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文档简介
高中数学讲义一超几何分布
目录
1.教学要点.........................................................................................1
1.1.亮点1:深挖核心知识,回归数学本质...........................................................1
1.2.亮点2:广用类比思想,关注教学整体...........................................................1
1.3.亮点3:创新模型思维,助力学生理解...........................................................1
1.4.亮点4:巧借信息技术,突破运算瓶颈...........................................................2
2.超几何分布公式是什么............................................................................2
3.几何与超几何分布................................................................................3
4.R统计学(03):超几何分布..........................................................................4
1.教学要点
这节课以课标为纲,教材为本,依托整体教学设计理念,回溯利用样本空间求概率的数学本质,
类比二项分布的研究过程,“创新”超几何分布的几何图示,帮助学生扎实“四基”,提升“四能”,
激发数学创新意识,发展数学核心素养.具体点评如下:
1.1.亮点1:深挖核心知识,回归数学本质
结合有放回抽样问题复习二项分布,引导学生回顾基于样本空间应用古典概型求解概率的一般
步骤,将应用古典概型求解得到的分布列改写为二项分布概率模型,引导学生发现二项分布是在此
基础上抽象出来的一个更为简洁的模型,引导学生认识古典概型求概率的数学本质.
1.2.亮点2:广用类比思想,关注教学整体
有放回抽样过程的复习与回顾,既是帮助学生复习知识,更是帮助学生巩固利用古典概型求概
率,感悟模型筛选的全过程,以及重温先猜后证概率模型均值的基本活动经验等,为不放回抽样问
题的探究与超几何分布模型的抽象提供类比基础和研究思路,与二项分布形成一个整体,进一步巩
固落实了概率模型的一般研究方法.
1.3.亮点3:创新模型思维,助力学生理解
基于对条件概率的概念、全概率公式学习过程中图形辅助教学的教材理解,创造性地构建Venn
图帮助学生理解超几何分布的直观意义,并借助Venn图推导随机变量的取值范围,进而引导学生进
一步借助Venn图猜想超几何分布的均值,突破推导证明的难点等,整节课扎实落实直观想象素养,
以直观助力抽象,帮助学生加深对超几何分布及其均值的理解.
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1.4.亮点4:巧借信息技术,突破运算瓶颈
在教材例6的讲解过程中,借助信息技术突破常规运算手段较难完成的瓶颈,计算二项分布和
超几何分布的概率值、生成概率统计图表,帮助学生直接地感受数据的生成,更直观地发现二项分
布和超几何分布的区别与联系,感悟应用信息技术研究概率统计问题的内在需求.
2.超几何分布公式是什么
超几何分布公式是:;来历:几何分布来源于几何数列。
超几何分布是统计学上离散的概率分布,它描述了从有限N个物件(其中包含M个指定种类的
物件)中抽出n个物件,成功抽出该指定种类的物件的次数(不放回),之所以被称为超几何分布,
是因为其形状与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
下面的概率分布称为超几何分布:
•随机变量X的可能值:0,1,2,…,n.
•概率函数:
P(x)二哈产,x=0J2,・・・,外
CN
其中〃,都是正整数,且〃<N.上式中,
当或x>N-M时,显然有p(x)=0.
超几何分布中的参数为:N,n,M,上述超几何分布记作,几何学是研究空间结构和性质的学科,
它是数学中最基本的研究内容之一,几何学的发展历史悠久,内容丰富,与分析、代数等有着极为
密切的关系。
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几何分布来源于几何数列:
数列也被称为等比数列,意味着一个数列从第二项开始,各个项与前一项的比是恒定的。
,就是一个等比数列,就是把随机变量所遵循的这种分布称为几何分布。
超几何数列是第2项至各项与前项的比是关于项数n的有理函数的数列。
例如,、数列{an}是超几何数列。
超几何分布的概率公式是超几何数列的形式,所以这种分布称为超几何分布。
3.几何与超几何分布
这两分布名字相近,所以放在一篇里解读。但请注意,名字随相近但实质的涵义差别很大。实
际来看,这两个高端的名字似乎和其实际内涵的毫无贴切度可言。
一、儿何分布
1.1几何分布定义
通俗的说就是:己知事件A发生的概率p,在一次又一次试验中,查看第几次试验时A才首次
发生,所以我更愿意把几何分布称为:第X次试验中,A才首次发生,简称首发分布。
在伯努利试验序列中,记每次试验中事件A的发生概率为p,如果X为事件首次出现时的试验
次数,则X的可能取值为1,2,...,称X服从几何分布,记为X〜Ge(p)。
例如:抛一颗骰子,首次出现6点的抛投次数X〜Ge(l/6);同时抛两颗骰子,首次出现点数之
和为7点的抛投次数X〜Ge(l/6);某产品的次品率为0.05%,则首次查到次品的检查次数服从
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X-Ge(0.05)o
因为直到第k次才首次发生,所k-1次为未发生:(X=k)=A-k-l-A,设A发生的概率设为p,
则A未发生为1-p,所以式子变成:P(X=k)=(l^))k-l-p
几何分布的期望E(X)=lp,方差D(X)=l-pp2
