高中数学必修一讲义集合

1.1集合

热门考点01集合的基本概念

元素与集合

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.

(2)集合与元素的关系：若a属于集合4记作aeA；若b不属于集合A,记作8定4.

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法.

(4)常见数集及其符号表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

【典例1】集合Af是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是().

A.#1GMC.leM

2

【典例2](全国高考真题(文))已知集合4={x|x=3n+2,nCN},B={681(112.14),

则集合AnB中的元素个数为()

A.5B.4C.3D.2

【特别提醒】

1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满

足元素的互异性.

2.集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用

于解决集合问题.

热门考点02集合间的基本关系

集合间的基本关系

（1）子集：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就

说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,也说集合A是集合B的子集.记为或

8卫A

（2）真子集：对于两个集合A与B,如果且集合B中至少有一个元素不属于集合

A,则称集.合A是集合B的真子集.记为力气B.

（3）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

（4）若一个集合含有n个元素，则子集个数为2"个，真子集个数为2"-L

【典例3】（2010•陕西省高考真题（理））已知全集G=，集合

A={X|X2-3X+2=0},B={x\x=2a,aeA},则集合d（AU8）中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【例4】（2019•济南市历城第二中学高一月考）集合4={%,2=4,%€/?},集合

B={x|Ax=4,xe/?},若5qA,则实数k=.

【特别提醒】

⑴判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判

断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法.

⑵要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解.不要忽略

任何非空集合是它自身的子集.

⑶根据集合间的关系求参数值（或取值范围）的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关

系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题.

提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成

漏解.

热门考点03集合的基本运算

（1）三种基本运算的概念及表示

运

自然语言符号语言Venn图

算

交由属于集合A且属于集合8的所有元素组成的An8={x|xGA且xd(2)

集集合B}

AQB

并由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的AUB={x\x^A或*£

集集合B)

补由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集

CM={x|x£U且x^A}

集合

（2）三种运算的常见性质

ADA=A,AD0=0，AQB=3nA,A\JA=A,AU0=A,

A^B=B\JA.

CLI(CyA)=A,CyU=0,CQ=U.

ADBMoAC，AUB=AoBqA,Q(AUB)=GApIQB,

Cu(An8)=QAUCuB.

【典例5】(2018•全国高考真题(理))已知集合4={,1一》一2>0},则&A=

A.1x|—1<%<21B.|x|-l<%<2!

C.D.|x<-11|x>2}

【典例6】(2019•北京高考真题(文))已知集合4=同-1〃<2},8={x|x>l},则AU8=()

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+8)D,(1,+8)

【典例7】(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)已知全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},

A={1,2,3}.B={4,5,6},则(楙)c(1/3)等于()

A.{1,2,3}B.{4,5,6}C.{123,4,5,6}D.{7,8}

【典例8】已知集合4=仅|-3a“},8={x|2m-l<x<m+l},且Ac8=B,则实数m的取

值范围为()

A.[-1,2)B.[-1,3]

C.[2,+oo)D.[-1,+oo)

【总结提升】

1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：

⑴看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题

的前提.

(2)对集合化简.有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题

变得简单明了，易于解决.

⑶注意数形结合思想的应用.集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图.

2.根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：

⑴用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；

⑵由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间

法要注意端点值的情况.

热门考点04集合中的“新定义”问题

【典例9](2015•湖北高考真题(理))已知集合4={(xy)|x2+y2<1,x.yeZ],

B={(x,y)||x|<2,|y|<2,弟ywZ),定义集合

A®B={(xx+x2.y!+y2)|(x1.y1)eA.(x2,y2)eB},则A〶B中元素的个数为

()

A.77B.49C.45D.30

【总结提升】

解决集合新定义问题的着手点

⑴正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新

定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的

集合，是解决这类问题的突破口.

(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型

集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因

素，并合理利用.

(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，

当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的.

第02讲常用逻辑用语

1.充分条件'必要条件与充要条件的概念

若p=q，则〃是〃的充分条件,q是D的必要条件

p是q的充分不必要条件p=>q且qAp

p是q的必要不充分条件p=q且q=p

p是q的充要条件poq

p是q的既不充分也不必要条件声q且声P

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所直”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全

称量词，并用符号”上”表示.

⑵存在量词：短语“有一个”或“直些”或“至少有一个”在陈述中表示所述

事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“3”表示.

