2017届高考理科数学知识点题组训练题9

题组层级快练(三十)1．(2015·新课标全国Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5 B．7C．9 D．11答案A解析∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，得3a3＝3，则a3＝1，∴S5＝eq\f(5（a1＋a5）,2)＝5a3＝5，故选A项．2．在等差数列{an}中，若a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5.故d＝a4－a3＝7－5＝2.3．(2016·衡水调研卷)在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则eq\f(a1,d)等于()A.eq\f(1,2) B．2C.eq\f(1,4) D．4答案A4．(2014·重庆文)在等差数列{an}中，若a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5 B．8C．10 D．14答案B解析由等差数列的性质，得a1＋a7＝a3＋a5.因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8，选B.5．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝()A．18 B．20C．22 D．24答案B解析由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.6．(2016·武汉市二中)已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d为()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)答案D解析a10＝a1＋9d＝10，S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝10a1＋45d＝70，解得d＝eq\f(2,3).故选D.7．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为()A．12 B．18C．22 D．44答案C解析∵数列{an}是等差数列，且S8－S3＝10，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝10，∴5a6＝10，a6＝2，∴S11＝eq\f(a1＋a11,2)×11＝11a6＝22.8．(2016·山东泰安一中模拟)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝()A．9 B．10C．11 D．12答案B9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足eq\f(S3,3)－eq\f(S2,2)＝1，则数列{an}的公差是()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．3答案C解析因为Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)，所以eq\f(Sn,n)＝eq\f(a1＋an,2).由eq\f(S3,3)－eq\f(S2,2)＝1，得eq\f(a3,2)－eq\f(a2,2)＝1，即a3－a2＝2，所以数列{an}的公差为2.10．在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，已知eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,3)，则eq\f(S4,S5)等于()A.eq\f(8,15) B.eq\f(40,121)C.eq\f(16,25) D.eq\f(5,7)答案A解析由题意可得eq\f(S4,S5)＝eq\f(\f(4（a1＋a4）,2),\f(5（a1＋a5）,2))＝eq\f(2（a2＋a3）,5a3)＝eq\f(8,15).11．已知在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S5>S6 B．S5<S6C．S6＝0 D．S5＝S6答案D解析∵d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0，且a3＋a9＝2a6＝0.∴a6＝0，a5>0，a7<0.∴S5＝S6.故选D.12．(2014·福建理)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8 B．10C．12 D．14答案C解析因为S3＝3a1＋eq\f(3×（3－1）,2)d＝3×2＋eq\f(3×2,2)d＝12，所以d＝2.所以a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.故选C.13．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A．13 B．12C．11 D．10答案A解析因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，所以a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180.又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60.所以Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n·60,2)＝390，即n＝13.14．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝eq\f(1,2)，S2＝a3，则a2＝________；Sn＝________．答案1eq\f(n（n＋1）,4)解析设公差为d，则由S2＝a3，得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝eq\f(1,2)，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(n（n＋1）,4).15．已知在数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋an)))是等差数列，则a11等于________．答案0解析记bn＝eq\f(1,1＋an)，则b3＝eq\f(1,3)，b5＝eq\f(1,2)，数列{bn}的公差为eq\f(1,2)×(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＝eq\f(1,12)，b1＝eq\f(1,6)，∴bn＝eq\f(n＋1,12)，即eq\f(1,1＋an)＝eq\f(n＋1,12).