新教材2025届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题15球的接切问题

微专题15球的接、切问题一、单项选择题1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是()A．6πB．12πC．18πD．24π2．[2024·河北沧州模拟]某圆锥的侧面绽开图是一个半径为2eq\r(6)，圆心角为π的扇形，则该圆锥的内切球的体积为()A．eq\f(8\r(2)π,3)B．eq\f(8\r(3)π,3)C．4πD．6π3．[2024·河北石家庄模拟]有一个正三棱柱形态的石料，该石料的底面边长为6.若该石料最多可打磨成四个半径为eq\r(3)的石球，则至少须要打磨掉的石料废料的体积为()A．216－4eq\r(3)πB．216－16eq\r(3)πC．270－16eq\r(3)πD．270－4eq\r(3)π4．在三棱锥A­BCD中，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BD⊥BC，AC＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为()A．40πB．32πC．8πD．6π5．[2024·安徽合肥模拟]已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为16π，上、下底面的面积之比为1∶9，则球的表面积为()A．12πB．14πC．16πD．18π6.如图，半球内有一内接正四棱锥S­ABCD，该四棱锥的体积为eq\f(4\r(2),3)，则该半球的体积为()A．eq\f(\r(2),3)πB．eq\f(4\r(2),9)πC．eq\f(4\r(2),3)πD．eq\f(8\r(2),3)π7.[2024·安徽马鞍山模拟]如图，在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2AA1＝2A1B1＝2eq\r(3)，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为()A．16πB．eq\f(97,4)πC．eq\f(105,4)πD．30π8．已知三棱锥D­ABC的全部顶点都在球O的球面上，AD⊥BD，AC⊥BC，∠DAB＝∠CBA＝30°，二面角D­AB­C的大小为60°，若球O的表面积等于16π，则三棱锥D­ABC的体积等于()A．eq\r(3)B．eq\f(3\r(5),5)C．eq\r(7)D．eq\f(2\r(7),3)二、多项选择题9．已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的eq\f(1,3)，则下列结论正确的是()A．球O的表面积为6πB．球O的内接正方体的棱长为1C．球O的外切正方体的棱长为eq\f(4,3)D．球O的内接正四面体的棱长为210．[2024·河北沧州模拟]若四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC＝eq\r(2)，AD＝2，且异面直线BC和AD所成角的余弦值为eq\f(2\r(2),3)，则球O的表面积可能为()A．10πB．12πC．106πD．108π[答题区]题号12345678910答案三、填空题11．[2024·湖南邵阳模拟]三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝4，AC＝2AB＝2eq\r(3)，AC⊥AB，则三棱锥P­ABC外接球的表面积为________．12．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝eq\r(3)，AA1＝2eq\r(2)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，则球O的体积为________．13．[2024·江苏扬州模拟]已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的全部三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．14．[2024·安徽合肥模拟]已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，△ADC是边长为2的等边三角形，△ADC外接圆的圆心为O′.若四面体ABCD的体积最大时，∠BAO′＝eq\f(π,3)，则球O的半径为________；若AB＝BC＝eq\f(\r(21),3)，点E为AC的中点，且∠BED＝eq\f(2π,3)，则球O的表面积为________．微专题15球的接、切问题1．解析：正方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则(2r)2＝22＋22＋22＝12，解得r＝eq\r(3)，故球的表面积为S＝4×π×(eq\r(3))2＝12π.故选B.答案：B2．