3.全称命题和存在性命题（命题〃的否定记为「p,读作“非）

称

全称命题存在性命题

形

结构对M中的所有尤，有p（x）成立存在M中的一个尤o,使p（xo）成立

简记〃（xo）

否定—।p(xo)PxGM,—ip(x)

［方法技巧］

1.区别A是8的充分不必要条件（A=>3且/A）,与A的充分不必要条件是

B（BnA且A令3）两者的不同.

2.A是B的充分不必要条件Q㈱8是㈱A的充分不必要条件.

3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

一、经典例题

考点一充分条件与必要条件的判断

【例11-21（2019•上海市七宝中学高一月考）已知函数/（X）定义域是R,那么"/（X）是增

函数"是"不等式/(x)</(x+0.001)恒成立"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】函数为R上的增函数=>不等式/(x)</(x+0.001)恒成立，反之不成立，

"/(幻是增函数"是"不等式/(x)</(x+0.001)恒成立”的充分不必要条件.

故选：A

规律方法充要条件的两种判断方法

(1)定义法：根据png,〃进行判断.

(2)集合法：根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

考点二全称量词与存在量词

【例2-1](2015江苏省高二期中)命题x2_3x+2wo”的否定为()

2

A.1,3],xj—3x0+2>0B.Vx矶—1,3],x—3x+2>0

2—

C.Vxe[—1,3],x—3x+2>0D.Hx0[1,3],—3AQ+2>0

【答案】A

【解析】因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题"Vxe[—1,3],回一3X+2已0”的否定为"叫«T,3],片-3/+2>0”.

故选A.

【例2-2](2019•辽宁省高二期中(理))设命题，：玉eR,2X>x2.则一为()

A.VxeR,2X>x2B.3xeR,2X<x2

c.VxeR,2x<x2D.3xeR,2x<x2

【答案】C

【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即VxeR,2x4x2.

规律方法1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全

称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词

改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.

2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.

考点三充分条件、必要条件的应用

【例3-1](2020・山东省高二期末)已知命题「：关于工的不等式仕一1),一(&-1)%+2>0

2x2-7

的解集为R,q：3x>2,三~-<k,试判断"P为真命题"与"r为真命题”的充分必要

x-2

关系*

【答案】充分不必要

【解析】若P为真命题：当左=1时，对于任意xeR,则有2>0恒成立；

7：-1>0

当我。1时，根据题意，有{,、2,、，解得1<Z<9.

△=(1)一_8(J)<0

所以14%<9；

2x2-7

若F为真命题：Vx>2,—_->k.

x-2

宜」=岂上空3(土空1=2(x-2)+-L+822夜+8，

x—2x—2x-2

当且仅当x=2+三时，等号成立，所以攵<8+2夜.

•.•{修1<女<9}48+2及},所以，"〃为真命题"是"F为真命题"的充分不必要条

件.

【例3-2](2019•浙江省宁波市郸州中学高二月考)已知命题："*e{x|—1<X<1},使

等式f一％-m=0成立”是真命题.

(0)求实数加的取值集合M；

(0)设不等式(x—a)(x+a-2)<0的解集为N,若xwN是xeM的必要条件，求。的

取值范围.

1Q1

【答案】(1)-(2)或q<—

【解析】(1)方程在(-1J)有解，转化为函数9=/一》在(-U)上的值域，实数机的取

值集合M可求;

(2)xeN是xeM的必要条件，分a=l、a>la<1三种情况讨论即可求。的取值

范围.

(1)由题意知，方程f—x—〃z=O在(一L1)上有解，

即m的取值范围就为函数j,=x2一x在(一U)上的值域，易得M={机|一；《机<2)7分

(2)因为xeN是xeM的必要条件，所以分

当a=l时，解集N为空集，不满足题意9分

当a>l时，a>2-a，此时集合N=2-a<“<a}

2—a<——9

则<4»解得a>—12分

4

a>2

当a<l时，a<2-a»此时集合N={x［a<“<2-a}

a<—1

则{4,="一二15分

4

2-a>2

9、1

综上a>—或a<—16分

44

规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时

需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之

间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范

围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解

的现象.

(3)数学定义都是充栗条件.

［思维升华］

1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

(1)定义法

(2)利用集合间的包含关系判断：设4={可〃(》)},B={x0(x)};

①若则〃是q的充分条件，q是〃的必要条件；

②若4*8，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

③若A=B,则p是q的充要条件.

2.栗写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结

构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.

［易错防范］

1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而

不必要条件是等语言.

2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进

行否定.

