2016届高考理科数学考点专题闯关训练33

专题六解析几何真题体验·引领卷一、选择题1．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0B．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝02．(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝()A．2eq\r(6) B．8C．4eq\r(6) D．104．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.eq\r(5) B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)5．(2015·浙江高考)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.eq\f(|BF|－1,|AF|－1) B.eq\f(|BF|2－1,|AF|2－1)C.eq\f(|BF|＋1,|AF|＋1) D.eq\f(|BF|2＋1,|AF|2＋1)6．(2015·天津高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，eq\r(3))，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4eq\r(7)x的准线上，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,21)－eq\f(y2,28)＝1 B.eq\f(x2,28)－eq\f(y2,21)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1二、填空题7．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．8．(2015·湖南高考)设F是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．9．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．三、解答题10．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)，m))，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．11.(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝eq\f(x2,4)与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．12．(2015·天津高考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为eq\f(\r(3),3)，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝eq\f(b2,4)截得的线段的长为c，|FM|＝eq\f(4\r(3),3).(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于eq\r(2)，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．专题六解析几何经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·河南名校联考)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝02．(2015·西安模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，则|QF|＝()A.eq\f(7,2) B.eq\f(5,2) C．3 D．23．(2015·烟台模拟)等轴双曲线x2－y2＝a2(a>0)的左、右顶点分别为A、B，P是双曲线上在第一象限内的一点，若直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，且β＝2α，那么β的值是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,12)4．(2015·济南模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7 B．6 C．5 5．(2015·大庆质检)如图，已知椭圆C的中心为原点O，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\r(5)，0))为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,30)＋eq\f(y2,10)＝1 D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,25)＝16．(2015·石家庄质检)已知抛物线y2＝8x与双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为()A．5x±3y＝0 B．3x±5y＝0C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0二、填空题7．(2015·北京东城调研)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(5)，则C的渐近线方程为________．8．(2015·潍坊三模)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为________．9．(2015·石家庄质检)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O、F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________．三、解答题10．(2015·哈尔滨调研)椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且短轴长与长轴长的比是eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当|eq\o(MP,\s\up6(→))|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．11.(2015·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))且与直线x＝－eq\f(1,2)相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设P是曲线E上的动点，点B，C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，求△PBC面积的最小值．12．