2017届高考文科数学第一轮考点规范练习题14

考点规范练26平面向量的应用考点规范练B册第16页

基础巩固组1.在△ABC所在平面上有一点P,满足,则△PAB与△ABC的面积之比是()A. B. C. D.答案:A解析:由已知可得=2,∴P是线段AC的三等分点(靠近点A),易知S△PAB=S△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1∶3.2.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足=x2-6,则点P的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线答案:D解析:=(-2-x,-y),=(3-x,-y),∴=(-2-x)(3-x)+y2=x2,∴y2=x.3.在△ABC中,()·=||2,则△ABC的形状一定是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案:C解析:由()·=||2,得·()=0,即·()=0,2=0,∴,∴A=90°.又根据已知条件不能得到||=||,故△ABC一定是直角三角形.4.在锐角三角形ABC中,若BC=2,sinA=,则的最大值为()A. B. C.1 D.3答案:C解析:设△ABC三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc×=4,由基本不等式可得4≥bc,即bc≤3,当且仅当b=c时,等号成立.所以=bccosA=bc≤1.5.在△ABC中,=(,-1),=(1,-),则cosB=()A.- B. C. D.0答案:A解析:∵在△ABC中,=(,-1),=(1,-),∴||=2,||=2,=(-,1).∴cosB==-,选A.6.在△ABC中,设=2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心〚导学号32470764〛答案:C解析:假设BC的中点是O,则=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以动点M在线段BC的垂直平分线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心,选C.7.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是()A. B.C. D.〚导学号32470765〛答案:A解析:由条件知F1(-,0),F2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),∴-3<0.①又∵=1,∴=2+2.代入①得,∴-<y0<.8.(2015辽宁大连模拟)已知椭圆方程为=1,点A(1,1),M为椭圆上任意一点,动点N满足=2,则N点的轨迹方程为.〚导学号32470766〛

答案:=1解析:设M(x1,y1),N(x,y),则由已知得(x-1,y-1)=2(x1-1,y1-1),即因为M点在椭圆上,故M点坐标满足椭圆方程.所以=1.9.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A,B两点,且||=||,其中O为坐标原点,则实数a的值为.

答案:±2解析:如图所示,以OA,OB为边作平行四边形OACB,则由||=||,得平行四边形OACB是矩形,.由图像得,直线y=-x+a在y轴上的截距为±2.10.已知在△ABC中,∠C是直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上一点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.证明:建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),则B(0,a),E(x,y).∵D是BC的中点,∴D.又=2,即(x-a,y)=2(-x,a-y),∴解得x=,y=a.∵-(a,0)=,∴=(-a)×a×=-a2+a2=0,∴,即AD⊥CE.11.(2015兰州诊断)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a,b),q=(sinB,sinA),n=(b-2,a-2).(1)若p∥q,求证:△ABC为等腰三角形;(2)若p⊥n,边长c=2,∠C=,求△ABC的面积.(1)证明:∵p∥q,∴asinA=bsinB,即a·=b·(其中R是△ABC外接圆的半径).∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由p⊥n得p·n=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.又c=2,∠C=,∴4=a2+b2-2abcos,即有4=(a+b)2-3ab.∴(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(ab=-1舍去).因此,S△ABC=absinC=×4×.能力提升组12.平面上O,A,B三点不共线,设=a,=b,则△OAB的面积等于()A. B.C. D.答案:C解析:设∠AOB=θ,那么cosθ=,则sinθ==,那么△OAB的面积S=|a||b|·sinθ=|a||b|·=.13.已知△ABD是等边三角形,且,||=,那么四边形ABCD的面积为()A. B. C.3 D.答案:B解析:如图所示,=,∴,即3=.∵||=||,∴|2-||||cos60°=3.∴||=2.又,∴||=|=1.∴||2+||2=||2.∴BC⊥CD.∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×22×sin60°+×1×,故选B.14.(2015太原模拟)已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,-1),则|2a-b|的最大值与最小值的和为.〚导学号32470767答案:4解析:由题意可得a·b=cosθ-sinθ=2cos,则|2a-b|=∈[0,4],所以|2a-b|的最大值与最小值的和为15.在△ABC中,过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB,AC于M,N两点,设=x=y(xy≠0),则4x+y的最小值是.

答案:解析:因为D是BC的中点,E是AD的中点,所以).又,所以.因为M,E,N三点共线,所以=1,所以4x+y=(4x+y)=≥.16.(2015四川,文20)如图,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且=-1.(1)求椭圆E的方程;(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数λ,使得+λ为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b).又点P的坐标为(0,1),且=-1,于是解得a=2,b=.所以椭圆E方程为=1.(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以,x1+x2=-,x1x2=-.从而,+λ=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)]=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1==--λ-2.所以,当λ=1时,--λ-2=-3.此时,+λ=-3为定值.当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD.此时,+λ=-2-1=-3.故存在常数λ=1,使得+λ为定值-3.〚导学号32470768〛沁园春·雪<毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。须