第03讲：一元二次不等式及简单不等式

(其他不等式：高次)

二、基础知识回顾

1、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式/=h2—4acJ>0J=0/VO

二次函数丫=〃/+法

+c(〃>0)的图象

一元二次方程

有两相异实数根M，有两相等实数根XI=

ax2+bx+c—0没有实数根

b

12al<X2)

12=~2a

3>0)的根

一元二次不等式

cv^+bx+cX)[x\x<xi或X>X1]JIA

国x^~2a卜R

(〃>0)的解集

一元二次不等式

o^+bx+cVO｛小]<X<X2)00

3>0)的解集

2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法

。>0,

(1).一元二次不等式〃/+法+c>0对任意实数X恒成立=按_44c<0.

p<0,

2

(2)一元二次不等式ax+bx+c<0对任意实数x恒成立oj^2_4f/c<o

3、.简单分式不等式

於)幽8(力之0，

(l)g(x)K)=[g(x)/).

启)

(2)g(x)>0m/Wg(x)>0.

方法总结：(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给

定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x

轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.

(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，

求谁的范围，谁就是参数.

(3)若1x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式次x)>0的解集的子集，可以先求解集，

再由子集的含义求解参数的值(或范围).

(4)转化为函数值域问题，即已知函数的值域为〃],则7U)次恒成立刃(x)mi仑”，即m>6h

/(X)%恒成立秒/(X)max%,即八人.

基本不等式及应用

I、基本不等式犯后2

(1)基本不等式成立的条件：。>0,比>0.

(2)等号成立的条件:当且仅当生=〃

2、算术平均数与几何平均数

设。>0,6>0,则a,6的算术平均数为3二,几何平均数为强，基本不等式可叙述为：两

个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

3、利用基本不等式求最值问题

已知x>0,y>0,则

(1)如果孙是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2、1

纪

(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=)，时，孙有最大值是4

4、基本不等式的两种常用变形形式

(1)4区匕GR,当且仅当时取等号).

(2)”+处2旧3>0,b>0,当且仅当a=6时取等号).

5、几个重要的结论

标+按(a+b\

(1)2><2J2-

ba

(2区+层2(9>0).

M2+Z>2

(3)V^<2<-2-(〃>0，匕>0).

方法总结：1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件,

即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值

(常数);(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把力”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,

进而构造和或积为定值的形式。(4)利用基本不等式求解最值.

函数

一、基础知识回顾

1、函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=f(x),把使方程f(x)=O的实数x称为函数y=f(x)的

零点.

(2)方程的根与函数零点的关系：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=O的实数根，也就是

函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.所以函数y=f(x)有零点等价于函数y=f(x)的图像

与x轴有交点，也等价于方程f(x)=O有实根.

(3)零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a>f(b)<0,那么函数

y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在cG(a,b),使得f(c)=O,此时c就是方程f(x)=O的

根.但反之，不成立.

2、二分法

对于在区间上连续不断且f(a).f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在

的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分

法.求方程f(x)=O的近似解就是求函数f(x)零点的近似值.

3、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系

J>0J=0J<0

二次函数丫=

v『/

J/AZ

ax2+bx+

o

VAOLI

c(a>0)的图像

交点(Xi,O),_(X2,0)(XI,0)无交点

零点个数210

4、有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数./U)在定义域上是单调函数，则为弱至多有一个零点.

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

第04讲对数与对数函数

二、考情分析

1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数

或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助

计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

3.知道对数函数y=logaX与指数函数y=a*互为反函数(a>0,且。/1).

三、知识梳理

1.对数的概念

一般地，对于指数式ab=N,我们把“以a为底N的对数b”记作log“N,即b

=Tog“N(a〉0,且aWl).其中，数色叫做对数的底数，“叫做真数，读作*等于

以。为底N的对数”.

2.对数的性质、换底公式与运算性质

⑴对数的性质：①②log，=b(a>0,月.aWl).

⑵对数的运算法则

如果。〉0且aWl,M>0,N>0,那么

①log“(M7V)=log“M+log“N；

(2)log^=logaM-lo^aN；

③eR)；

nl,=

@log(i'M^}ogaM(m,nGR,且加WO).

⑶换底公式：logW=譬％,匕均大于零且不等于1).

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y=logd(a>0,且aWl)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的

定义域是(0,+°°).

⑵对数函数的图象与性质

。＞1

图象

性质定义域：(0,十8)

值域：R

当尤=1时，y=0,即过定点(1,0)

当x>l时，y>0；当x>l时，><0；

当0<x<l时，)><0当0<x<l时，y>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

4.反函数

指数函数)=«*(。>0,且aWl)与对数函数y=log“x(a>0,且aWl)互为反函数，

它们的图象关于直线y=x对称.