1.2几何分布的无记忆性
无记忆记性通俗的解释是:在前面进行了100次试验中A事件仍未发生的情况下,在接下去的
50次试验中,事件A仍未发生的概率只和接下来的50次有关,和已经结束的100次试验无关。也
就是说似乎忘记了前100次试验结果,所以叫无记忆性。
二、超几何分布
2.1超几何分布定义
超几何分布是一种重要的离散分布,它在抽样理论中占有重要的地位。超几何分布一般用来表
示不放回抽抽样的试验。
设有N个元素分为两类,M个元素属于第一类,Nil个元素属于第二类,从中任取n个,令
随机变量X表示这n个元素中第一类或第二类元素的个数,则X』(n,N,M),如下图所示。
P(X=k)=CMk-CN-Mn-k/CNn,k=0,l,2..,min(n,M)
期望E(X)=n・MN
方差D(X)=n•M(N-M)(N-n)/N2(N=l)
2.2超几何分布的二项近似
当n〈N时,假设抽取个数n远小于产品总数N时,每次抽样后,总体中的不合格品率P=M/N
改变甚微,所以不放回抽样可近似地看成放回抽样,此时超几何分布可用二项分布近似:
CMk,CNHVIn«/CNn=Cnk,pk,(1.9)n-k,其中p=M/N。
4.R统计学(03):超几何分布
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超几何分布(Hypergeometricdistribution),其自变量X定义为从N个有限物品中抽出n个物品,
成功抽出指定种类的物品的个数。
对于二项分布和几何分布,它们均基于伯努利试验,每次试验结果的发生概率是不变的,而超
几何分布试验结果的概率会随着每一次试验的发生而改变。以随机抽样为例,二项分布试验和几何
分布试验是有放回抽样(总体数量保持不变),因此每次试验结果的发生概率是保持不变的;而超几何
分布试验则是在有限总体中进行无放回抽样(总体数量不断减少),所以每次试验结果发生的概率将发
生变化。
1.概率分布
超几何分布是一种重要的离散型概率分布,其概率质量函数可以这样定义:假设有限总体包含N
个样本,其中质量合格的为m个,则剩余的N-m个为不合格样本,如果从该有限总体中抽取出n个
样本,其中有k个是质量合格的概率为:
P(X=k)=c*个*
其中C*表示从N个总体样本中抽取n个样本的方法数目;瑞表示从m个质量合格样本
中抽取k个样本的方法数目;。已、表示从N-m个质量不合格样本中抽取n-k个样本的方
法数目。
由上式可知,超几何分布由样本总量N、质量合格的样本数m和抽取数目n决定,记为X〜H(N,
m,n)o
2.性质
k的取值范围为{max(0,n+m-N),…,min(n,m)},其期望值和方差分别为:
m
E(k)=n
N
mNmNn
Var(k)—
nNNN1
具体可参考/wiki/Hypergeometric_distribution。
2.如果抽取数目n=l(即从有限总体中只抽取一个样本),那么超几何分布将还原成伯努利分布。
3.如果样本总体N为无穷大(也即将有限总体换成无限总体),此时是否放回抽中的样本对于质
量合格样本所占比例没有影响,超几何分布也可视为二项分布。在实际应用中,只要样本总体的数
目是抽取数目的10倍以上(即N>10n),就可用二项分布来近似描述超几何分布,通过两种概率质量
函数计算得到的概率几乎相同。对于这个性质,我们将在后面用一个例子来说明。
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3.R中的相关函数
R中也有四个函数可用于超几何分布,分别是:
dhyperfx,m,n,k):返回抽中x个质量合格样本的概率
phyperfq,m,n,k):返回累积概率
qhyperfp,m,n,k):返回相应分位点x,详情见下面的例子
rhyperfnn,m,n,k):返回每组抽中质量合格样本的个数
这四个函数都有m、n和k参数,分别对应于超几何分布中的质量合格数目m、不合格数目N-m
和抽取数目no下面通过一个例子来了解如何使用它们:
假设某服装店举行十一促销抽奖活动,抽奖箱中总共有30个乒乓球,其中只有3个乒乓球上写
有“中奖”两字。结账时,每个顾客抽出2个乒乓球。如果抽中一个中奖字样,商品总价打7折;
如果抽中两个,商品总价打5折;如果没抽中就不打折。
第一个问题:抽到0个,1个和2个带有“中奖”字样乒乓球的概率分别是多少?此时要用到
dhyper(x,m,n,k)函数,其中x参数指定抽中的数目,函数返回相应概率,比如:
>m<-3##带有“中奖”字样乒乓球的数目
>n<-30-m##没有带有“中奖"字样乒乓球的数目
>k<-2##抽取的数目
>dhyper(0:2,m,n,k)
[1]0,8068965520.1862068970.00689655
从计算结果可知,无法中奖的概率竟然高达80.69%,而中奖的概率仅有19.31%,可见该服装
店是不希望顾客中奖的。
我们上面提到,如果总体数目是抽取数目的十倍以上,可以用二项分布的概率质量函数近似超
几何分布的概率质量函数。在本案例中,总体数目为30,是抽取数目2的15倍,尝试用二项分布
的概率质量函数来计算顾客中奖的概率,中奖乒乓球的比例是10%(即p=0.1),随机抽取2个乒乓球,
二项分布概率质量函数的计算结果如下:
>p<-0.1
>dbinom(0:2,2,p)
[1]0,810.180.01
结果表明,两套概率结果的数值非常接近,验证了上述的第三个性质。
第二个问题:至多抽到1个带有“中奖”字样乒乓球的概率是多少?此时要用到phyper(q,m,n,
k)函数,其中q参数指定至多抽中的数目(这里为1),函数返回相应累积概率,比如:
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>m<-3##带有“中奖"字样乒乓球的数目
>n<-30-m##没有带有“中奖"字样乒乓球的数目
>k<-2##抽取的数目
>phyperfl,m,n,k)
[1]0.9931034
结果表明,至多抽到1个带有“中奖”字样乒乓球的概率高达99.3%
第三个问题:90%概率下我们至多能抽到几个带有“中奖”字样乒乓球的概率是多少?此时要
用至I」qhyper(p,m,n,k)函数,其中p参数指定概率(这里是0.9),函数返回相应分位点x(即F(x)20.9
对应的最小
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