概率同步检测5

第三章3.2第1课时一、选择题1．从甲、乙、丙三人中任选两人作为代表去开会，甲未被选中的概率为()导学号67640740A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．1[答案]B[解析]所有的基本事件为：甲、乙，甲、丙，乙、丙，即基本事件共有三个，甲被选中的事件有两个，故P＝eq\f(2,3).∴甲未被选中的概率为eq\f(1,3).2．下列概率模型中，有几个是古典概型()导学号67640741①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；②从1～10中任意取出一个整数，求取到1的概率；③向一个正方形ABCD内投一点P，求P刚好与点A重合的概率；④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．A．1个 B．2个C.3个 D．4个[答案]A[解析]第1个概率模型不是古典概型．因为从区间[1,10]内任意取出一个数有无数个对象被取，即试验中所有可能出现的基本事件有无限个．第2个概率模型是古典概型．在试验中所有可能出现的结果只有10个，而且每一个数被抽到的可能性相等．第3个概率模型不是古典概型，向正方形内投点，可能结果有无穷多个．第4个概率模型不是古典概型．因为硬币残旧且不均匀，因此两面出现的可能性不相等．3．(2016·北京文)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为eq\x(导学号67640742)()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(8,25) D.eq\f(9,25)[答案]B[解析]设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，(乙、丙)，(乙、丁)，(乙，戊)，(丙、丁)，(丙、戊)，(丁，戊)，共10种情况，其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，共4种，所以甲被选中的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).4．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率为()导学号67640743A.eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)[答案]D[解析]从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，所得情况有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)共15种，b>a的情况有(1,2)、(1,3)、(2,3)，共3种，∴所求的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).5．已知集合A＝{－1,0,1}，点P坐标为(x，y)，其中x∈A，y∈A，记点P落在第一象限为事件M，则P(M)＝()导学号67640744A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C.eq\f(1,9) D．eq\f(2,9)[答案]C[解析]所有可能的点是(－1，－1)、(－1,0)、(－1,1)、(0，－1)、(0,0)、(0,1)、(1，－1)、(1,0)、(1,1)，共9个，其中在第一象限的有1个，因此P(M)＝eq\f(1,9).6．若第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠在一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车，假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于()导学号67640745A.eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C.eq\f(3,5) D．eq\f(2,5)[答案]D[解析]汽车到站共有5种不同情况，恰好是这位乘客所需乘的汽车有2种，故所示概率P＝eq\f(2,5).二、填空题7．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们的颜色不同的概率是________．导学号67640746[答案]eq\f(1,2)[解析]记3只白球分别为A、B、C,1只黑球为m，若从中随机摸出两只球有AB、AC、Am、BC、Bm、Cm有6种结果，其中颜色不同的结果为Am、Bm、Cm有3种结果，故所求概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).8．4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为____________．导学号67640747[答案]eq\f(2,3)[解析]由题意知，基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，记“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”为事件A，∴A＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)}，∴P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).三、解答题9．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．导学号67640748(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．[解析](1)X的所有可能取值为－2、－1、0、1.(2)数量积为－2的有eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，共1种；数量积为－1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))、eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))、eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))、eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))、eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))、eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，共6种；数量积为0的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))、eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))、eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))、eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4种；数量积为1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA2,\s\up6(→))、eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))、eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))、eq\o(OA5,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为p1＝eq\f(7,15)；因为去唱歌的概率为p2＝eq\f(4,15)，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－eq\f(4,15)＝eq\f(11,15).10.右面茎叶图中记录了甲组3名同学寒假假期内去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．导学号67640749(1)如果x＝7，求乙组同学去图书馆B学习次数的平均数和方差；(2)如果x＝9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．