2025版高考数学一轮总复习应用创新题组8.5空间角与距离空间向量及其应用

.5空间角与距离、空间向量及其应用创新篇守正稀奇创新立体几何中的轨迹问题1.(2024浙江舟山月考,7)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是棱AA1、A1D1的中点,点P为底面ABCD(包括边界)内的一动点,若直线D1P与平面BEF无公共点,则点P的轨迹长度为()A.2+1B.5C.2+32D.答案B以点D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,2,0),E(2,0,1),F(1,0,2),D1(0,0,2),则BE=(0,-2,1),EF=(-1,0,1),设点P(a,b,0),则D1P=(a,b,-2),设平面BEF的法向量为由m·BE=-2y+z=0由题意可知,D1P∥平面BEF,则D1P·令b=0,可得a=2;令b=2,可得a=1.所以,点P的轨迹交线段AD于点A(2,0,0),交线段BC于其中点M(1,2,0),所以,点P的轨迹长度为|AM|=(2-1)2+2.(多选)(2024届济南历城二中开学考)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1所在的平面上运动,则下列命题中正确的为()A.若总有PA⊥BD1,则动点P的轨迹是一条直线B.若点P到点A的距离为2,则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆D.若点P到直线AD的距离与到直线CC1的距离相等,则动点P的轨迹是双曲线答案ABD对于A,如图,在正方体中,AC⊥BD,BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,又BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BB1D1D,又BD1⊂平面BB1D1D,所以AC⊥BD1,同理AB1⊥BD1,又AB1∩AC=A,所以BD1⊥平面AB1C,而点P在侧面BCC1B1所在的平面上运动,且PA⊥BD1,所以点P的轨迹就是直线B1C,故A中命题正确.对于B,点P的轨迹是以A为球心,2为半径的球面与平面BCC1B1的交线,即点P的轨迹为小圆,设小圆的半径为r.可知球心A到平面BCC1B1的距离为1,则r=(2)2-12=1,所以小圆的周长为2πr=2π,故B中命题正确.对于C,点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离,则平面BCC1B1内的点P满意|PB|+|PC|=1=|BC|,故点P的轨迹是线段BC,对于D,过P分别作PM⊥BC于点M,PE⊥CC1于点E,则PM⊥平面ABCD,所以PM⊥AD,过M作MN⊥AD于点N,连接PN,因为PM∩MN=M,所以AD⊥平面PMN,所以PN⊥AD,建立平面直角坐标系,设P(x,y),x>0,y>0,则PM=y,PN2=1+y2,PE2=(1-x)2,所以1+y2=(1-x)2,整理得(x-1)2-y2=1,则动点P的轨迹是双曲线,故D中命题正确.故选ABD.3.(多选)(2024届广东深圳平冈中学月考,11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱DD1的中点,点P是线段C1D上的动点,AA1=2,则下列选项正确的是()A.直线AP与B1E是异面直线B.点P到平面AEB1的距离是一个常数C.过点C作平面AEB1的垂线,与平面AB1C1D交于点Q,若C1D=3C1P,D.若平面CDD1C1内有一点Q,它到直线CD的距离与到直线C1B1的距离相等,则Q的轨迹为直线答案ABC对于A,如图1,AP⊂平面AB1C1D,B1E∩平面AB1C1D=B1,且B1∉AP,所以直线AP与B1E是异面直线,故A正确;对于B,在正方体中,C1D∥AB1,因为AB1⊂平面AEB1,C1D⊄平面AEB1,所以C1D∥平面AEB1,又P∈C1D,故点P到平面AEB1的距离是一个常数,故B正确;对于C,如图2,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B1(2,2,2),E(0,0,1),C1(0,2,2),C(0,2,0),所以AB1=(0,2,2),AE=(-2,0,1),因为C1D=3C1P,所以P0,43,43,所以AP=-2,43,43,假设存在因为CQ⊥平面AEB1,所以CQ·AB1=0,CQ·AE=0,即43λ-2对于D,因为C1B