi<y2,

当xi,X2异号时，即％2>0>xi,y\>y2；

故选：D.

【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性

质解答.

II.（2021秋•崇明区校级期末）反比例函数），=皿的图象在第二、四象限内，则点（机，-I）在（）

x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据反比例函数的性质，结合反比例函数图象所在象限，求出机的取值范围，再由点的坐标特点,

确定点所在象限.

【解答】解：•••反比例函数>=皿的图象在第二、四象限内，

x

...点（“，-1）的横纵坐标都为负，

...点M在第三象限，

故选：C.

【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，象限内点的坐标特征，关键是根据反比例函数图象的位置确

定，〃的取值范围.

12.（2021秋•浦东新区期末）在反比例函数y=2的图象上有三点4（xi,yi）、Ai（X2,）2）、A3（*3,”）,

x

已知Xl〈X2<0<X3,则下列各式中，正确的是（）

A.yi<y2<yjB.y3VC.y2<ji<y3D.”<yi<y2

【分析】根据反比例函数解析式画出草图，再找出符合条件的点，可以直观的得到答案.

【解答】解：如图所示：

根据函数图象可得"<W<y3,

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，做此类题目，画出图象，描出符合条件的点,

可以直观的得到答案.

13.（2021秋•徐汇区期末）若M（-l,yi）、N（蒋，y2）两点都在函数丫="的图象上，且丫1<”，则上

的取值范围是k<0.

【分析】根据反比例函数的性质判断即可.

【解答】解：•.,当-1<-时，yi<y2,

2

二在每个象限y随x的增大而增大，

“<0,

故答案为：k<0.

【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质.

14.（2021秋•徐汇区校级期末）是反比例函数y=K在第一象限内的图象，且过点A（2,5）,〃与/1关

X

于X轴对称，那么图象/2的函数解析式为丫=-蛇.

X

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点，得出％=孙=2,进而求出图象/2的函数解析式.

【解答】解：是反比例函数y=K在第一象限内的图象，且过点A（2,5）,

X

.*.*=2X5=10,

V/1与12关于X轴对称，

・••两图象形状完全一样，只是所在象限不同，

•\xy=-10,

图象12的函数解析式为：），=-改.

X

故答案为：y=-改.

x

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质以及关于x轴对称的性质，利用已知得出“=-10是解决问题

的关键.

15.（2021秋•杨浦区校级期中）平面直角坐标系中，点A（V3,2）向左平移，"个单位后恰好落在反比例

函数y=-2近的图象上，则m的值为

X

【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是（我-〃7,2）,再根据反比例函数图象上点的坐标特点

可得dm）X2=-273.再解方程即可得到答案.

【解答】解：坐标为（如,2）,

二将点A沿x轴向左平移〃，个单位后得到的点的坐标是（«-〃?，2）,

•.•恰好落在反比例函数），=-2巨的图象上，

X

（料-加）X2=-2料，

解得：〃?=2向.

故答案为：2日.

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及点的平移规律，图象上的点（x,y）的横纵

坐标的积是定值k，即

六.待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）

16.（2021秋•松江区期末）己知y=yi+y2,yi与x成正比例，”与x成反比例，且当x=-l时，y=-4；

当x=3时，y=4.

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）当元=-2时，求y的值.

【分析】⑴根据正比例函数和反比例函数的定义设尹=如，”=△,贝仃=尔+旦再把两组对应值代入

xx

得到关于〃?、〃的方程组，然后解方程组求出n即可.

（2）把x=-2代入（1）中求得的解析式即可求得.

【解答】解：（1）设yi=mx,y2=—,

则y=mx+—,

X

-m-n=-4

解得g.

1n=3

所以y与X的函数表达式为y=X+l.

X

（2）把》=-2代入得，y=-2+-^-=-

--22

【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，图象上

点的坐标适合解析式是解题的关键.

17.（2021秋•浦东新区期末）已知y=yi+",并且yi与x成正比例，*与x-2成反比例.当x=3时，y

=7；当x=l时，y=l,求：y关于x的函数解析式.

k9fk1=12

【分析】设所求的函数解析式为y=kiX+—L（hWO,%2W0）,再将所给的点代入可求得4,即可求

x-2k2=l

函数解析式.