［微点提醒］

1.换底公式的两个重要结论

1n

(l)log“b=^丽；(2)loga™^=-logafc.

其中a>0,且aWl,b>0,且m,〃WR.

2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

3.对数函数y=logox(a>0,且aW1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1)，(｝，—1)，

函数图象只在第一、四象限.

四、经典例题

考点一对数的运算

【例1-1】(1)计算：0g1—lg25)+100-3=.

c、、4_管(l-】og63)2+Qg62-k)g618

⑵计算：log64----------

【解析】(1)原式=(也2-2—怆52/1001=电(公学卜10=怆10^2X10=-2X10=-20.

06

1—21og63+(log63)-+log63-log6(6X3)

⑵原式=---------------西L-----------

1-21og63+(log63)2+1—(log63)2

log64

2(1-log63)log66-log6310序2

--

-210g62-log62log62.

规律方法1.在对数运算中，先利用幕的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数赛的形

式，使森的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底

对数真数的积、商、霖再运算.

3H=N0b=log“N(a>0,且aWl)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意

互化.

考点二对数函数的图象及应用

【例2-1】⑴若函数。一了(a>0且"W1)在R上为减函数，则函数y=log“(|x|-1)的

图象可以是()

(2)当x£(l,2)时，不等式(x-l)2<logM恒成立，则。的取值范围是()

A.(0,1)B.(l.2)

C.(l,2]

【解析】(1)由y(x)在R上是减函数，知

又y=logo(|x|-1)是偶函数，定义域是(一8,—1)U(1,+«>).

...当x>l时，y=log“(x—1)的图象由y=log„x向右平移一个单位得到.因此选项D正确.

(2)由题意，易知。>1.

在同一坐标系内作出y=(x—1)2,犬6(1,2)及y=logd的图象.

若y=logaX过点(2,1),得log〃2=1,所以67=2.

根据题意，函数.yulogR,XG(1,2)的图象恒在y=(x-l)2,%e(l,2)的上方.

结合图象，”的取值范围是(1,2J.

规律方法1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐

标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

考点三对数函数的性质及应用

【例3—1】已知函数/(x)=lnx+ln(2—x),贝ij()

A：/(x)在(0,2)上单调递增

8心)在(0,2)上单调递减

C.y=/(x)的图象关于直线x=l对称

Dj，=/(x)的图象关于点(1,0)对称

解析由题意知，Kx)=lnx+ln(2-x)的定义域为(0,2),_/(x)=ln[x(2-x)]=

ln[-(x-l)2+l],由复合函数的单调性知，函数;(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递

减，所以排除A,B；又12-x)=ln(2—x)+lnx=/(x),所以./(x)的图象关于直线x=l对称，

C正确，D错误.

答案C

【例3—2】(1)(一题多解)己知”=log2e,b=\n2,c=log；；,贝！Ja,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.h>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

⑵若10go(a2+l)<log〃2a<0,则a的取值范围是()

A.(0,1)B(0,3)

C.&1JD.(0,1)U(1,+~)

【解析】(1)法一因为a=log2e>l,0=ln2G(0,1),c=log||=log23>log2e—a>l,所以

c>a>b.

法二log；；=log23,如图，在同一坐标系中作出函数y=log2X,y=lnx的图象，由图知c>a>b.

(2)由题意得公>0且aWl,故必有〃+l>2a,

2

又logaS+l)<loga2a<0,所以0<a<1,

同时2a>1,.•.尾.综上，“G&1).

【例3—3】已知函数段)=log“(3—ax).

(1)当x《[0,2m寸，函数於)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a,使得函数./U)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1?如果存

在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

【解析】(1);”>0且a#L设*x)=3—or,

则t(x)=3-ax为减函数，

xe［0,2］时，，(x)的最小值为3—2a,

当小［0,2］时,段)恒有意义,

即x£［0,2］时，3—〃笛>0恒成立.

3

/.3-26f>0.a<2.

又”>0且aWl,的取值范围是(0,l)u(l,

(2)/(x)=3—or,*.*a>0f

，函数«x)为减函数.

,.了(x)在区间［1,2J上为减函数，为增函数，

xG［l,2］时，f(x)最小值为3—2a,府)最大值为川)=k>g"(3—a),

f3-2a>0,a<2,

A即<

log(3—a)=1,_3

a1a—菱.

故不存在这样的实数a,使得函数_/(x)在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为1.

规律方法1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.

