2024-2025学年新教材高中数学第五章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解第2课时利用二分法求方程的近似解课后习题北师大版必修第一册

PAGEPAGE11.2利用二分法求方程的近似解A级必备学问基础练1.已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)上的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间()A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能确定2.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有()A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x2-4x+4C.f(x)=log4x D.f(x)=ex-23.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是()A.(4,+∞) B.(-∞,4)C.{4} D.[4,+∞)4.[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.5]=3,[-0.5]=-1.已知x0是方程lnx+3x-15=0的根,则[x0]=()A.2 B.3 C.4 D.55.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法找寻零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为0,a2,0,a4,0,a8,则下列说法正确的有()A.函数f(x)在区间0,a16内可能有零点B.函数f(x)在区间a16,aC.函数f(x)在a16,a内无零点D.函数f(x)的零点可能是a6.(多选题)某同学求函数f(x)=lnx+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值,如表所示:f(2)≈-1.307f(3)≈1.099f(2.5)≈-0.084f(2.75)≈0.512f(2.625)≈0.215f(2.5625)≈0.066则方程lnx+2x-6=0的近似解(精确度0.1)可取为()A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.757.依据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为.

x-10123ex0.3712.727.3920.09x+2123458.如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),假如线路不通的缘由是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多须要检测次.

9.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.55625)≈-0.029f(1.5500)≈-0.060依据上述数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度0.01)为.

10.用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精确度0.1).B级关键实力提升练11.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),1,32,54,32内,则与f(0)符号不同的是(A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f3212.(2024安徽宿州高一期末)已知函数f(x)=2x-3x在区间(1,2)上有一个零点x0,假如用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为(A.5 B.6 C.7 D.813.已知f(x)=1x-lnx在区间(n,n+1)(n∈Z)上有一个零点x0,则n=,若用二分法求x0的近似值(精确度0.1),则至少需将区间等分次.14.求方程3x+xx+1=0的近似解(精确度0.15.已知方程2x+2x=5.(1)推断该方程解的个数以及所在区间;(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).参考数值:x1.18751.1251.251.31251.3751.52x2.2782.1812.3782.4842.5942.8316.某公司生产A种型号的电脑,2024年平均每台电脑的生产成本为5000元,并按纯利润为20%定出厂价.2024年起先,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2024年平均每台A种型号的电脑出厂价仅是2024年的80%,实现了纯利润50%.(1)求2024年每台A种型号电脑的生产成本;(2)以2024年的生产成本为基数,用二分法求2024~2024年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度0.01).C级学科素养创新练17.已知函数f(x)=13x3-x2+1(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;(2)请运用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.

1.2利用二分法求方程的近似解1.B∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.25)·f(1.5)<0,因此方程的解落在区间(1.25,1.5)内,故选B.2.ACDf(x)=x2-4x+4=(x-2)2,f(2)=0,当x<2时,f(x)>0,当x>2时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.3.C易知方程x2-4x+m=0有实数根,且Δ=16-4m=0,知m=4.4.C令f(x)=lnx+3x-15,当x=4时,f(4)=ln4+3×4-15<0,当x=5时,f(5)=ln5+3×5-15>0,所以f(4)·f(5)<0,所以f(x)在(4,5)上有零点,即方程lnx+3x-15=0有根.所以[x0]=4,故选C.5.ABD依据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在0,a16或a16,a8中,或fa16=0,故选ABD.6.AB由表格函数值在0的左右两侧,最接近的值,即f(2.5)≈-0.084,f(2.5625)≈0.066可知方程lnx+2x-6=0的近似根在(2.5,2.5625)内,因此选项A中2.52符合,选项B中2.56也符合,故选AB.7.1记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数根.由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在性定理可得f(1)·f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.8.6第1次取中点把焊点数减半为642=32,第2次取中点把焊点数减半为322=16,第3次取中点把焊点数减半为162=8,第4次取中点把焊点数减半为82=4,第5次取中点把焊点数减半为42=2,第6次取中点把焊点数减半为22=9.1.5625(答案不唯一)由参考数据知,f(1.5625)≈0.003>0,f(1.55625)≈-0.029<0,即f(1.5625)·f(1.55625)<0,且1.5625-1.55625=0.00625<0.01,∴f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值可取为1.5625.10.解∵f(1)=1-3=-2<0,f(2)=23-3=5>0,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,见下表:次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度11-225121-21.50.3750.531.25-1.04691.50.3750.2541.375-0.40041.50.3750.12551.4375-0.02951.50.3750.0625从表中可知|1.5-1.4375|=0.0625<0.1,∴函数y=x3-3精确度为0.1的零点,可取1.44.11.ABD由二分法的步骤可知①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点32④零点在1,32内,则有f(1)·f32<0,则f(1)>0,f32<0,则取中点54;⑤零点在54,32内,则有f54·f32<0,则f54>0,f32<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f32,故选ABD.12.C由于每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的12,则等分n次后的区间长度变为原来的1则由题可得12n<0.01,即n>log又6<log2100<7,则至少等分的次数为7.故选C.13.14因为f(x)=1x-lnx在(0,+∞)上单调递减,在区间(n,n+1)(n∈Z)上有一个零点x0,所以零点只能有一个,又f(2)=12-ln2<0,f(1)=1-0=1>0,所以f(2)·f(1)<0,所以x0∈(1,2),所以n=1,由题意12n<0.1,所以2n>10,所以n>3,14.解原方程可化为3x-1x+1+1=0,即3x=1x令g(x)=3x,h(x)=1x+1-1,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g(x)=3x与h(x)=1x+1g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),且只有一个交点,∴原方程只有一个解x=x0.令f(x)=3x+xx+1=3x-1∵f(0)=1-1+1=1>0,f(-0.5)=13-2+1=1-∴x0∈(-0.5,0).用二分法逐次计算,列表如下:次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度1-0.5-0.422601.00000.52-0.5-0.4226-0.250.42650.253-0.5-0.4226-0.3750.06230.1254-0.4375-0.1594-0.3750.06230.0625∵|-0.4375-(-0.375)|=0.0625<0.1,∴原方程的近似解可取为-0.4375.15.解(1)令f(x)=2x+2x-5.因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.(2)用二分法逐次计算,列表如下:次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度11-1.000023.0000121-1.00001.50.82840.531.25-0.12161.50.82840.2541.25-0.12161.3750.34370.12551.25-0.12161.31250.10870.0625因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.3125-1.25|=0.0625<0.1,所以函数的零点近似值可取1.3125,即方程2x+2x=5的近似解为1.3125.16.解(1)设2024年每台A种型号电脑的生产成本为p元,依据题意,得(1+50%)p=5000×(1+20%)×80%,解得p=3200.故2024年每台A种型号电脑的生产成本为3200元.(2)设2024~2024年间平均每年生产成本降低的百分率为x(0<x<1),依据题意,得5000(1-x)4=3200.令f(x)=5000(1-x)4-3200,求出x与f(x)的对应值(精确到个位)如下表:次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度1018001-320012018000.5-2887.50.53018000.25-1617.96880.254018000.125-269.09180.12550.0625662.38100.125-269.09180.062560.09375172.57860.125-269.09180.0312570.09375172.57860.109375-54.06660.01562580.101562557.77800.109375-54.06660.007813所以原方程