(2015·潍坊三模)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，点O为坐标原点，椭圆C与曲线|y|＝x的交点分别为A，B(A在第四象限)，且eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)定义：以原点O为圆心，eq\r(a2＋b2)为半径的圆称为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的“伴随圆”．若直线l交椭圆C于M，N两点，交其“伴随圆”于P，Q两点，且以MN为直径的圆过原点O.证明：|PQ|为定值．专题六解析几何专题过关·提升卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·长沙调研)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19 C．9 D．－112．(2015·福建高考)若双曲线E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．11 B．9 C．5 D．33．(2015·安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(y2,4)－x2＝1 D．y2－eq\f(x2,4)＝14．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝1交于A、B两点，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|(其中O为坐标原点)，则实数a的值为()A．1或eq\r(2) B．1或－1C.eq\r(2)或－eq\r(2) D．－2或25．(2015·广东高考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝16．(2015·郑州质检)已知点P(a，b)是抛物线x2＝20y上一点，焦点为F，|PF|＝25，则|ab|＝()A．100 B．200 C．360 7．(2015·唐山调研)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线eq\r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)－18．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)9．(2015·青岛模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为eq\f(a2＋b2,8)，则该双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(5),3) B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(\r(10),3) D.eq\f(\r(15),3)10．(2015·潍坊模拟)已知抛物线C1：y2＝2x的焦点F是双曲线C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个顶点，两条曲线的一个交点为M，若|MF|＝eq\f(3,2)，则双曲线C2的离心率是()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(17),3)C.eq\f(2\r(6),3) D.eq\f(\r(33),3)11．已知动点P(x，y)在椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上，点F为椭圆C的右焦点，若点Q满足|eq\o(QF,\s\up6(→))|＝1，且eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝0，则|eq\o(PQ,\s\up6(→))|的最大值()A.eq\r(3) B．6C.eq\r(35) D．3512．(2015·河北衡水中学冲刺卷)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，M为该双曲线右支上一点，且|MF1|2，eq\f(1,2)|F1F2|2，|MF2|2成等差数列，该点到x轴的距离为eq\f(c,2)，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B．2 C.eq\r(5) D．5第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．(2015·陕西高考)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．14．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R15．(2015·长沙模拟)双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心，FO为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A，B(不同于O点)，则|AB|＝________．16．(2015·合肥质检)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·陕西高考)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为eq\f(1,2)c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝eq\f(5,2)的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．18．(本小题满分12分)(2015·太原模拟)已知动点A在椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)上，动点B在直线x＝－2上，且满足eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)，椭圆C上的点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，3))到两焦点距离之和为4eq\r(3).(1)求椭圆C的方程；(2)判断直线AB与圆x2＋y2＝3的位置关系，并证明你的结论．19.(本小题满分12分)(2015·兰州模拟)已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F(1，0)为定点，且满足eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(NM,\s\up6(→))＝0，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0.(1)求动点N的轨迹E的方程；(2)过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|2＋|CB|2＝|AB|2成立，请说明理由．20．(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)(2015·德州模拟)如图，已知椭圆：eq\f(x2,4)＋y2＝1，点A，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k的直线l与线段AB相交于点D，且与椭圆相交于E、F两点．