2025届高三数学二轮复习专题反例否定和双元两类导数大题

Page11反例否定和双元两类导数大题一.反例否定类例题1．已知函数.（1）若，试求最小值；（2）若都有恒成立，求的取值范围.练习2．已知函数.（1）探讨的单调性；（2）若，求的取值范围.通关题3．设函数．（I）当时，求的单调区间；（II）若当时，恒成立，求的取值范围．例题4．已知函数.（1）求的单调区间和极值；（2）证明：当时，；（3）若对随意恒成立，求实数的值.练习5．已知函数．（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；（Ⅱ）若，求函数的单调区间；（Ⅲ）若对随意的，在上恒成立，求实数的取值范围．通关题6．已知函数（为常数）．（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求；（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．二.双元类转化为同一未知数例题7．已知函数．求的单调区间和极值；当时，若，且，证明：．练习8．已知函数，其图象与轴交于不同两点，，且.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.通关题9．已知函数．（1）当时，探讨函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，，证明:．例题10．已知函数的图象与直线相切，是的导函数，且.（1）求；（2）函数的图象与曲线关于轴对称，若直线与函数的图象有两个不同的交点，求证：.练习11．已知函数，其中为正实数.（1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有两个极值点，求证：反例否定和双元两类导数大题一、解答题1．已知函数.（1）若，试求最小值；（2）若都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）依据导数和函数的单调性的关系即可求出；（2）对于恒成立的问题，分别参数，构造函数，求出函数的最值即可.试题解析：（1）当时，，，在单调递减，在单调递增.∴当时，.（2）在时恒成立，.当时，恒成立，∴.当时，.令，，.令，，∴在上单调递增，.∴，在上单调递增，.由洛必达法则：.∴，∴，即.考点：（1）利用导数探讨函数的单调性；（2）恒成立问题.2．已知函数.（1）探讨的单调性；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求导，，令，明显只需探讨与0的大小关系，即可得到函数的单调性，分类探讨，即可求出答案；（2）由，可得，结合（1）可知，令，可得，再结合的关系式，可得，从而得到，构造函数，探讨其单调性，可知时，，又因为，从而可知，即.【详解】（1）由题意，，令，，①当，且，即时，，所以在恒成立，故在上单调递减；②当时，，由得，当时，，；当时，，.故在和单调递减，在单调递增；③当时，由得，当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增；④当时，，由得或（不合题意，舍去）.当时，，；当时，，.故在单调递减，在单调递增.（2）因为，所以.由（1）得，故只需，即可满意.令，则，整理得，即，所以，设，所以，当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增.又，所以当时，；当时，，又，因为，所以，，所以，所以，即，故，又所以的取值范围是.【点睛】本题考查函数的单调性与最值、导数的应用等学问，考查分类探讨的数学思想的应用，考查学生的推理论证实力与计算求解实力，属于难题.3．设函数．（I）当时，求的单调区间；（II）若当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（I）的单调递增区间为和的单调递减区间为；（II）．【解析】试题分析：（I）当时，,,由此求出的单调区间；（II）由于当时，恒成立,故,留意到,只须要推断的单调区间即可.试题解析：（I）当时，的单调递增区间为和的单调递减区间为（II），令，，当时，，在上为增函数．而，从而当时，，即恒成立．若当时，令，得（用也对）当时，，在上是减函数，而，从而当时，，即，不成立综上可得的取值范围为．考点：函数导数单调性与最值．【方法点晴】不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象视察，或参变分别，转化为求函数的最值问题来处理．：．无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数探讨函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，擅长从不同角度分析问题，是解题的法宝．4．已知函数.（1）求的单调区间和极值；（2）证明：当时，；（3）若对随意恒成立，求实数的值.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，有微小值，无极大值，(2)=【解析】试题分析：（1），求得在上单调递减，在上单调递增，有微小值，无极大值；（2）原不等式即，记，则，通过求导得在上单调递减，有，又，得证；（3）构造函数，则（），分类探讨得，，则只能等于.试题解析：（1），，在上单调递减，在上单调递增，有微小值，无极大值.（2）原不等式即，记，则.当时，，得在上单调递减，有而由（1）知，，得证.（3）即.记，则对随意恒成立，求导得（）若，则，得在上单调递增，又，故当时，，不合题意；若，则易得在上单调递增，在单调递减.依题意有，由（1）知，则只能等于.点睛：本题考查导数的综合应用。综合应用的题型中，利用求导推断，一般利用干脆求导法、构造函数法、分别参数法解题。本题含参的函数问题，采纳构造函数法后干脆求导，分类探讨。5．已知函数．（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；（Ⅱ）若，求函数的单调区间；（Ⅲ）若对随意的，在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用函数和导函数的解析式求得切点和切线斜率，从而得到切线方程；（Ⅱ）通过导数可知单调性由的符号确定；分别在、两种状况下推断导函数的正负，从而得到原函数的单调区间；（Ⅲ）通过变量迁移可将问题变为在上恒成立的问题；由与的符号易推断；构造函数，依据导函数正负可知时满意题意；而当时，由于存在使得，从而可知时，不等式不成立；由此总结可得结果.【详解】（Ⅰ）当时，，函数在点处的切线方程为（Ⅱ）由题意，（ⅰ）当时，令，得；，得所以在单调递增，单调递减（ⅱ）当时，令，得；，得或所以在单调递增，在，单调递减（Ⅲ）令，当时，，单调递增，则则对恒成立等价于即，对恒成立.