∴an＝eq\f(11－n,n＋1)，故a11＝0.16．已知An＝{x|2n<x<2n＋1且x＝7m＋1，m，n∈N}，则A6中各元素的和为________．答案891解析∵A6＝{x|26<x<27且x＝7m＋1，m∈N}，∴A6的元素x＝各数成一首项为71，公差为7的等差数列．∴71＋78＋…＋127＝71×9＋eq\f(9×8,2)×7＝891.17．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．答案(1)S6＝－3，a1＝7(2)d≤－2eq\r(2)或d≥2eq\r(2)解析(1)由题意知S6＝－eq\f(15,S5)＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝5，,a1＋5d＝－8.))解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0.即2a12＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2eq\r(2)或d≥2eq\r(2).18．已知数列{an}中，a1＝eq\f(3,5)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．答案(1)略(2)最大项a4＝3，最小项a3＝－1解析(1)证明因为an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，bn＝eq\f(1,an－1).所以当n≥2时，bn－bn－1＝eq\f(1,an－1)－eq\f(1,an－1－1)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,an－1)))－1)－eq\f(1,an－1－1)＝eq\f(an－1,an－1－1)－eq\f(1,an－1－1)＝1.又b1＝eq\f(1,a1－1)＝－eq\f(5,2)，所以，数列{bn}是以－eq\f(5,2)为首项，以1为公差的等差数列．(2)解由(1)知，bn＝n－eq\f(7,2)，则an＝1＋eq\f(1,bn)＝1＋eq\f(2,2n－7).设函数f(x)＝1＋eq\f(2,2x－7)，易知f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))上为减函数．所以，当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.1．(2016·保定模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于()A．72 B．54C．36 D．18答案A2．(2016·山东师大附中)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()A．138 B．135C．95 D．23答案C解析由等差数列性质得2a3＝4，2a4＝10.即a3＝2，a4＝5，公差d＝3，a1＝2－6＝－4∴S10＝－4×10＋eq\f(10×9,2)×3＝95，故选C.3．(2016·北京海淀区期末)在等差数列{an}中，若a1＋a7＋a8＋a12＝12，则此数列的前13项之和为()A．39 B．52C．78 D．104答案A解析设数列的公差为d，则由a1＋a7＋a8＋a12＝12可得4a1＋24d＝12，即a1＋6d＝3，即a7＝3，故前13项之和为eq\f(13（a1＋a13）,2)＝13a7＝39.4．(2016·东北师大附中)在等差数列{an}中，a2＝5，a7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为()A．－eq\f(2,5) B．－eq\f(4,5)C．－eq\f(1,5) D．－eq\f(3,5)答案C解析{an}的公差d＝eq\f(3－5,7－2)＝－eq\f(2,5)∴新等差数列的公差d′＝(－eq\f(2,5))×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,5)，故选C.5．(2016·西安五校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S4<S5 B．S4＝S5C．S6<S5 D．S6>S5答案B解析∵a2＝－6，a8＝6，∴a5＝0∴S4＝S5，故选B.6．(2016·衡水调研卷)在等差数列{an}中，a2＋a4＝p，a3＋a5＝q，则S6＝()A．p＋q B.eq\f(3,2)(p＋q)C．2(p＋q) D.eq\f(5,2)(p＋q)答案B解析(a2＋a4)＋(a3＋a5)＝2(a3＋a4)＝2(a1＋a6)＝p＋q，∴a1＋a6＝eq\f(1,2)(p＋q)．∴S6＝eq\f(6（a1＋a6）,2)＝eq\f(3,2)(p＋q)．7．(2016·湖北八校)根据科学测算，运载神舟飞船的长征系列火箭，在点火后一分钟上升的高度为1km，以后每分钟上升的高度增加2km，在达到离地面240kmA．20分钟 B．16分钟C．14分钟 D．10分钟答案B解析本题主要考查等差数列的通项公式．设火箭每分钟上升的距离组成一个数列，显然a1＝1，而an－an－1＝2.所以可得an＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝n2＝240.所以从点火到船箭分离大概需要的时间是16分钟．故选B.8．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是()A．24 B．48C．60 D．72答案B解析设等差数列{an}的公差为d，由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5＝a1＋4d＝8，,S3＝3a1＋3d＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2.))则S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48，选B.9．(2015·陕西)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．答案5解析由题意知，1010为数列首项a1与2015的等差中项，故eq\f(a1＋2015,2)＝1010，解得a1＝5.10．(2016·保定模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________．答案－72解析设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋11d＝－8,9a1＋\f(9×（9－1）,2)d＝－9.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3,d＝－