(1)若eq\o(ED,\s\up6(→))＝6eq\o(DF,\s\up6(→))，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值．22．(本小题满分12分)(2015·衡水中学冲刺)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为M.点P(m，n)(m>p)在抛物线C上，且△FOP的外接圆圆心到准线l的距离为eq\f(3,2).(1)求抛物线C的方程；(2)若直线PF与抛物线C交于另一点A，证明：kMP＋kMA为定值；(3)过点P作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，与y轴分别交于D、E两点，求△PDE面积取得最小值时对应的m值．专题六解析几何真题体验·引领卷1．D[设所求的切线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，依题意，得eq\f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，则c＝±5.∴所求切线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.]2．A[由题设，a2＝2，b2＝1，则c2＝3，不妨设F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，则eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0)，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)＝3yeq\o\al(2,0)－1<0，解之得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).]3．C[易知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，－9)．则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.令x＝0，得(y＋2)2＝24，解之得y1＝－2－2eq\r(6)，y2＝－2＋2eq\r(6).因此|MN|＝|y1－y2|＝4eq\r(6).]4．D[如图，设双曲线E的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)．∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN在Rt△BMN中，y1＝|MN|＝2asin60°＝eq\r(3)a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a将点M(x1，y1)的坐标代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，可得a2＝b2，所以双曲线E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(2).]5．A[由几何图形知，eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BC|,|AC|)＝eq\f(xB,xA).由抛物线定义，|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1.因此eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BF|－1,|AF|－1).]6．D[双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，又渐近线过点(2，eq\r(3))，所以eq\f(2b,a)＝eq\r(3)，即2b＝eq\r(3)a，①又抛物线y2＝4eq\r(7)x的准线方程为x＝－eq\r(7)，由已知，得－eq\r(a2＋b2)＝－eq\r(7)，即a2＋b2＝7，②联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.]7.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4)[由题意知，圆过椭圆的顶点(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点．设圆心为(a，0)，其中a>0.由4－a＝eq\r(4＋a2)，解得a＝eq\f(3,2)，则半径r＝eq\f(5,2).所以该圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4).]8.eq\r(5)[不妨设F(－c，0)，虚轴的一个端点为B(0，b)．依题意，点B恰为线段PF的中点，则P(c，2b)，将P(c，2b)代入双曲线方程，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)＝5，因此e＝eq\r(5).]9.eq\f(\r(2),2)[双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0.又直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，所以两平行线间的距离d＝eq\f(|1－0|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(\r(2),2)，由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立．所以c≤eq\f(\r(2),2)，故c的最大值为eq\f(\r(2),2).]10．(1)证明设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(－kb,k2＋9)，yM＝kxM＋b＝eq\f(9b,k2＋9).于是直线OM的斜率kOM＝eq\f(yM,xM)＝－eq\f(9,k)，即kOM·k＝－9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)解四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)，m))，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.由(1)得OM的方程为y＝－eq\f(9,k)x.设点P的横坐标为xP，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(9,k)x，,9x2＋y2＝m2))得xeq\o\al(2,P)＝eq\f(k2m2,9k2＋81)，即xP＝eq\f(±km,3\r(k2＋9)).将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)，m))的坐标代入l的方程得b＝eq\f(m（3－k）,3)，因此xM＝eq\f(k（k－3）m,3（k2＋9）).