（ⅰ）当时，，，此时，不合题意，舍去（ⅱ）当时，令，则其中对，令，则在区间上单调递增①当时，所以对，，则在上单调递增故对随意，即不等式在上恒成立，满意题意②当时，由又且在区间上单调递增所以存在唯一的使得，且时，即，所以在区间上单调递减则时，，即，不符合题意综上所述，【点睛】本题考查求解曲线在某点处的切线、探讨含参数函数单调性问题、恒成立问题的求解，涉及到导数的几何意义、利用导数探讨函数的单调性和极值、最值的学问.处理本题中的恒成立问题的关键是能够通过变量迁移的方式，胜利的将问题转化为只有单一变量的恒成立问题；变量迁移的方法通常是在变量较多且迁移变量后，新函数的单调性易于推断的状况下运用.6．已知函数（为常数）．（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求；（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)运用导数的几何意义建立方程求解；（Ⅱ）借助题设条件,运用导数的学问与分类整合的数学思想求解.试题解析:（Ⅰ），，得，由已知得切点为，所以，得，所以．（Ⅱ）当时，，令，，（1）当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上的最大值为，（2）当时，令，得或．①当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上的最大值为，由，得；②当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上的最大值为，因为成立，由，得；所以；③当，即时，函数在上为增函数，所以函数在上的最大值为成立；④当，即时，在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上的最大值为，因为成立，由，得，而，所以；⑤当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以在上的最大值为，因为成立，所以；综上所述，实数的取值范围为．考点：导数的学问与分类整合思想的运用．【易错点晴】本题考查的是导数在探讨函数的单调性和最值方面的运用的问题,这类问题的设置重在考查导数的工具作用.解答这类问题是,一要依据导数的几何意义,导函数在切点处的导函数值就切线的斜率;再一个就是切点既在切线上也在曲线上,这两点是解决曲线的切线这类问题所必需驾驭的基本思路.本题的其次问设置的是不等式恒成立的前提下求参数的取值范围问题,求解时先将不等式进行转化,再构造函数,然后通过运用导数对函数最值的分类探讨,最终求出参数的取值范围.7．已知函数．求的单调区间和极值；当时，若，且，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过探讨a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）代入a的值，求出函数的导数，结合均值不等式以及函数的单调性证明即可．【详解】函数的定义域为，，当时，，在上单调递增，无极值；当时，由，得，当时，，得的单调递增区间是；当时，，得的单调递减区间是，故的极大值为，无微小值,综上：当时，单调递增区间是，无减区间；无极值；当时，单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无微小值.当时，，，依题意，，则，所以，即由均值不等式可得，所以，则有．而，将代入上式得，令，则，，，，即，在上单调递减，于是，即，得证．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类探讨思想，转化思想，是一道综合题,留意变量集中的运用，变量8．已知函数，其图象与轴交于不同两点，，且.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先变量分别得，再利用导数探讨函数的单调性和极值，即得解；（2）先利用导数证明，再证明，不等式即得证.【详解】（1）由，得.令，则.由，解得，所以在区间上单调递增；由，解得，所以在区间上单调递减；于是在处取得微小值，且.又时，，由于要使的图象与直线有两个不同的交点，所以.（2）由（1）知.一方面，令，，则，又令，，则.易知在上单调递增，所以，则在上单调递减，所以，于是，所以在上单调递增.则，即.所以.又在区间上单调递增，所以，即.另一方面，令，则，易知在时，取得最小值，所以，即.，∴.∵，∴方程有唯一正根，则.又，在区间单调递增，所以依据零点存在定理，得在区间有唯一零点.所以，又，②①代入②，得，解得.于是.令，，则又令，则.留意到为减函数，所以，于是，从而为增函数，所以，故为减函数，则，即.所以，又在区间上单调递增，所以，即.综上，.【点睛】本题主要考查利用导数探讨函数的图象和性质，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.9．已知函数．（1）当时，探讨函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，，证明:．【答案】（1）时，在单调递增；时，在区间，单调递增；在区间单调递减．（2）见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，然后依据方程的判别式得到导函数的符号，进而得到函数的单调性；（2）由题意得到方程有两个根，故可得，且．然后可得，最终利用导数可证得，从而不等式成立．【详解】（1）∵，∴．①当，即时，，所以在单调递增；②当，即时，令，得，，且，，当时，；当时，；∴单调递增区间为，；单调递减区间为．综上所述：当时，在单调递增；时，在区间，单调递增；在区间单调递减．（2）由（1）得．∵函数有两个极值点，，∴方程有两个根，，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递减，∴，∴．【点睛】（1）求函数的单调区间或探讨函数的单调性时，若解析式中含有参数时，解题中肯定要弄清参数对导函数在某一区间内的符号是否有影响，若有影响则必需进行分类探讨．（2）解答其次问的关键在于求出的表达式后将问题转化，通过构造新函数并利用单调性可得结论成立．10．已知函数的图象与直线相切，是的导函数，且.（1）求；（2）函数的图象与曲线关于轴对称，若直线与函数的图象有两个不同的交点，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设直线与函数的图象相切的切点为，求得的导数可得切线的斜率，由切线方程和已知条件，可得方程组与可解得，进而得到所求的解析式；（2）求得的解析式,，，两式相加和相减，相除可得,令，可得要证，即证，即证，可令求得二阶导数,推断单调性,即可得证．【详解】假设直线与函数图象的切点为，因为，则由题意知，即所以，即①，又，所以②由①②可得，所以（2）由题可知，则，即，两式相加得，两式相减得，以上两式相除得，即，不妨设，要证，即证，即，即证，令，那么，则，所以在上递增，又，所以当时，恒成立，所以在上递增，且.所以，从而成立.【点睛】本题