高中数学讲义-超几何分布

高中数学讲义一超几何分布

目录

1.教学要点.........................................................................................1

1.1.亮点1:深挖核心知识，回归数学本质...........................................................1

1.2.亮点2：广用类比思想，关注教学整体...........................................................1

1.3.亮点3：创新模型思维，助力学生理解...........................................................1

1.4.亮点4：巧借信息技术，突破运算瓶颈...........................................................2

2.超几何分布公式是什么............................................................................2

3.几何与超几何分布................................................................................3

4.R统计学(03):超几何分布..........................................................................4

1.教学要点

这节课以课标为纲，教材为本，依托整体教学设计理念，回溯利用样本空间求概率的数学本质，

类比二项分布的研究过程，“创新”超几何分布的几何图示，帮助学生扎实“四基”，提升“四能”，

激发数学创新意识，发展数学核心素养.具体点评如下：

1.1.亮点1：深挖核心知识，回归数学本质

结合有放回抽样问题复习二项分布，引导学生回顾基于样本空间应用古典概型求解概率的一般

步骤，将应用古典概型求解得到的分布列改写为二项分布概率模型，引导学生发现二项分布是在此

基础上抽象出来的一个更为简洁的模型，引导学生认识古典概型求概率的数学本质.

1.2.亮点2：广用类比思想，关注教学整体

有放回抽样过程的复习与回顾，既是帮助学生复习知识，更是帮助学生巩固利用古典概型求概

率，感悟模型筛选的全过程，以及重温先猜后证概率模型均值的基本活动经验等，为不放回抽样问

题的探究与超几何分布模型的抽象提供类比基础和研究思路，与二项分布形成一个整体，进一步巩

固落实了概率模型的一般研究方法.

1.3.亮点3：创新模型思维，助力学生理解

基于对条件概率的概念、全概率公式学习过程中图形辅助教学的教材理解，创造性地构建Venn

图帮助学生理解超几何分布的直观意义，并借助Venn图推导随机变量的取值范围，进而引导学生进

一步借助Venn图猜想超几何分布的均值，突破推导证明的难点等，整节课扎实落实直观想象素养,

以直观助力抽象，帮助学生加深对超几何分布及其均值的理解.

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1.4.亮点4：巧借信息技术，突破运算瓶颈

在教材例6的讲解过程中，借助信息技术突破常规运算手段较难完成的瓶颈，计算二项分布和

超几何分布的概率值、生成概率统计图表，帮助学生直接地感受数据的生成，更直观地发现二项分

布和超几何分布的区别与联系，感悟应用信息技术研究概率统计问题的内在需求.

2.超几何分布公式是什么

超几何分布公式是：；来历：几何分布来源于几何数列。

超几何分布是统计学上离散的概率分布，它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的

物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回），之所以被称为超几何分布，

是因为其形状与“超几何函数”的级数展式的系数有关。

下面的概率分布称为超几何分布：

•随机变量X的可能值：0,1,2,…，n.

•概率函数：

P（x）二哈产,x=0J2,・・・,外

CN

其中〃,都是正整数,且〃<N.上式中，

当或x>N-M时，显然有p（x）=0.

超几何分布中的参数为：N,n,M,上述超几何分布记作，几何学是研究空间结构和性质的学科,

它是数学中最基本的研究内容之一，几何学的发展历史悠久，内容丰富，与分析、代数等有着极为

密切的关系。

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几何分布来源于几何数列：

数列也被称为等比数列，意味着一个数列从第二项开始，各个项与前一项的比是恒定的。

，就是一个等比数列，就是把随机变量所遵循的这种分布称为几何分布。

超几何数列是第2项至各项与前项的比是关于项数n的有理函数的数列。

例如，、数列｛an｝是超几何数列。

超几何分布的概率公式是超几何数列的形式，所以这种分布称为超几何分布。

3.几何与超几何分布

这两分布名字相近，所以放在一篇里解读。但请注意，名字随相近但实质的涵义差别很大。实

际来看，这两个高端的名字似乎和其实际内涵的毫无贴切度可言。

一、儿何分布

1.1几何分布定义

通俗的说就是：己知事件A发生的概率p,在一次又一次试验中，查看第几次试验时A才首次

发生，所以我更愿意把几何分布称为：第X次试验中，A才首次发生，简称首发分布。

在伯努利试验序列中，记每次试验中事件A的发生概率为p,如果X为事件首次出现时的试验

次数，则X的可能取值为1,2,...,称X服从几何分布，记为X〜Ge(p)。

例如：抛一颗骰子，首次出现6点的抛投次数X〜Ge(l/6)；同时抛两颗骰子，首次出现点数之

和为7点的抛投次数X〜Ge(l/6)；某产品的次品率为0.05%,则首次查到次品的检查次数服从

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X-Ge(0.05)o

因为直到第k次才首次发生，所k-1次为未发生：(X=k)=A-k-l-A,设A发生的概率设为p,

则A未发生为1-p,所以式子变成：P(X=k)=(l^))k-l-p

几何分布的期望E(X)=lp，方差D(X)=l-pp2

1.2几何分布的无记忆性

无记忆记性通俗的解释是：在前面进行了100次试验中A事件仍未发生的情况下，在接下去的

50次试验中，事件A仍未发生的概率只和接下来的50次有关，和已经结束的100次试验无关。也

就是说似乎忘记了前100次试验结果，所以叫无记忆性。

二、超几何分布

2.1超几何分布定义

超几何分布是一种重要的离散分布，它在抽样理论中占有重要的地位。超几何分布一般用来表

示不放回抽抽样的试验。

设有N个元素分为两类，M个元素属于第一类，Nil个元素属于第二类，从中任取n个，令

随机变量X表示这n个元素中第一类或第二类元素的个数，则X』(n,N,M),如下图所示。

P(X=k)=CMk-CN-Mn-k/CNn,k=0,l,2..,min(n,M)