四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.于是eq\f(±km,3\r(k2＋9))＝2×eq\f(k（k－3）m,3（k2＋9）)，解得k1＝4－eq\r(7)，k2＝4＋eq\r(7).因为ki>0，ki≠3，i＝1，2，所以当l的斜率为4－eq\r(7)或4＋eq\r(7)时，四边形OAPB为平行四边形．11．解(1)当k＝0时，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝a，,y＝\f(x2,4)))可得，M(2eq\r(a)，a)，N(－2eq\r(a)，a)或M(－2eq\r(a)，a)，N(2eq\r(a)，a)．又y′＝eq\f(x,2).故y＝eq\f(x2,4)在x＝2eq\r(a)处的导数值为eq\r(a)，因此曲线C在点(2eq\r(a)，a)处的切线方程为y－a＝eq\r(a)(x－2eq\r(a))，即eq\r(a)x－y－a＝0.又曲线y＝eq\f(x2,4)在x＝－2eq\r(a)处的导数值为－eq\r(a).所以曲线C在点(－2eq\r(a)，a)处的切线方程为y－a＝－eq\r(a)(x＋2eq\r(a))，即eq\r(a)x＋y＋a＝0.故所求切线方程为eq\r(a)x－y－a＝0和eq\r(a)x＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a从而k1＋k2＝eq\f(y1－b,x1)＋eq\f(y2－b,x2)＝eq\f(（kx1＋a－b）x2＋（kx2＋a－b）x1,x1x2)＝eq\f(2kx1x2＋（a－b）（x1＋x2）,x1x2)＝eq\f(k（a＋b）,a).∴b＝－a时，有k1＋k2＝0.则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．12．解(1)由于椭圆的离心率e＝eq\f(\r(3),3)，且a2＝b2＋c2，∴a2＝3c2，且b2＝2c设直线FM的斜率为k(k>0)，且焦点F(－c，0)．则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|kc|,\r(k2＋1))))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))eq\s\up12(2)，解得k＝eq\f(\r(3),3).(2)由(1)得椭圆方程为eq\f(x2,3c2)＋eq\f(y2,2c2)＝1，直线FM的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解之得x＝－eq\f(5,3)c或x＝c.因为点M在第一象限，则点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(2\r(3)c,3))).由|FM|＝eq\r(（c＋c）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)c－0))\s\up12(2))＝eq\f(4\r(3),3).解得c＝1，所以椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝eq\f(y,x＋1)，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝t（x＋1），,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝eq\r(\f(6－2x2,3（x＋1）2))>eq\r(2)，解得－eq\f(3,2)<x<－1，或－1<x<0.设直线OP的斜率为m，得m＝eq\f(y,x)，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝eq\f(2,x2)－eq\f(2,3).①当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))时，有y＝t(x＋1)<0.因此m>0，于是m＝eq\r(\f(2,x2)－\f(2,3))，得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(2\r(3),3))).②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)>0.因此m<0，于是m＝－eq\r(\f(2,x2)－\f(2,3))，得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3))).综上，直线OP的斜率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(2\r(3),3))).经典模拟·演练卷1．A[易知点A(1，1)是一个切点．由圆的几何性质，过点(3，1)、(1，0)的直线与直线AB垂直．∴kAB＝－eq\f(1,\f(1－0,3－1))＝－2.所以直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.]2．C[如图所示，过点Q作直线l的垂线，垂足为E.由eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，得eq\f(|FP|,|FQ|)＝4.所以eq\f(|EQ|,|AF|)＝eq\f(3,4).由抛物线C：y2＝8x知|AF|＝p＝4，∴|EQ|＝3，根据抛物线定义，|FQ|＝|EQ|＝3.]3．A[由β＝2α，得∠APB＝α，则|PB|＝|AB|＝2a，设P(x，y∴x＝a＋2acosβ，y＝2asinβ，则P(a＋2acosβ，2asinβ)，代入双曲线方程(a＋2acosβ)2－(2asinβ)2＝a2，cos2β＋cosβ＝0.∴2cos2β＋cosβ－1＝0，则cosβ＝eq\f(1,2)，cosβ＝－1(舍去)，故β＝eq\f(π,3).]4．B[由∠APB＝90°，知点P在以线段AB为直径的圆上，设该圆的圆心为O，则O(0，0)，半径r＝m，由圆的几何性质，当圆C与圆O相内切时，圆的半径取得最大值．∴|OC|＝eq\r(32＋42)＝m－1，∴m＝6.故m的最大值为6.]5．B[设椭圆C的右焦点为F′，连接PF′.在△PFF′中，|OP|＝|OF|＝|OF′|＝2eq\r(5)，知∠FPF′＝90°.又|PF|＝4，∴|PF′|2＝|FF′|2－|PF|2＝(4eq\r(5))2－42＝64，则|PF′|＝8，因此2a＝|PF|＋|PF′|＝12，a由c＝2eq\r(5)，得b2＝a2－c2＝36－20＝16，故椭圆C的方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1.]6．A[依题意，不妨设点M在第一象限，且M(x0，y0)，由抛物线定义，|MF|＝x0＋eq\f(p,2)，得5＝x0＋2.∴x0＝3，则yeq\o\al(2,0)＝24，所以M(3，2eq\r(6))，又点M在双曲线上，∴eq\f(32,a2)－24＝1，则a2＝eq\f(9,25)，a＝eq\f(3,5)，因此渐近线方程为eq\f(25,9)x2－y2＝0，即5x±3y＝0.]7．