【解答】解：设所求的函数解析式为丫=%》+三（/1W0,fo^O）,

,,k9

当x=3时，y=l；当工=1时，y=l,代入了=总尢+――,

x-2

7=3k+k

•・＜12t

l=ki-k2

函数解析式是y=2x+——.

x-2

【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，熟练掌握正比例函数和反比例函数的定义，会用待定系数

法求函数的解析式是解题的关键.

18.（2021秋•虹口区校级期末）已知函数尸户-且yi为x的反比例函数，＞2为x的正比例函数，且--I

2

和x=l时，y的值都是1.求y关于X的函数关系式.

【分析】首先根据题意，分别表示出yi与x,"与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；

然后根据已知条件，得到方程组，即可求解.

【解答】解：；＞1与x成反比例，中与x成正比例，

/.yi=ZL,y2=kx.

X

・,.口=典-kx,

x

'・,当x=-2■时，y=l；当x=l时，y=l，

.Jm=3

lk=2

/.y=--lx.

x

【点评】解决本题的关键是得到y与x的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的.

七.反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）

19.（2021秋•徐汇区期末）如果正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为（3,-4）,那么另

一个交点的坐标为（）

A.(-3,-4)B.(3,4)C.(-3,4)D.(-4,3)

【分析】正比例函数图象经过原点，反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，故这两个函数

图象的两交点是关于原点对称的，再根据点的坐标关于原点对称的性质即可得.

【解答】解：由正比例函数图象和反比例函数图象的性质得，图象的两个交点是关于原点对称的，

•••正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为（3,-4）,

...另一个交点的坐标为（-3,4）,

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，熟知正比例函数与反比例函数的中心对称性是解题的

关键.

20.（2021秋•虹口区校级期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为（2,」），当正比例函数的图象

3

在反比例函数图象的上方时，则x的取值范围是x<-2或0<x<2.

【分析】待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质正比例函数的

图象性质求出自变量x的取值范围.

【解答】解：•.•正比例函数与反比例函数的一个交点为（2,二），

3

，正比例函数为y=--x,反比例函数为y=—-.

63x

・・・当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即-2,

63x

解得-2或0cx<2.

故答案为：xV-2或0<x<2.

【点评】主要考查了反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题.

（1）反比例函数y=K的图象是双曲线，当&>0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当％<0时，

x

它的两个分支分别位于第二、四象限.

（2）正比例函数的图象性质：图象是一条直线，一定经过坐标轴的原点.当左>0时，图象经过一，

三象限，y随x的增大而增大；当AV0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小.

21.（2021秋•虹口区校级期末）若正比例函数），=（1+及）x与反比例函数上的图象没有交点，则左取

X

值范围是攵>2或攵<-1.

【分析】根据反比例函数与一次函数图象的特征，得到［或］"k<°,解不等式组即可确定出k

2-k<02-k>0

的范围.

【解答】解：•.•正比例函数y=(l+k)X与反比例函数y2&的图象没有交点，

X

...正比例函数经过第一、三象限，反比例函数经过第二、四象限或正比例函数经过第二、四象限，反比例

函数经过第一、四象限，

.(l+k>O.fl+k<0

2-k<0[2-k>0

解得k>2或kV-1,

故答案为：k>2或k<-1.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两函数的性质是解本题的关键.

22.(2021秋•普陀区期末)已知：如图，在平面直角坐标系xOy内，反比例函数)，=2图象与正比例函数y

x

=kx(20)图象的公共点A在第一象限，点A到x轴的距离是2.

(1)求点A的坐标和正比例函数的解析式；

(2)点P在直线0A上，点8为x轴的正半轴上一点，且尸0=尸8,过点P作尸。_Lx轴，垂足为点。，线

段PD交双曲线于点C,如果S"OB=8,求点C的坐标.

【分析】(1)由题意可知A的坐标为2,代入反比例函数解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法求得

正比例函数解析式；

(2)设P的坐标为(〃?，2〃?)，根据等腰三角形的性质得出0B=2m,由SMO8=8,求得,〃=2,进而即可

求得C(2,1).

