适用于新教材2025版高中数学模块素养检测新人教A版必修第二册

PAGE模块素养检测(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(2024·济南高一检测)已知z＝eq\f(3,2－\r(5)i)则|z|＝()A．1B．eq\r(2)C．2D．eq\r(5)【解析】选A.因为z＝eq\f(3,2－\r(5)i)＝eq\f(3（2＋\r(5)i）,9)＝eq\f(2,3)＋eq\f(\r(5),3)i，所以|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)))\s\up12(2))＝1.2．“互联网＋”时代全民阅读的内涵已多元化，在线读书成为一种生活方式．某高校为了解本校学生阅读状况，拟采纳分层抽样方法从该校四个年级中抽取一个容量为360的样本进行调查，大一与大二学生占全校一半，大三学生与大四学生之比为3∶2，则大四学生应抽取的学生数为()A．72B．100C．108D．120【解析】选A.依题意大三学生与大四学生之比为3∶2，大四学生为全校学生的eq\f(1,5)，则大四学生应抽取的学生数为360×eq\f(1,5)＝72.3．一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是()A．40.6，1.1B．48.4，4.4C．81.2，44.4D．78.8，75.6【解析】选A.设原来数据的平均数和方差分别为eq\x\to(x)和s，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4.4＝22s，,2\x\to(x)－80＝1.2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(s＝1.1，,\x\to(x)＝40.6.))4．已知点O，N在△ABC所在平面内，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，则点O，N依次是△ABC的()A．重心外心B．重心内心C．外心重心D．外心内心【解析】选C.由|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|知，O为△ABC的外心；由eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))，取BC边的中点D，则eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝2eq\o(ND,\s\up6(→))，知A，N，D三点共线，且AN＝2ND，故点N是△ABC的重心．5．一只猴子随意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为()A．eq\f(9,100)B．eq\f(3,50)C．eq\f(3,100)D．eq\f(2,9)【解析】选A.随意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的全部结果为(0，i)(i＝0，1，2，…，9)；(1，i)(i＝0，1，2，…，9)；(2，i)(i＝0，1，2，…，9)；…；(9，i)(i＝0，1，2，…，9).故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3，3)，(3，6)，(3，9)，(6，3)，(6，6)，(6，9)，(9，3)，(9，6)，(9，9)，共有9种．故所求概率为eq\f(9,100).6．如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【解析】选D.选项A，B，C明显错误．因为PA⊥平面ABC，所以∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角．因为ABCDEF是正六边形，所以AD＝2AB.因为tan∠PDA＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.【补偿训练】在等腰Rt△A′BC中，A′B＝BC＝1，M为A′C的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C­BM­A的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°【解析】选C.如图所示，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝eq\r(2).因为M为A′C的中点，所以MC＝AM＝eq\f(\r(2),2).且CM⊥BM，AM⊥BM，所以∠CMA为二面角C­BM­A的平面角．因为AC＝1，MC＝AM＝eq\f(\r(2),2)，所以∠CMA＝90°.7．在△ABC中，若(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．形态无法确定【解析】选C.因为(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，所以eq\o(CA,\s\up6(→))2－eq\o(CB,\s\up6(→))2＝0，eq\o(CA,\s\up6(→))2＝eq\o(CB,\s\up6(→))2，所以CA＝CB，△ABC为等腰三角形．【补偿训练】圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，则向量eq\o(BA,\s\up6(→))在向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影为()A．1B．2C．3D．4【解析】选C.因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，所以O是BC的中点，故△ABC为直角三角形．在△AOC中，有|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以∠B＝30°.由定义，向量eq\o(BA,\s\up6(→))在向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq\o(BA,\s\up6(→))|cosB＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.8．已知四棱锥S­ABCD的全部顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋4eq\r(3)，则球O的体积等于()A．eq\f(4\r(2),3)πB．eq\f(8\r(2),3)πC．eq\f(16\r(2),3)πD．eq\f(32\r(2),3)π【解析】选B.由题意可知四棱锥S­ABCD的全部顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r，且四棱锥的高h＝r，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为eq\r(2)r的正三角形，底面为边长为eq\r(2)r的正方形，所以该四棱锥的表面积为S＝4×eq\f(\r(3),4)(eq\r(2)r)2＋(eq\r(2)r)2＝2eq\r(3)r2＋2r2＝(2eq\r(3)＋2)r2＝4＋4eq\r(3)，因此r2＝2，r＝eq\r(2)，所以球O的体积V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×2eq\r(2)＝eq\f(8\r(2)π,3).二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．奥林匹克会旗中心有5个套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事务“甲分得红色”与“乙分得红色”是()A．对立事务B．互斥事务C．不对立事务D．不互斥事务【解析】选BC.甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事务是互斥事务；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事务不是必定事务，故这两个事务不是对立事务．10．下列说法：①一组数据不行能有两个众数；②一组数据的方差必需是正数；③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的有()A．①B．②C．③D．④【解析】选AB.若一组数据中，有两个或几个数据出现的次数相同且最多，则这几个数据都是这组数据的众数．可见，一组数据的众数可以不唯一，即①错误．一组数据的方差是标准差的平方，必需是非负数，即②错误．依据方差的定义知③正确．依据频率分布直方图的定义知④正确．11．下列事务中，是随机事务的有()A．从集合{2，3，4，5}中任取两个元素，其和大于7B．明年清明节这天下雨C．物体在地球上不受地球引力D．盒子中有5个白球，2个红球，从中任取3个球，则至少有1个白球【解析】选AB.A，B是随机事务；C是不行能事务；D是必定事务．12．如图，在棱长均相等的正四棱锥P­ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，推断下列结论正确的是()A.PC∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．OM⊥PAD．直线PD与直线MN所成角的大小为90°【解析】选ABC.连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论A正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论B正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论C正确．