y＝±2x[由题意知：eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝5，则eq\f(b,a)＝2，所以渐近线的方程为y＝±2x.]8．(x＋1)2＋y2＝2[由题设，圆C的圆心C(－1，0)，设半径为r，又圆C与圆C′：(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，∴|CC′|＝2eq\r(2)＋r.又|CC′|＝eq\r([2－（－1）]2＋32)＝3eq\r(2)，则r＝eq\r(2)，故所求圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.]9．y2＝16x[由抛物线C：y2＝2px(p>0)，知焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线x＝－eq\f(p,2)，设满足条件的圆心为C′，圆的半径为r.由πr2＝36π，得r＝6.又圆C′与抛物线的准线x＝－eq\f(p,2)相切，∴eq\f(p,4)＋eq\f(p,2)＝6，∴p＝8.故抛物线方程为y2＝16x.]10．解(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由焦点F(－2，0)知c＝2.∴a2＝4＋b2，①又eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，②联立①，②得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.故－4≤x≤4.由点M(m，0)在椭圆的长轴上，则－4≤m≤4.①由eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－m，y)，所以|eq\o(MP,\s\up6(→))|2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,16)))＝eq\f(1,4)x2－2mx＋m2＋12＝eq\f(1,4)(x－4m)2＋12－3m2.∵当|eq\o(MP,\s\up6(→))|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点．∴当x＝4时，|eq\o(MP,\s\up6(→))|2取得最小值．由于x∈[－4，4]，故4m≥4，则m≥1，由①，②知，实数m的取值范围是[1，4]．11．解(1)∵动圆过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))且与直线x＝－eq\f(1,2)相切，∴动圆的圆心到定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离等于到定直线x＝－eq\f(1,2)的距离．根据抛物线定义，圆心的轨迹方程为y2＝2x.(2)设点P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，则直线PB的方程为(y0－b)x－x0y＋x0b＝0，又△PBC的内切圆方程为(x－1)2＋y2＝1，∴圆心(1，0)到直线PB的距离为1.则eq\f(|y0－b＋x0b|,\r(（y0－b）2＋xeq\o\al(2,0)))＝1，整理得(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，同理，得(x0－2)c2＋2y0c－x0因此，b，c是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两根，所以b＋c＝eq\f(－2y0,x0－2)，bc＝eq\f(－x0,x0－2).依题意，得bc<0，即x0>2.则(b－c)2＝eq\f(4xeq\o\al(2,0)＋4yeq\o\al(2,0)－8x0,（x0－2）2)，因为yeq\o\al(2,0)＝2x0，所以|b－c|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2x0,x0－2))).因此△PBC的面积S＝eq\f(1,2)|b－c||x0|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),x0－2)))＝x0＋2＋eq\f(4,x0－2)＝(x0－2)＋eq\f(4,x0－2)＋4≥2eq\r(（x0－2）·\f(4,x0－2))＋4＝8，当且仅当x0－2＝2，即x0＝4时上式等号成立．故△PBC面积的最小值为8.12．(1)解由椭圆的对称性，知点A、B关于x轴对称．依题意，设点A(x，－x)，B(x，x)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，2x)．由eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，x)·(0，2x)＝eq\f(3,2)，且x>0.∴2x2＝eq\f(3,2)，x＝eq\f(\r(3),2)，因此Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，代入椭圆方程，得eq\f(3,4a2)＋eq\f(3,4b2)＝1.①又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴eq\f(6,9)＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)②联立①，②，得b2＝1，a2＝3.所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)证明由题意可得“伴随圆”方程为x2＋y2＝4，①当直线l斜率不存在时，设l：x＝n，代入椭圆方程得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\r(1－\f(n2,3))))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，－\r(1－\f(n2,3))))，由eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0得n＝±eq\f(\r(3),2)，代入x2＋y2＝4得y＝±eq\f(\r(13),2)，所以|PQ|＝eq\r(13).②当直线l斜率存在时，设l方程为y＝kx＋m(k，m∈R)且与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0，即m2∵x1＋x2＝eq\f(－6km,1＋3k2)，x1·x2＝eq\f(3m2－3,1＋3k2)，可得y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝eq\f(m2－3k2,1＋3k2)，由eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0得x1·x2＋y1·y2＝0，即eq\f(3m2－3,1＋3k2)＋eq\f(m2－3k2,1＋3k2)＝eq\f(4m2－3k2－3,1＋3k2)＝0，所以m2＝eq\f(3,4)(k2＋1)，代入验证Δ>0成立．