【解答】解：(1)•••点A在第一象限，点A到x轴的距离是2,

.•.点A的纵坐标为2,

把y=2代入y=2得，2=2,解得x=l,

xx

・・・A（1,2）,

代入y=fcx,求得女=2,

.••正比例函数为y=2x；

（2）设尸的坐标为（加，2m）,

♦：PO=PB,POLX轴，垂足为点D

/.OD=BD,

**•0B=2m,

♦；S&POB=8,

•"B・PD=8,

♦••/x2mX2m=8,

A/M=2（负数舍去），

••.P的横坐标为2,

把x=2代入），=2得，y=1,

x

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法

求正比例函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形的面积，求得P的坐标是解题的关键.

A.根据实际问题列反比例函数关系式（共1小题）

23.（2018秋•宝山区期末）矩形的长为x,宽为y,面积为9,则y与x之间的函数关系及定义域是二三9

x

（G3）.

【分析】根据矩形的面积得出孙=9,进而得出y与x之间的函数关系及定义域.

【解答】解：・・•矩形的长为X,宽为y,面积为9,

；・孙=9,且

则y与X之间的函数关系及定义域是：），=a（x》3）.

X

故答案为：y=9（x23）.

x

【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，利用矩形面积得出是解题关键.

九.反比例函数的应用（共4小题）

24.（2020秋•浦东新区校级期末）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式

为如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为400度.

X

【分析】把近视眼镜镜片的焦距为0.25米代入函数解析式就可解决问题.

【解答】解：把x=0.25代入

x

解得y=400,

所以他的眼睛近视400度.

故答案为：400.

【点评】本题考查了反比例函数的应用，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单.

25.（2021秋•浦东新区校级月考）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药

物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19/n/n；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要

1\rnin.

（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？

（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：

校医进行药物喷泗时y与尤的函数关系式为y=2x,药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图

象的交点为A（m,〃）.当教室空气中的药物浓度不高于丽g/苏时，对人体健康无危害，校医依次对一班

至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教

室？请通过计算说明.

【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要X而“和）碗”，则13x+2y=19,即可求解；

\2x+y=ll

（2）点A（5,10）,则反比例函数表达式为＞=毁，当x=55时，丫=改＜1,即可求解.

x55

【解答】解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要初1加和），加小

则俨+2了=19,解得卜=3,

l2x+y=llly=5

故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和5〃?而；

（2）一间教室的药物喷洒时间为5加%则11个房间需要55加〃,

当％=5时,y=2x=10,故点A（5,10）,

设反比例函数表达式为：y=K,将点4的坐标代入上式并解得：上=50,

X

故反比例函数表达式为＞=改，

X

当x=55时，了=改＜1,

'55

故一班学生能安全进入教室.

【点评】本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题

的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.

26.（2020秋•浦东新区校级期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃

烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比

例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息,

解答下列问题：

（1）药物燃烧时，v关于x的函数关系式为y=3x，自变量x的取值范围为0WxW8；药物燃烧

—

后，y关于x的函数关系式为丫=壁（x＞8）.

x

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需

要经过30分钟后,员工才能回到办公室；

（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空

气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=kix,把点（8,6）代入即可，从图上读出x的取值

范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式），="，把点（8,6）代入即可；

x

（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；

（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x,两数之差与10进行比较，>等

于10就有效.

【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为（^1>0）代入（8,6）为6=8%

.•.%=与设药物燃烧后y关于X的函数关系式为y=%2>0）代入（8,6）为6=丝

4x8

・・・依=48

.•.药物燃烧时y关于x的函数关系式为），=当（0<xW8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为），=壁（尤

4x

>8）

（2）结合实际，令>=池中yW1.6得x与30

X

即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室.

（3）把y=3代入得：x=4

4

把y=3代入得：x=16

x

V16-4=12

所以这次消毒是有效的.

【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的

关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.

27.由于今年H1N1甲流疫情日益严重，为了更好地做好卫生防御工作，我们和田中学决定对教室采用药熏

消毒法进行消毒，己知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间x（分钟）成正比例，

药物燃烧后,y与x成反比例（如图所示），现测得药物8加〃燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,

请你根据题中所提供的信息，解答下列问题.

