新教材2025版高中数学课时作业十四平均变化率与瞬时变化率北师大版选择性必修第二册

课时作业(十四)平均改变率与瞬时改变率[练基础]1．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，2]上的平均速度为()A．－6B．2C.－2D．62．始终线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么eq\f(Δs,Δt)为()A.在t时刻该物体的瞬时速度B.当时间为Δt时物体的瞬时速度C.从时间t到t＋Δt时物体的平均速度D.以上说法均错误3．在曲线y＝x2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)为()A.Δx＋eq\f(1,Δx＋2)B．Δx－eq\f(1,Δx)－2C.Δx＋2D．2＋Δx－eq\f(1,Δx)4．一质点沿直线运动，假如由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(5,2)t2＋6t，那么速度为零的时刻是()A.1秒末B．2秒末C.3秒末D．2秒末或3秒末5．2024年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1500m处起先实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1500m/s降为零.14分钟后，探测器胜利在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均改变率为v，相对月球纵向速度的平均改变率为a，则()A.v＝eq\f(25,14)m/s，a＝eq\f(25,14)m/s2B.v＝－eq\f(25,14)m/s，a＝eq\f(25,14)m/s2C.v＝eq\f(25,14)m/s，a＝－eq\f(25,14)m/s2D.v＝－eq\f(25,14)m/s，a＝－eq\f(25,14)m/s26．(多选题)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c＝f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t改变的关系如下图所示．给出的下列四个结论中正确的是()A.在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B.在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时改变率相同C.在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均改变率相同D.在[t1，t2]，[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均改变率不相同7．已知函数y＝3x，则函数在区间[1，3]上的平均改变率为________．8．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s与时间t之间的函数关系为s＝eq\f(1,8)t2，则t＝2时，木块的瞬时速度为________．9．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均改变率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均改变率．10．已知质点M按规律s＝3t2＋2做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s).(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求eq\f(Δs,Δt)；(2)求质点M在t＝2时的瞬时速度．[提实力]11．(多选题)甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．现有下列四种说法，正确的有()A.前四年该产品产量增长速度越来越快B.前四年该产品产量增长速度越来越慢C.第四年后该产品停止生产D.第四年后该产品年产量保持不变12．函数y＝f(x)＝x2在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0，x0＋Δx))上的平均改变率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均改变率为k2，则k1与k2的大小关系为()A.k1>k2B．k1<k2C.k1＝k2D．不能确定13．函数f(x)的图象如下图所示，则函数f(x)在区间________上平均改变率最大．14．求函数f(x)＝x2分别在[1，2]，[1，1.1]，[1，1.01]上的平均改变率，依据所得结果，你的猜想是________．15．蜥蜴的体温与阳光的照耀有关，其关系为T(t)＝eq\f(120,t＋5)＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min).(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均改变率是多少？它代表什么实际意义？[培优生]16．质点M按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移s的单位：m，时间t的单位：s).问是否存在常数a，使质点M在t＝2时的瞬时速度为8m/s?课时作业(十四)平均改变率与瞬时改变率1．解析：平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－2×22))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－2×12)),2－1)＝－6.故选A.答案：A2．解析：依据平均改变率的概念可知，eq\f(Δs,Δt)表示从时间t到t＋Δt时物体的平均速度．故选C.答案：C3．解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝Δx＋2.故选C.答案：C4．解析：∵s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(5,2)t2＋6t，∴v＝s′(t)＝t2－5t＋6.令v＝0，得t2－5t＋6＝0，解得t＝2或t＝3.故选D.答案：D5．解析：探测器与月球表面距离渐渐减小，所以v＝eq\f(0－1500,14×60)＝－eq\f(25,14)m/s；探测器的速度渐渐减小，所以a＝eq\f(0－1500,14×60)＝－eq\f(25,14)m/s2.故选D.答案：D6．解析：在t1时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；甲、乙两人在t2时刻的切线的斜率不相等，即两人的f′(t2)不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时改变率不相同，故B错误；依据平均改变率公式可知，甲、乙两人的平均改变率都是eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t3))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2)),t3－t2)，故C正确；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(t1，t2))时间段，甲的平均改变率是eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t1)),t2－t1)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(t2，t3))时间段，甲的平均改变率是eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t3))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2)),t3－t2)，明显不相等，故D正确．故选ACD.答案：ACD7．解析：由定义可知，平均改变率为eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1)),3－1)＝eq\f(27－3,2)＝12.答案：128．解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(\f(1,8)（t＋Δt）2－\f(1,8)t2,Δt)＝eq\f(1,4)t＋eq\f(1,8)Δt.当t＝2且Δt趋于0时，eq\f(Δs,Δt)趋于eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．解析：(1)因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均改变率为eq\f(3×0.22＋5－3×0.12－5,0.2－0.1)＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋5))＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－5＝6x0Δx＋3(Δx)2，所以函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在区间[x0，x0＋Δx]上的平均改变率为：eq\f(6x0Δx＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx))2,Δx)＝6x0＋3Δx.10．解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt)＝eq\f(3（t＋Δt）2＋2－（3t2＋2）,Δt)＝6t＋3Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，eq\f(Δs,Δt)＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s.(2)当Δt趋于0时，6t＋3Δt趋于6t，∴质点M在t＝2时的瞬时速度为12cm/s.11．解析：设产量与时间的关系为y＝f(x)，由题图可知f(x)在点(1，f(1))，(2，f(2))，(3，f(3))，(4，f(4))处的切线的斜率越来越小，依据导数的几何意义可知，前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确；由题图可知从第四年起先产品产量不发生改变，且f(4)≠0，故C错误，D正确，故说法正确的有BD.故选BD.答案：BD12．解析：因为函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0，x0＋Δx))上的平均改变量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2－(x0)2＝Δx(2x0＋Δx)，所以k1＝eq\f(Δy,Δx)＝2x0＋Δx，函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0－Δx，x0))上的平均改变量Δy＝f(x0)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－Δx))＝(x0)2－(x0－Δx)2＝Δx(2x0－Δx)，所以k2＝eq\f(Δy,Δx)＝2x0－Δx，所以k1－k2＝2Δx，又因为Δx>0，所以k1>k2，故选A.答案：A13．解析：函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在区间上的平均改变率为eq\f(Δy,Δx)，由函数图象可得，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4，7))上，eq\f(Δy,Δx)<0即函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4，7))上的平均改变率小于0；在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，3))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，4))上时，eq\f(Δy,Δx)>0且Δx相同，由图象可知函数在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，4))上的eq\f(Δy,Δx)最大．所以函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，4))上的平均改变率最大．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，4))14．解析：k1＝eq\f(Δy1,Δx1)＝eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1)),2－1)＝eq\f(22－12,1)＝3，k2＝eq\f(Δy2,Δx2)＝eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1)),1.1－1)＝eq\f(1.12－12,0.1)＝2.1，k3＝eq\f(Δy3,Δx3)＝eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.01))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1)),1.01－1)＝eq\f(1.012－12,0.01)＝2.01，猜想x0＝1不变，Δx越小，函数的平均改变率越接近于2.答案：x0＝1不变，Δx越小，函数的平均改变率越接近于215．解析：(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝eq\f(120,0＋5)＋15＝39，T(10)＝eq\f(120,10＋5)＋15＝23，故从t＝0到t＝10，蜥