则原点O到直线l的距离d＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝eq\r(\f(m2,1＋k2))＝eq\f(\r(3),2)，∵“伴随圆”的半径为2，∴|PQ|＝2eq\r(4－\f(3,4))＝eq\r(13)，综合①，②知，|PQ|为定值eq\r(13).专题过关·提升卷1．C[圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1.圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0的圆心为C2(3，4)，半径为r2＝eq\r(25－m).由于两圆外切，则|C1C2|＝r1＋r2，所以5＝1＋eq\r(25－m)，解之得m＝9.]2．B[由双曲线定义，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|＝3，知点P在双曲线的左支上，则|PF2|－|PF1|＝6.所以|PF2|＝9.]3．C[由双曲线性质，A、B项中焦点在x轴上，不合题意．对于选项D，其渐近线方程为y2－eq\f(x2,4)＝0，即y＝±eq\f(x,2).经检验，只有选项C中eq\f(y2,4)－x2＝1满足．]4．B[∵|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|，∴以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为邻边作出的平行四边形OACB为矩形，则eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，所以△OAB为直角三角形，因此|AB|＝eq\r(2).于是圆心O到直线x＋y＝a的距离d＝eq\f(|AB|,2)＝eq\f(\r(2),2)，从而，得eq\f(|0＋0－a|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，∴a＝±1.]5．B[因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.]6．D[由x2＝20y知其准线y＝－5.∴|PF|＝b＋5＝25，则b＝20.又点(a，b)在抛物线x2＝20y上，∴a2＝400，|a|＝20，因此|ab|＝|20×20|＝400.]7．D[设F(－c，0)，点A(m，n)，依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n,m＋c)·（－\r(3)）＝－1，,\f(\r(3)（m－c）,2)＋\f(n,2)＝0，))解之得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c)).代入椭圆方程，有eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1.又b2＝a2－c2代入，得c4－8a2c2＋所以e4－8e2＋4＝0，e2＝4－2eq\r(3)，e＝eq\r(3)－1.]8．D[圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心M(－3，2)，半径r＝1.点N(－2，－3)关于y轴的对称点N′(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点N′(2，－3)且斜率存在，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－(2k＋3)＝0.∵反射光线与已知圆相切，∴eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋（－1）2))＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－eq\f(3,4)或k＝－eq\f(4,3).]9．C[设P(xP，yP)，依题设xP>0，且yP>0.由S△OFP＝eq\f(1,2)·c·yP＝eq\f(a2＋b2,8)＝eq\f(c2,8)，∴yP＝eq\f(c,4).又直线PF的方程为y＝－(x－c)，∴xP＝eq\f(3c,4)，又点P在双曲线的渐近线bx－ay＝0上，∴eq\f(3c,4)·b－eq\f(ac,4)＝0，则a＝3b，c＝eq\r(10)b，故双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),3).]10．D[由抛物线方程知p＝1，∴焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，则a＝eq\f(1,2).设M(xM，yM)，由抛物线定义，|MF|＝xM＋eq\f(p,2)＝eq\f(3,2)，∴xM＝1，则yM＝±eq\r(2)，即M(1，±eq\r(2))，代入双曲线方程，得b2＝eq\f(2,3)，从而c2＝eq\f(11,12)，故双曲线c2的离心率e2＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(33),3).]11．C[如图所示，由方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1知：顶点A(－4，0)，B(4，0)、右焦点F(2，0)．又|eq\o(QF,\s\up6(→))|＝1，∴点Q的轨迹是以焦点F(2，0)为圆心，以1为半径的圆．由|eq\o(QP,\s\up6(→))|·|eq\o(QF,\s\up6(→))|＝0，知PQ⊥FQ.因此直线PQ是圆F的切线，且Q为切点，∴|PQ|2＝|PF|2－1，当|PF|最长时，|PQ|取最大值．当点P与椭圆的左顶点A重合时，|PF|有最大值|AF|＝6.所以|eq\o(PQ,\s\up6(→))|的最大值为eq\r(62－1)＝eq\r(35).]12．A[依题意，|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2∴△MF1F2是以M因此|MF1|·|MF2|＝|F1F2|·eq\f(c,2)＝2c·eq\f(c,2)＝c2.又|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1||MF2|＝4c2.∴(2a)2＋2c2＝4c2，则c2故双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).]13．2eq\r(2)[由于x2－y2＝1的焦点为(±eq\r(2)，0)，故eq\f(p,2)＝eq\r(2)，则p＝2eq\r(2).]14．(x－1)2＋y2＝2[直线mx－y－2m－1＝0恒过定点P∴当P(2，－1)为切点时，圆的半径最大，且R＝eq\r(（1－2）2＋（0＋1）2)＝eq\r(2)，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]15．2eq\r(3)[由双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1，右焦点F(2，0)，渐近线方程分别为y＝±eq\r(3)x，代入圆F的方程(x－2)2＋y2＝4，得x＝1，y＝±eq\r(3).故|AB|＝2eq\r(3).]16．