2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.

3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性

来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正

的限制条件.

［方法技巧］

1.对数值取正、负值的规律

当a>l且">1或0<a<l且0<〃<1时，logqfr>0；

当a>l且0<b<\或0<a<l且历>1时，log滴<0.

2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把

不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.

3.比较幕、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.

4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y=l交点的横坐标进行

判定.

5.在对数式中，真数必须是大于。的，所以对数函数y=k>g„x的定义域应为（0,+8）.对数

函数的单调性取决于底数。与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0<。<1

与a>\两种情况讨论.

aa

6.在运算性质log„M=alogaM中，要特别注意条件，在无M>Q的条件下应为\og（lM=

alog"M（aWN+,且a为偶数）.

7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：（1）务必先研究函数的定义域；（2）注意对数底

数的取值范围.

第05讲-指数与指数函数

五'考情分析

m

1.通过对有理数指数寡a；（a>0,且aWl；加，〃为整数，且〃>0）、实数指数霖出（°>0,

且aWl；xdR）含义的认识，了解指数募的拓展过程，掌握指数塞的运算性质；

2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；

3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的

单调性与特殊点.

六'知识梳理

1.根式

（1）概念：式子;仿叫做根式,其中〃叫做根指数，a叫做被开方数.

（2）性质：（g）"=a（。使缶有意义）；当〃为奇数时，当〃为偶数时，

a,aNO,

=同=,

—。，a<0.

2.分数指数累

（1）规定：正数的正分数指数幕的意义是。［=亚（。>0,加，〃6N+,且〃>1）；正

m1

数的负分数指数暴的意义是相二=」-（a〉0,m,〃GN+,且〃>1）；0的正分数指

朝

数暴等于0；0的负分数指数幕没有意义.

（2）有理指数幕的运算性质:arcf=ar+s\（优>=贮；（abY=arbr,其中a>0,b>0,

r,s£Q.

3.指数函数及其性质

⑴概念：函数)=〃(。>0且叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的

定义域是R,a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>l0<<7<1

图象

定义域R

值域(0,+8)

过定点(0,1),即x=0时，y=l

当x>0时，y>l；当冗<0时，y>l；

性质

当x<0时，Ovyvl当x>0时，Ovyv1

在(一8,十8)上是增函数在(一8,十8)上是减函数

［微点提醒］

1.画指数函数y=a，(a>0,且aWl)的图象，应抓住三个关键点：(1,a),(0,1),

J/)•

2.在第一象限内，指数函数y=a、(a〉0且aWl)的图象越高，底数越大.

七、经典例题

考点一指数幕的运算

［^|J1-1］化简下列各式：

o乂帚3,^>0).

⑴侬)+2-2(2乔_(0.01产；

(2)-

(哂)4a-b~

4X3-T0=1+6-10=i5-

22

(**/：汽附3)231I11

-------------十一।4-,I4-2一一匕a

(2)原式=j1~a263”33一3

at^a初

【例1・2】化简下列各式:

I2121

51一-一

(1)[(0.0645产5]3一(2的力2.(—3晨2bI)+(443万3)2

解⑴原式=1(焉炉卜制T

21

5I-

⑵原式=一犷"3六4加.r3)2

1212

51--5一-

=_?厂初―3汽苏/<3)=—/一24—3

51_5y[ab

~2'莉?——4ab2,

规律方法1.指数赛的运算首先将根式、分数指数赛统一为分数指数球，以便利

用法则计算，但应注意：(1)必须同底数寐相乘，指数才能相加；(2)运算的先后

顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

考点二指数函数的图象及应用

【例2-1］若函数./U)=|2，-21一b有两个零点，则实数b的取值范围是.

解析(\)y—(a—l)2'—^=a\2x—^—2x,令2'一尹0,得x=-1,

故函数y=(a-1)2'-5恒过定点(一1,一；)

(2)在同一平面直角坐标系中画出y=|2*-2|与y=b的图象，如图所示.

...当0<*2时，两函数图象有两个交点，从而函数八》)=|2，一2|一人有两个零点.

.•2的取值范围是(0,2).

【例2-2](1)函数兀v)=/〃的图象如图所示，其中a,b为常数，则下列结论正确的是()

A.6Z>1,b<0

h>0

C.0<a<\,b>0

D.O<〃<1,b<0

【例2-3】若曲线|)，|=2,+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是

解析(1)由./U)=aL"的图象可以观察出，函数在定义域上单调递减，所以

函数,/(x)="一"的图象是在火x)="的基础上向左平移得到的，所以A0.