期望E(X)=n・MN

方差D(X)=n•M(N-M)(N-n)/N2(N=l)

2.2超几何分布的二项近似

当n〈N时，假设抽取个数n远小于产品总数N时，每次抽样后，总体中的不合格品率P=M/N

改变甚微，所以不放回抽样可近似地看成放回抽样，此时超几何分布可用二项分布近似：

CMk,CNHVIn«/CNn=Cnk,pk,(1.9)n-k,其中p=M/N。

4.R统计学(03):超几何分布

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超几何分布（Hypergeometricdistribution）,其自变量X定义为从N个有限物品中抽出n个物品，

成功抽出指定种类的物品的个数。

对于二项分布和几何分布，它们均基于伯努利试验，每次试验结果的发生概率是不变的，而超

几何分布试验结果的概率会随着每一次试验的发生而改变。以随机抽样为例，二项分布试验和几何

分布试验是有放回抽样（总体数量保持不变），因此每次试验结果的发生概率是保持不变的；而超几何

分布试验则是在有限总体中进行无放回抽样（总体数量不断减少），所以每次试验结果发生的概率将发

生变化。

1.概率分布

超几何分布是一种重要的离散型概率分布，其概率质量函数可以这样定义：假设有限总体包含N

个样本，其中质量合格的为m个，则剩余的N-m个为不合格样本，如果从该有限总体中抽取出n个

样本，其中有k个是质量合格的概率为：

P（X=k）=c*个*

其中C*表示从N个总体样本中抽取n个样本的方法数目；瑞表示从m个质量合格样本

中抽取k个样本的方法数目；。已、表示从N-m个质量不合格样本中抽取n-k个样本的方

法数目。

由上式可知，超几何分布由样本总量N、质量合格的样本数m和抽取数目n决定，记为X〜H（N,

m,n)o

2.性质

k的取值范围为｛max（0,n+m-N）,…,min（n,m）｝,其期望值和方差分别为:

m

E(k)=n

N

mNmNn

Var(k)—

nNNN1

具体可参考/wiki/Hypergeometric_distribution。

2.如果抽取数目n=l（即从有限总体中只抽取一个样本），那么超几何分布将还原成伯努利分布。

3.如果样本总体N为无穷大（也即将有限总体换成无限总体），此时是否放回抽中的样本对于质

量合格样本所占比例没有影响，超几何分布也可视为二项分布。在实际应用中，只要样本总体的数

目是抽取数目的10倍以上（即N>10n）,就可用二项分布来近似描述超几何分布，通过两种概率质量

函数计算得到的概率几乎相同。对于这个性质，我们将在后面用一个例子来说明。

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3.R中的相关函数

R中也有四个函数可用于超几何分布，分别是：

dhyperfx,m,n,k)：返回抽中x个质量合格样本的概率

phyperfq,m,n,k)：返回累积概率

qhyperfp,m,n,k)：返回相应分位点x,详情见下面的例子

rhyperfnn,m,n,k)：返回每组抽中质量合格样本的个数

这四个函数都有m、n和k参数，分别对应于超几何分布中的质量合格数目m、不合格数目N-m

和抽取数目no下面通过一个例子来了解如何使用它们：

假设某服装店举行十一促销抽奖活动，抽奖箱中总共有30个乒乓球，其中只有3个乒乓球上写

有“中奖”两字。结账时，每个顾客抽出2个乒乓球。如果抽中一个中奖字样，商品总价打7折；

如果抽中两个，商品总价打5折；如果没抽中就不打折。

第一个问题：抽到0个，1个和2个带有“中奖”字样乒乓球的概率分别是多少？此时要用到

dhyper(x,m,n,k)函数,其中x参数指定抽中的数目，函数返回相应概率,比如:

>m<-3##带有“中奖”字样乒乓球的数目

>n<-30-m##没有带有“中奖"字样乒乓球的数目

>k<-2##抽取的数目

>dhyper(0:2,m,n,k)

[1]0,8068965520.1862068970.00689655

从计算结果可知，无法中奖的概率竟然高达80.69%,而中奖的概率仅有19.31%,可见该服装

店是不希望顾客中奖的。

我们上面提到，如果总体数目是抽取数目的十倍以上，可以用二项分布的概率质量函数近似超

几何分布的概率质量函数。在本案例中，总体数目为30,是抽取数目2的15倍，尝试用二项分布

的概率质量函数来计算顾客中奖的概率，中奖乒乓球的比例是10%(即p=0.1),随机抽取2个乒乓球，

二项分布概率质量函数的计算结果如下：

>p<-0.1

>dbinom(0:2,2,p)

[1]0,810.180.01

结果表明，两套概率结果的数值非常接近，验证了上述的第三个性质。

第二个问题：至多抽到1个带有“中奖”字样乒乓球的概率是多少？此时要用到phyper(q,m,n,

k)函数，其中q参数指定至多抽中的数目(这里为1),函数返回相应累积概率，比如：

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>m<-3##带有“中奖"字样乒乓球的数目

>n<-30-m##没有带有“中奖"字样乒乓球的数目

>k<-2##抽取的数目

>phyperfl,m,n,k)

[1]0.9931034

结果表明，至多抽到1个带有“中奖”字样乒乓球的概率高达99.3%

第三个问题：90%概率下我们至多能抽到几个带有“中奖”字样乒乓球的概率是多少？此时要

用至I」qhyper(p,m,n,k)函数，其中p参数指定概率(这里是0.9),函数返回相应分位点x(即F(x)20.9

对应的最小