解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝π×2eq\r(6)，所以r＝eq\r(6)，h＝eq\r(（2\r(6)）2－（\r(6)）2)＝3eq\r(2)，设该圆锥内切球的半径为R，作出轴截面如图，利用相像可得eq\f(R,3\r(2)－R)＝eq\f(\r(6),2\r(6))，所以R＝eq\r(2)，所以V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\f(4π×2\r(2),3)＝eq\f(8\r(2)π,3).故选A.答案：A3．解析：设底面是边长为6的等边三角形的内切圆的半径为r，由等面积法可得eq\f(1,2)×3×6r＝eq\f(\r(3),4)×62，解得r＝eq\r(3)，若可以将该石料打磨成四个半径为eq\r(3)的石球，则该柱形石料的高至少为8eq\r(3)，因此，至少须要打磨掉的石料废料的体积为eq\f(\r(3),4)×62×8eq\r(3)－4×eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝216－16eq\r(3)π.故选B.答案：B4．解析：因为△ACD和△BCD均为以CD为斜边的直角三角形，则三棱锥的外接球球心即为CD的中点，由题意可得：CD＝eq\r(2)AC＝4eq\r(2)，则外接球的半径R＝eq\f(1,2)CD＝2eq\r(2)，所以外接球的表面积S＝4πR2＝32π.故选B.答案：B5．解析：依据题意，球内切于圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，如图所示，过B点作CD的垂线，垂足为E，设球的半径为R，则BE＝2R，设圆台的母线为l，即BC＝l，上、下底面的面积之比为1∶9，即eq\f(πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝eq\f(req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝eq\f(1,9)，r2＝3r1，由圆的切线长定理可知，r1＋r2＝l⇒l＝4r1，圆台的侧面积为π(r1＋r2)l＝4πr1l＝16πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝16π，解得r1＝1，则2R＝BE＝eq\r(l2－（2r1）2)＝2eq\r(3)，即R＝eq\r(3)，则球的表面积S＝4πR2＝12π.故选A.答案：A6．解析：依题意，设半球的半径为R，连接AC，BD交于点O，连接SO，如图所示：则有AO＝BO＝SO＝R，易得AB＝eq\r(2)R，所以正四棱锥S­ABCD的体积为：VS­ABCD＝eq\f(1,3)×|AB|2×SO＝eq\f(1,3)×2R2×R＝eq\f(4\r(2),3)，解得：R＝eq\r(2)，所以半球的体积为：V＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×πR3＝eq\f(4\r(2),3)π.故选C.答案：C7．解析：如图所示的正四棱台ABCD­A1B1C1D1取上下两个底面的中心M，N，连接MN，A1M，AN，过点A1作底面的垂线与AN相交于点E，因为四棱台ABCD­A1B1C1D1为正四棱台，所以外接球的球心肯定在直线MN上，在MN上取一点O为球心，连接OA，OA1，则OA＝OA1＝R，设ON＝h，因为AB＝2AA1＝2A1B1＝2eq\r(3)，所以AN＝eq\r(6)，A1M＝eq\f(\r(6),2)，MN＝A1E＝eq\r(AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－AE2)＝eq\r(AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－（AN－EN）2)＝eq\r(AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－（AN－A1M）2)＝eq\f(\r(6),2)，所以ENMA1为正方形，故O必在MN延长线上，在Rt△OAN中，OA2＝AN2＋ON2，即R2＝(eq\r(6))2＋h2，在Rt△OA1M中，OAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝OM2＋A1M2，即R2＝(eq\f(\r(6),2)＋h)2＋(eq\f(\r(6),2))2，解得R2＝eq\f(15,2)，所以S＝4πR2＝30π.故选D.答案：D8．解析：取AB的中点O，连接OC，OD，因为AD⊥BD，AC⊥BC,所以O到A，B，C，D的距离相等，故O即为球心．由球O的表面积等于16π，设外接球半径为R，故4πR2＝16π，解得OD＝R＝2，过C，D作CF，DE垂直于AB于点E，F，因为∠DAB＝∠CBA＝30°，∠DOE＝∠AOC＝60°，所以DE＝ODsin60°＝eq\r(3)，同理CF＝eq\r(3)，因为二面角D­AB­C的大小为60°，所以〈eq\o(FC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))〉＝60°，故三棱锥的高为h＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DE,\s\up6(→))))·sin〈eq\o(FC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))〉＝eq\f(3,2)，其中S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CF＝2eq\r(3)，所以三棱锥D­ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\r(3).