(2)画出曲线仅|=2*+1与直线y=Z?的图象如图所示.

由图象得|.y|=2，+l与直线)，=。没有公共点,则b应满足的条件是〃丘[-1,I].

考点三指数函数的性质及应用

【例3—1】⑴下列各式比较大小正确的是()

A.1.7Z5>1.73B.0.6-1>0,62

C.O.8-OI>1.2502D.1.7O-3<O.931

•X

Q)—7,x<0,若刎<1,则实数。的取值范围是

(2)设函数兀。=

F，x20,

【解析】（1）A中，•.•函数y=l7在R上是增函数，2.5<3,

.,.1.725<1.73,错误；

B中，..）二在6在R上是减函数，一1<2,

0.6'>0.62,正确；

C中，V（0.8）-1=1.25,

.•.问题转化为比较1.25°」与1.2502的大小.

：y=1.25，在R上是增函数，0.1<0.2,

1.250|<1,250-2,即0.8一错误;

D中，V1.703>1,0<0.93'<1,

.•.1.7°-3>0,931,错误.

a

⑵当«<0时，原不等式化为-7<1,

则2"<8,解之得3—3,所以一3<a<0.

当a20时,则如<1,0Wa<l.

综上知，实数a的取值范围是（一3,1）.

答案（1）B（2）（-3,1）

[1503-21（1）已知函数段）=2疝-叫加为常数）,若危）在区间[2,+8）上是增加的,则切

的取值范围是.

（2）若函数外）=（；）的值域是（（），I],则於）的单调递增区间是.

【解析】⑴令r=|2x一,〃|,则r=|2x一刚在区恒+8）上是增加的，在区间（-8,g

上是减少的.而y=2,在R上是增加的，所以要使函数_/W=2①f在[2,+8）上是增加的，

则有^W2,即mW4,所以m的取值范围是（-8,4].

（2）令8（幻=加+2丸+3,

由于7U）的值域是（o，I，

所以g（x）的值域是[2,+8）.

%>0,

因此有<12a—4解得a=l,

-A~.~=2,

这时g(x)=/+2x+3,,/(x)=(；)

由于g（x）的单调递减区间是（一8,-1],

所以贝x）的单调递增区间是（一8,-1].

【例3—3】如果函数），=0+2济-1（〃>0,且aWl）在区间[-1,1]上的最大值是14,则a

的值为.

【解析】令"=f,则丫=0+2/—1=尸+2，­1=。+1）2—2.当“>1时，因为xG

[―1,1J,所以a,又函数y=（t+I）2—2在a上单调递增，所以ymax=（a+l）2

—2=14,解得。=3（负值舍去）.当0<°<1时，因为xd[—1,I],所以fGa,又函数y

2

=«+1）2—2在a,（上单调递增，则ymax=（5+l）—2=14,解得a=g（负值舍去）.综上，a

2T1

=3或a=y

答案3或g

规律方法1.比较指数式的大小的方法是：（1）能化成同底数的先化成同底数赛，

再利用单调性比较大小；（2）不能化成同底数的，一般引入力”等中间量比较大小.

2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、

单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等

问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与'T'的大小关系不确定时,

要分类讨论.

[方法技巧]

1.根式与分数指数赛的实质是相同的，分数指数赛与根式可以互化，通常利用分

数指数凝进行根式的化简运算.

2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x=l得到底数的值再进

行比较.

3.指数函数的单调性取决于底数。的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应

分0<〃<1和4>1两种情况分类讨论.

4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，

并且一定要注意函数的定义域.

5.对可化为a2x+b-ax+c=Q或必+万a'+c20(W0)形式的方程或不等式，常借助

换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.

第06讲一幕函数与二次函数

八'考情分析

1.通过具体实例，结合y=x,y=y=f,y=y[x,丁=9的图象，理解它们的

变化规律，了解嘉函数；

2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简

单问题.

九'知识梳理

1.幕函数

(1)幕函数的定义

一般地，形如丫=犬的函数称为幕函数,其中x是自变量，a为常数.

⑵常见的5种事函数的图象

(3)幕函数的性质

①幕函数在(0,+8)上都有定义；

②当a〉0时，基函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当a<0时，基函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.二次函数

⑴二次函数解析式的三种形式：

一般式：心)=加+尿+。(。工0).

顶点式：/x)=a(x—m)2+n(a^0),顶点坐标为(加，”).

零点式：.*x)=a(x—xi)(x—X2)(aW0),x\,X2为/(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

函数