2025届高考数学一轮复习作业两个计数原理排列与组合新人教B版

PAGEPAGE1两个计数原理、排列与组合一、选择题1．(2024·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆支配1名，乙场馆支配2名，丙场馆支配3名，则不同的支配方法共有()A．120种B．90种C．60种D．30种C[Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60．]2．(2024·合肥市第六中学高三模拟)某方舱医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现依据工作须要，医院打算将其中3位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，其余的3位主治医师仍在原来的医疗小组(不做调整)，假如调整后每个医疗小组仍都配备1位主治医师，则调整的不同方案数为()A．36B．40C．48D．56B[从6个医疗小组选出3位主治医师，有Ceq\o\al(3,6)＝20种不同的方法；不妨设这3位主治医师分别为甲、乙、丙，调整即为不在原来的医疗小组，有2种不同的方法．综上，调整的不同方案数为20×2＝40．]3．风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程．为深化开展党史学习教化，某街道党支部确定将4名党员支配到3个社区进行专题宣讲，且每个社区至少支配1名党员，则不同的支配方法总数为()A．12B．24C．36D．72C[首先将4名党员分成3组，共有eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝6种，再将3组安排到3个社区，共有Aeq\o\al(3,3)＝6种，所以不同的支配方法总数为6×6＝36种．]4．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告依次须要相邻，这样不同的报告方案共有()A．80种B．120种C．130种D．140种D[若夫妻中只选一人，则有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(3,3)＝120种不同的方案；若夫妻二人全选，则有Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝20中不同方案，故总计有140种不同方案，故选D．]5．现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上进行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有()A．36种 B．48种C．24种 D．30种B[先给B地种植，有4种选择，再给C块地种植，有3种选择，再给A地种植，有2种选择，最终给D地种植，有2种选择．依据分步乘法计数原理可知共有4×3×2×2＝48(种)不同的种植方法．]6．某中学语文老师从《红楼梦》《平凡的世界》《红岩》《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的安排方法共有()A．6种B．12种C．18种D．24种C[(1)先从《平凡的世界》《红岩》《老人与海》三本书中选择2本，共有Ceq\o\al(2,3)＝3(种)选法；(2)将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学生，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)排法，依据分步乘法计数原理，不同的安排方法有3×6＝18(种)．故选C．]7．福州西湖公园花展期间，支配6位志愿者到4个展区供应服务，要求甲、乙两个展区各支配一个人，剩下两个展区各支配两个人，不同的支配方案共有()A．90种B．180种C．270种D．360种B[依据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，支配到甲展区，有Ceq\o\al(1,6)＝6种状况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，支配到乙展区，有Ceq\o\al(1,5)＝5种状况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后支配到剩下的2个展区，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝6种状况，则一共有6×5×6＝180种不同的支配方案．]二、填空题8．已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，则m＝．2[由组合数公式化简整理得m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21(舍去)．]9．(2024·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少支配1名同学，则不同的支配方法共有种．36[由题意，分两步进行支配，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有Ceq\o\al(2,4)＝6种支配方法；其次步，将分好的3组支配到对应的3个小区，有Aeq\o\al(3,3)＝6种支配方法，所以不同的支配方法有6×6＝36(种)．]10．有4位老师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位老师不能在本班监考，则不同的监考方法有种．9[设四位监考老师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d．假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法．]1．支配3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的支配方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种D[由题意可得其中1人必需完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得支配方式为Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(种)，或列式为Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36(种)．故选D．]2．(2024·江西宜春高三模拟)2024年4月15日，是第六个全民国家平安教化日，教化厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家平安学问的宣讲，时间依次要求是：高校甲必需排在其次或第三个，且高校甲宣讲结束后需马上到高校丁宣讲，高校乙、高校丙的宣讲依次不能相邻，则不同的宣讲依次共有()A．28种B．32种C．36种D．44种B[依据题意分成以下两种状况进行分类探讨：高校甲排在其次个时，高校丁必排在第三个，当乙或丙排在第一个时共有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12种排法，当乙或丙不排在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝4种排法，所以高校甲排在其次个时共有16种排法；高校甲排在第三个时，高校丁必排在第四个，乙或丙只能一个排在第一二个，一个排在第五六个，则共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝16种排法；综上：共有32种排法满意题意．]3．某重点中学支配支配甲、乙等5名骨干老师在3个平台上发布自己录好的视频课件，每个平台至少支配一名老师，每名老师也只能在一个平台上发布视频课件，若甲、乙2名老师不在同一个平台上发布视频课件，则不同的支配方法有()A．120种B．114种C．108种D．96种B[若不考虑甲、乙2名老师不在同一个平台上发布视频课件，则不同的支配方法有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))))·Aeq\o\al(3,3)＝150(种)；若甲、乙2名老师在同一个平台上发布视频课件，则不同的支配方法有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(2,3)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,3)·\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))))·Aeq\o\al(3,3)＝36(种)，所以满意条件的支配方法有150－36＝114(种)．]4．(2024·安徽铜陵高三一模)2024年12月17日，嫦娥五号返回器携带1731克月球土壤样品在内蒙古四子王旗预定区域平安着陆，至此我国成为世界上第三个从月球取回土壤的国家．某科研所共有A、B、C、D、E、F六位地质学家他们全部应邀去甲、乙、丙三所不同的中学开展月球土壤有关学问的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，其中地质学家A被支配到甲中学，则共有不同的派遣方法数为()A．180B．162C．160D．126A[依据题意，分2步进行分析：①将A、B、C、D、E、F六位地质学家分为3组，若分为1、1、4的三组，有Ceq\o\al(4,6)＝15种分组方法，若分为1、2、3的三组，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)＝60种分组方法，若分为2、2、2的三组，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15种分组方法，则共有15＋60＋15＝90种分组方法；②将A所在的组支配到甲学校，剩下的2组支配到其他两个学校，有2种支配方法，则有90×2＝180种支配方法．]1．在某班进行的演讲竞赛中，共有5位选手参与，其中3位女生，2位男生．假如2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，求出场依次的排法种数，下列列式错误的是()A．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3) B．Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)C．Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3) D．Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)C[若第一个出场的是男生，则其次个出场的是女生，以后的依次随意排，方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2位女生排列好，2位男生插空，方法有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)种．∴满意条件的出场依次有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)种，故A正确；先排3位女生，3位女生之间有4个空，从4个空中选2个排男生，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)种，若女生甲排在第一个，则3位女生之间有3个空，从3个空中选2个排男生，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)种，∴满意条件的出场依次有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)种，故B正确；5位选手全排列的方法数Aeq\o\al(5,5)减去2位男生连续出场的方法数Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)，再减去女生甲排在第一个的方法数Aeq\o\al(4,4)．∵多减去了2位男生既连续出场，女生甲又排在第一个的方法数Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，∴满意条件的出场依次有Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种，故D正确．故选C．]2．将甲、乙等5位同学分别保送到北京高校、上海交通高校、浙江高校三所高校就读，每所高校至少保送一人．(1)有种不同的保送方法；(2)若甲不能被保送到北大，有种不同的保送方法．(1)150(2)100[(1)5名学生可分成2,2,1和3,1,1两种形式，当5名学生分成2,2,1时，共有eq\f(1,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有Ceq\o\al(3,5)A