（1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为），=当，定义域是00W8；药物燃烧后y与x的函数

4

关系式为产型，定义域是尤》8；

x

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6,监时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少多少分

钟后学生才能回到教室？

【分析】（1）利用待定系数法可得出答案;

（2）当y=1.6时，代入了=壁可得出答案.

X

【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于X的函数关系式是y=^（ZWO）,

将点（8,6）代入，得女=旦，

4

所以药物燃烧时y关于x的函数关系式是丫=当，自变量x的取值范围是0WxW8；

设药物燃烧后），关于x的函数关系式是y=m

把（8,6）代入得:

机二48,

所以药物燃烧后y与x的函数关系式为），=壁（尤28）,

X

故答案为：y=当，0<xW8,x，8；

4.x

（2）当y=L6时,代入y=48

得x=30,

那么从消毒开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室.

【点评】此题主要考查了反比例函数和正比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键.

一十.反比例函数综合题（共4小题）

28.（2021秋•松江区期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图象与一个反比例函数图象

在第一象限内的交点为点A,过点4作ABLx轴，垂足为点、B,AB=3.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在直线AB上是否存在点C,使点C到直线。4的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标;

若不存在，请说明理由：

（3）已知点P在直线48上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标.

【分析】（1）将y=3代入得》=m，可得4（北，3）,再将点A代入反比例函数的解析式为

、，—k

y~一，即可得出答案;

（2）根据点4的坐标，可知/OAB=30°,过点C作CG_LOA于G,由题意得C8=CG,分点C在AB上

或AB的延长线上，分别根据含30°角的直角三角形的性质可得答案；

（3）由。4=浦，分AO=AP,OA=OP,B4=P。三种情形，分别得出答案.

【解答】解：⑴-：AB=3,

.•.点A的纵坐标为3,

正比例函数y=JEx的图象经过点4,

当y—3时，x—y[3,

：.A（时，3）,

设反比例函数的解析式为y=K（AW0）,

X

将点A（代，3）代入得A=3禽，

反比例函数的解析式为：y=3巨；

（2）♦.•/18，》轴于点3,设点C的坐标为（代，y）,

在Rtz^ABO中，OB=M，AB=3,由勾股定理得：0A=>/32+（V3）2=>

••・08=匏，

048=30°,

过点C作CGA.OA于G,

由题意得CB=CG,

当点C在A8上时，

贝ij0c平分乙408,

，/B0C=30°,

•••8C=4OB=L

：.C（V3，1）,

当点C在A8延长线上时，

同理可得C（代，-3）,

综上所述：C（E，1）或（依，-3）；

（3）当A0=AP=2代时，则P（禽，3-273）或（M，3+2代）,

当0A=0P时、由08_LA尸得，AB=BP,

：.P（愿，-3）,

当以=P。时，

：.ZOAP=ZPOA=30a,

贝IjOP平分/AOB,

:.P（V3，1）,

综上所述：P（代，3-273）或（代，3+273）或（加，-3）或（禽，1）.

【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含30°角的直角三角形的性质,

角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键.

29.（2021秋•虹口区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形.

（1）在y轴正半轴取一点E,使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与04交于M,已知M8=3五,求

MO.

（2）若等边aAOB的边长为6,点C在边。4上，点。在边AB上，且OC=38£>.反比例函数y=K（k

x

^0）的图象恰好经过点C和点。，求反比例函数解析式.（此题无需写括号理由）

【分析】（1）过M作MHVx轴交x轴于点H,利用勾股定理得出OM与OH的关系，再计算出OH和

即可；

（2）过C作CFLv轴交x轴于点F,过。作。GJ_x轴交x轴于点G,OF=a,分别用a的代数式表示出C

点和D点的坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可.