x2＋eq\f(3,2)y2＝1[设点A在点B上方，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝eq\r(1－b2)，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，得eq\o(AF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1B,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2c＝3（x0＋c），,－b2＝3y0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(5,3)c，,y0＝－\f(1,3)b2.))代入方程eq\f(25（1－b2）,9)＋eq\f(1,9)b2＝1，得b2＝eq\f(2,3)，故所求椭圆E的方程为x2＋eq\f(3,2)y2＝1.]17．解(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝eq\f(bc,\r(b2＋c2))＝eq\f(bc,a)，由d＝eq\f(1,2)c，得a＝2b，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3)b，因此椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝eq\r(10)，易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1＋x2＝－eq\f(8k（2k＋1）,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4（2k＋1）2－4b2,1＋4k2).由x1＋x2＝－4，得－eq\f(8k（2k＋1）,1＋4k2)＝－4，解得k＝eq\f(1,2)，从而x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))|x1－x2|＝eq\f(\r(5),2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(10（b2－2）)，由|AB|＝eq\r(10)，得eq\r(10（b2－2）)＝eq\r(10)，解得b2＝3，故椭圆E的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1.18．解(1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝4\r(3)，,\f(9,a2)＋\f(3,4b2)＝1，))∴a2＝12，b2＝3，∴椭圆C的方程为eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,3)＝1.(2)直线AB与圆x2＋y2＝3相切，证明如下：由题意可设A(x0，y0)，B(－2，t)(t∈R)，则直线AB的方程为(y0－t)x－(x0＋2)y＋(tx0＋2y0)＝0，∵eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴2x0＝ty0，∴t＝eq\f(2x0,y0)，∵动点A在椭圆C上，∴eq\f(yeq\o\al(2,0),12)＋eq\f(xeq\o\al(2,0),3)＝1，∴yeq\o\al(2,0)＝12－4xeq\o\al(2,0)，∴原点O到直线AB的距离d＝eq\f(|tx0＋2y0|,\r(（y0－t）2＋（x0＋2）2))＝eq\f(|tx0＋2y0|,\r(yeq\o\al(2,0)－2ty0＋t2＋xeq\o\al(2,0)＋4x0＋4))＝eq\f(|tx0＋2y0|,\r(yeq\o\al(2,0)＋t2＋xeq\o\al(2,0)＋4))＝eq\f(2|xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)|,\r(xeq\o\al(2,0)yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(4,0)＋4xeq\o\al(2,0)＋4yeq\o\al(2,0)))＝eq\f(6|4－xeq\o\al(2,0)|,\r(12（xeq\o\al(4,0)－8xeq\o\al(2,0)＋16）))＝eq\r(3)，∴直线AB与圆x2＋y2＝3相切．19．解(1)设N(x，y)，则由eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(NM,\s\up6(→))＝0得P为MN的中点．∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，M(－x，0)．∴eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x，－\f(y,2)))，eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(y,2))).∴eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝－x＋eq\f(y2,4)＝0，即y2＝4x.∴动点N的轨迹E的方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x))消去x得y2－eq\f(4,k)y－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4.假设存在点C(m，0)满足条件，则eq\o(CA,\s\up6(→))＝(x1－m，y1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(x2－m，y2)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1y2,4)))eq\s\up12(2)－meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2),4)))＋m2－4＝－eq\f(m,4)[(y1＋y2)2－2y1y2]＋m2－3＝m2－meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k2)＋2))－3.∵Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k2)＋2))eq\s\up12(2)＋12>0，∴关于m的方程m2－meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k2)＋2))－3＝0有解．故在x轴上存在点C，使得|CA|2＋|CB|2＝|AB|2成立．20．解(1)由点P(0，1)在椭圆上，知b＝1，又离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)且a2＝b2＋c2.解得c2＝1，a2＝2，故椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.设M(xM，0)．因为m≠0，所以－1<n<1.直线PA的方程为y－1＝eq\f(n－1,m)x.所以xM＝eq\f(m,1－n)，即Meq\b\