[解析](1)当x＝7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆B学习的次数是7、8、9、12，所以其平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(7＋8＋9＋12,4)＝9，方差为s2＝eq\f(1,4)[(7－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(12－9)2]＝eq\f(7,2).(2)记甲组3名同学为A1、A2、A3，他们去图书馆A学习的次数依次为9、12、11；乙组4名同学为B1、B2、B3、B4，他们去图书馆B学习的次数依次为9、8、9、12；从学习次数大于8的学生中任选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是A1A2、A1A3、A1B1、A1B3、A1B4、A2A3、A2B1、A2B3、A2B4、A3B1、A3B3、A3B4、B1B3、B1B4、B3用C表示“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C中的结果有5个，它们是A1B4、A2B4、A2B3、A2B1、A3B4故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆里学习且学习的次数和大于20的概率为P(C)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).一、选择题1．(2015·广东文，7)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为()导学号67640750A．0.4 B．0.6C.0.8 D．1[答案]B[解析]5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A＝“恰有一件次品”，则P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6，故选B.2．已知f(x)＝3x－2(x＝1,2,3,4,5)的值构成集合A，g(x)＝2x－1(x＝1,2,3,4,5)的值构成集合B，任取x∈A∪B，则x∈A∩B的概率是()导学号67640751A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[答案]B[解析]根据条件可得A＝{1,4,7,10,13}，B＝{1,2,4,8,16}，于是A∪B＝{1,2,4,7,8,10,13,16}，A∩B＝{1,4}．故任取x∈A∪B，则x∈A∩B的概率是eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).3．从所有3位正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为()导学号67640752A.eq\f(1,225) B．eq\f(1,300)C.eq\f(1,450) D．以上全不对[答案]B[解析]三位的正整数共有900个，若以2为底的对数也是正整数(设为n)，则100≤2n≤999，∴n＝7、8、9共3个，故P＝eq\f(3,900)＝eq\f(1,300).4．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“12”和“伦敦”的字块，如果婴儿能够排成“2012伦敦”或者“伦敦2012”，则他们就给婴儿奖励．假设婴儿能将字块挨着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是导学号67640753A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[答案]B[解析]3块字块的排法为“2012伦敦”，“20伦敦12”，“1220伦敦”，“12伦敦20”，“伦敦2012”，“伦敦1220”，共6种，婴儿能得到奖励的情况有2种，故所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).二、填空题5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为P点的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是____________．导学号67640754[答案]eq\f(2,9)[解析]P点坐标共有36个，落在圆x2＋y2＝16内的点为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)共8个，故所求概率P＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).6．在平面直角坐标系中，从五个点A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________．导学号67640755[答案]eq\f(4,5)[解析]如下图所示，则从这五点中任取三点的全部结果为：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE，共10个．而事件M“任取三点构不成三角形”只有ACE、BCD2个，故构成三角形的概率P(eq\x\to(M))＝1－P(M)＝1－eq\f(2,10)＝eq\f(4,5).三、解答题7．(2014·四川文，16)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c.导学号67640756(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．[解析](1)由题意，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)、(1,1,2)、(1,1,3)、(1,2,1)、(1,2,2)、(1,2,3)、(1,3,1)、(1,3,2)、(1,3,3)、(2,1,1)、(2,1,2)、(2,1,3)、(2,2,1)、(2,2,2)、(2,2,3)、(2,3,1)、(2,3,2)、(2,3,3)，(3,1,1)、(3,1,2)、(3,1,3)、(3,2,1)、(3,2,2)、(3,2,3)、(3,3,1)、(3,3,2)、(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)，共3种．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq\f(1,9).(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件eq\x\to(B)包括(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq\f(8,9).8．(2015·福建文，18)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.导学号67640757组号分组频数1[4,5)22[5,6)83[6,7)74[7,8]3(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．[解析]解法一：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1、A2、A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1、B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}、{A1，A3}、{A2，A3}、{A1，B1}、{A1，B2}、{A2，B1}、{A2，B2}、{A3，B1}、{A3，B2}、{B1，B2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}、{A1，A3}、{A2，A3}、{A1，B1}、{A1，B2}、{A2，B1}、{A2，B2}、{A3，B1}、{A3，B2}，共9个．所以所求的概率P＝eq\f(9,10).(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×eq\f(2,20)＋5.5×eq\f(8,20)＋6.5×eq\f(7,20)＋7.5×eq\f(3,20)＝6.05.解法二：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}、{A1，A3}、{A2，A3}、{A1，B1}、{A1，B2}、{A2，B1}、{A2，B2}、{A3，B1}、{A3，B2}、{B1，B2}，共10个．其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．所以所求的概率P＝1－eq\f(1,10)