【解答】解：（1）如下图，过M作MHLx轴交x轴于点H,

设OH=m,

•../EOB=90°,△EOB是一个等腰直角三角形，

：.EO=BO,NEBO=45°,

...直角也是等腰直角三角形，

即

"：MH2+BH2=BM2,

即2M资=(3&)2=18,

解得：MH=3,

又•••△408是等边三角形，

...NAOB=60°,

.•.NOMH=30°,

：.OM=2OH=2m,

在RtAA/OW中，MH2+OH2=0M2,

即:9+,”2=4〃?2,

解得：皿广百，m2=-E(含)

••-0M=2m=2V3；

(2)如下图，过C作CFLx轴交x轴于点F,过。作。G_Lx轴交x轴于点G,

设OF=a,

'：/\AOB是等边三角形，

.・・乙4。8=乙钻。=60°,

：.ZOCF=ZBDG=30°,

AOC=2OF=2a,BD=2BG,

•/0C=3BD,

・12

・・BD-f0C吟a，

oo

•*-BG=yBD=4a'

A0G=0B-BG=6^-a>

在RtZkCOF中，CF=VoC2-OF2=V3a,

在RtaOBG中，DG=VS"^=ga

o

・,.C(a,V3a),[)(g_Aa,^-a),

oo

•.•点C和点。在yjL(k/：0)上，

V3a上

a

则：

a僵

解得：

...反比例函数解析式为v再应.

y25x

【点评】本题主要考查反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质及待定系数法求解析式是解题的

关键.

30.(2021秋•浦东新区期末)如图，在平面直角坐标系内，双曲线)a70)上有A,B两点,且与直

线y=or(a>0)交于第一象限内的点4,点A的坐标为(4,2),点B的坐标为(〃，1),过点8作y轴的

平行线，交x轴与点C,交直线y=ar(“>0)与点D,

(1)求：点。的坐标；

(2)求：△AOB的面积；

(3)在x轴正半轴上是否存在点P,使△OAP是以0A为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存

在，请直接写出P的坐标.

【分析】(1)求出直线0A解析式，根据反比例函数确定B点坐标，再根据B点和D点横坐标相同求出D

点坐标即可；

(2)连接A3、0B,过A点作AH_L2£>于4,SMOB—S^OCD-S^COB-S£,ADBvlWBPnJ；

(3)分0A=0尸和OA=AP两种情况分别求出产点坐标即可.

【解答】解：(1)•••直线y=ox(a>0)与双曲线y=8交于第一象限内的点A(4,2),

X

2

・・・直线0A的解析式为y=L,

2

・・,点8(M,1)在双曲线丁=旦上，

x

〃=8,

即B(8,1),

由题知D点与B点横坐标相同都为8,

当x=8时，y=-1-x8=4,

：.D(8,4)；

(2)连接A3、OB,过A点作于”,

由(1)知C(8,0),B(8,1),D(8,4),A(4,2),

・・・OC=8,CD=4,BD=3,BC=1,AH=4,

ASMOB=S^OCD-S^COB-SMDB=—OC•CD--OC*BC-AB£)M//=AX8X4--LxRX1~—X4

222222

=16-4-6=6,

即△AOB的面积为6；

(3)存在点P,使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，分以下两种情况：

①当0A=OP时，

VA(4,2),

.•Q="2+22=2遥,

：.OP=2娓,

即P(2相，0)；

②当OA=AP时，

OP=2XA=2X4=8,

即P(8,0),

综上，符合条件的B点坐标为(2遥，0)或(8,0).

【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质及待定系数

法求解析式是解题的关键.

31.(2021秋•静安区期末)如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数丫1=上的图象上一点，ABLx

X

轴的正半轴于5点，C是03的中点；一次函数”=以+8的图象经过A、C两点，并将y轴于点。(0,-2),

若SAAOD=4.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)观察图象，请指出在y轴的右侧，当时，冗的取值范围.

【分析】(1)需求A点坐标，由S“O£>=4,点£)(0,-2),可求A的横坐标；由C是08的中点，可得

OO=AB求出A点纵坐标，从而求出反比例函数解析式；根据A、。两点坐标求一次函数解析式;

(2)观察图象知，在交点4的左边，

【解答】解：(1)作轴于E,

SMOD—4,0D=2

：.1.0D-AE=4

2

：.AE=4(1分)

"JABLOB,C为OB的中点，

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