由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为∠PDC.又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故D错误．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．a为正实数，i为虚数单位，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝2，则a＝________．【解析】eq\f(a＋i,i)＝eq\f(（a＋i）·（－i）,i·（－i）)＝1－ai，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝|1－ai|＝eq\r(a2＋1)＝2，所以a2＝3.又因为a为正实数，所以a＝eq\r(3).答案：eq\r(3)14．(2024·昆明高一检测)甲、乙两组数据如下表所示，其中a，b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则(a，b)为________．(只需填一组)甲12ab10乙124711【解析】由题意1＋2＋a＋b＋10＝1＋2＋4＋7＋11，所以a＋b＝12，平均数为5，甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以(1－5)2＋(2－5)2＋(a－5)2＋(b－5)2＋(10－5)2<(1－5)2＋(2－5)2＋(4－5)2＋(7－5)2＋(11－5)2，(a－5)2＋(b－5)2<16.所以(a，b)＝(4，8)或(5，7)或(6，6)或(7，5)或(8，4).答案：(4，8)或(5，7)或(6，6)或(7，5)或(8，4)(填其中一个即可).15．已知a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内随意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.上述命题中，正确命题的序号是________．【解析】对①可举反例，如图，需b⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a，b不垂直；依据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确．答案：②④16．已知两点A(－1，0)，B(－1，eq\r(3)).O为坐标原点，点C在第一象限，且∠AOC＝120°，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝－3eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R)，则λ＝________．【解析】由题意，得eq\o(OC,\s\up6(→))＝－3(－1，0)＋λ(－1，eq\r(3))＝(3－λ，eq\r(3)λ)，因为∠AOC＝120°，所以eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OC,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(3－λ,\r(（3－λ）2＋3λ2))＝eq\f(1,2)，解得λ＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)青海玉树发生地震后，为了重建，对某项工程进行竞标，现共有6家企业参与竞标，其中A企业来自辽宁省，B，C两家企业来自山东省，D，E，F三家企业来自河南省，此项工程须要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举全部企业的中标状况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自山东省的概率是多少？【解析】(1)全部企业的中标状况为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF.共15种．(2)在中标的企业中，至少有一家来自山东省的状况有：AB，AC，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，共9种，在中标的企业中，至少有一家来自山东省的概率是P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).18．(12分)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满意eq\r(3)a－2bsinA＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝5，且a>c，b＝eq\r(7)，求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值．【解析】(1)因为eq\r(3)a－2bsinA＝0，所以eq\r(3)sinA－2sinBsinA＝0，因为sinA≠0，所以sinB＝eq\f(\r(3),2)，又B为锐角，所以B＝eq\f(π,3).(2)由(1)知，B＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(7)，所以依据余弦定理得7＝a2＋c2－2accoseq\f(π,3)，整理得(a＋c)2－3ac＝7，又a＋c＝5.所以ac＝6，又a>c，所以a＝3，c＝2，于是cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(7＋4－9,4\r(7))＝eq\f(\r(7),14)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝2×eq\r(7)×eq\f(\r(7),14)＝1.19．(12分)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱锥C­A1DE的体积．【解析】(1)连接AC1交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)得∠ACB＝90°，CD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(6)，DE＝eq\r(3)，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以V三棱锥C­A1DE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(3)×eq\r(2)＝1.20．(12分)对某校高一年级学生参与社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参与社区服务的次数，依据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15)100.25[15，20)25n[20，25)mp[25，30)20.05合计M1eq\a\vs4\al()(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参与社区服务的次数在区间[10，15)内的人数．【解析】(1)由分组[10，15)内的频数是10，频率是0.25知，eq\f(10,M)＝0.25，所以M＝40.因为频数之和为40，所以10＋25＋m＋2＝40，解得m＝3，故p＝eq\f(3,M)＝eq\f(3,40)＝0.075.因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商，所以a＝eq\f(25,40×5)＝0.125.(2)因为该校高一学生有360人，分组[10，15)内的频率是0.25，所以估计该校高一学生参与社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.21．(12分)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且eq\r(3)a＝2csinA.(1)确定角C的大小；(2)若c＝eq\r(3)，求△ABC周长的取值范围．【解析】(1)已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，由eq\r(3)a＝2csinA，得eq\r(3)sinA＝2sinCsinA，又sinA≠0，则sinC＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝eq\f(π,3)或C＝eq\f(2π,3)，因为△ABC为锐角三角形，所以C＝eq\f(2π,3)舍去，所以C＝eq\f(π,3).(2)因为c＝eq\r(3)，sinC＝eq\f(\r(3),2)，所以由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，即a＝2sinA，b＝2sinB，又A＋B＝π－C＝eq\f(2π,3)，即B＝eq\f(2π,3)－A，所以a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋eq\r(3)＝2[sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))]＋eq\r(3)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA＋sin\f(2π,3)cosA