故选A.答案：A9．解析：设球的半径为R，由已知可得△ABC外接圆半径为r＝eq\f(2,2sin\f(π,3))＝eq\f(2\r(3),3)，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的eq\f(1,3)，∴R2－eq\f(1,9)R2＝eq\f(4,3)，得R2＝eq\f(3,2).对于A，球O的表面积为4π×eq\f(3,2)＝6π，故A正确；对于B，设球O的内接正方体的棱长为a，∵正方体的体对角线即球O的直径，eq\r(3)a＝2R，解得a＝eq\r(2)，故B错误；对于C，设球O的外切正方体的棱长为b，∵正方体的棱长即球O的直径长，∴b＝2R＝eq\r(6)，故C错误；对于D，设球O的内接正四面体的棱长为c，则正四面体的高为eq\r(c2－（\f(\r(3),3)c）2)＝eq\f(\r(6),3)c，由(eq\f(\r(6),3)c－eq\f(\r(6),2))2＋(eq\f(\r(3),3)c)2＝(eq\f(\r(6),2))2，解得c＝2，故D正确．故选AD.答案：AD10．解析：如图，将四面体ABCD补成直三棱柱ADE­BFC.因为异面直线BC和AD所成角的余弦值为eq\f(2\r(2),3)，所以cos∠CBF＝±eq\f(2\r(2),3)，sin∠CBF＝eq\f(1,3).当cos∠CBF＝eq\f(2\r(2),3)时，由余弦定理可得CF＝eq\r(BC2＋BF2－2BC·BF·cos∠CBF)＝eq\f(\r(6),3)，由正弦定理可得底面外接圆(M为圆心)的直径2r＝eq\f(CF,sin∠CBF)＝eq\f(\f(\r(6),3),\f(1,3))＝eq\r(6)，r＝eq\f(\r(6),2)，而MO＝eq\f(AB,2)＝1，所以球O的半径R＝eq\r(MO2＋r2)＝eq\f(\r(10),2)，所以球O的表面积S＝4πR2＝10π.当cos∠CBF＝－eq\f(2\r(2),3)时，CF＝eq\r(BC2＋BF2－2BC·BF·cos∠CBF)＝eq\f(\r(102),3)，同理可得球O的半径R＝eq\f(\r(106),2)，所以球O的表面积S＝4πR2＝106π.故选AC.答案：AC11.解析：由PA⊥平面ABC，AC，AB⊂平面ABC，则PA⊥AB，PA⊥AC，又AC⊥AB，所以PA，AB，AC两两垂直，故可将三棱锥P­ABC补全为长方体，故三棱锥P­ABC的外接球，即为长方体外接球，令三棱锥P­ABC的外接球半径为R，则满意(2R)2＝PA2＋AB2＋AC2＝31，所以外接球表面积为4πR2＝31π.答案：31π12．解析：因为AB＝AC＝eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝3＋3－2×eq\r(3)×eq\r(3)×(－eq\f(1,2))＝9，即BC＝3，所以△ABC的外接圆半径为r＝eq\f(1,2)·eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\r(3)，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2eq\r(2)，设球O的半径为R，则R＝eq\r(r2＋（\r(2)）2)＝eq\r(5)，因此球O的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(20\r(5)π,3).答案：eq\f(20\r(5)π,3)13．解析：如图，正四棱锥的侧棱的全部三等分点构成一个正四棱台，棱台上底面是边长为1的正方形，棱台下底面是边长为2的正方形，侧棱长为1，可求得棱台的高为eq\r(1－（\f(\r(2),2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，设该棱台的外接球的半径为r,球心到下底面的距离为eq\r(r2－（\r(2)）2)，球心到上底面的距离为eq\r(r2－（\f(\r(2),2)）2)，①球心在两个底面之间时，eq\r(r2－（\r(2)）2)＋eq\r(r2－（\f(\r(2),2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，因为r2≥2，则eq\r(r2－（\r(2)）2)＋eq\r(r2－（\f(\r(2),2)）2)≥eq\f(\r(6),2)，则上式无解；②球心在下底面下方时，eq\r(r2－（\f(\r(2),2)）2)－eq\r(r2－（\r(2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，eq\r(r2－（\f(\r(2),2)）2)＝eq\r(r2－（\r(2)）2)＋eq\f(\r(2),2)，两边同时平方：r2－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\r(2r2－4)＋r2－2，eq\r(2r2－4)＝1，解得：r2＝eq\f(5,2)，表面积S＝4πr2＝10π.答案：10π14．解析：设△ACD的