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题组层级快练(三十)1.(2015·新课标全国Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5 B.7C.9 D.11答案A解析∵{an}为等差数列,∴a1+a5=2a3,得3a3=3,则a3=1,∴S5=eq\f(5(a1+a5),2)=5a3=5,故选A项.2.在等差数列{an}中,若a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析∵a1+a5=10=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.3.(2016·衡水调研卷)在等差数列{an}中,若S10=4S5,则eq\f(a1,d)等于()A.eq\f(1,2) B.2C.eq\f(1,4) D.4答案A4.(2014·重庆文)在等差数列{an}中,若a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5 B.8C.10 D.14答案B解析由等差数列的性质,得a1+a7=a3+a5.因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8,选B.5.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和.若S10=S11,则a1=()A.18 B.20C.22 D.24答案B解析由S10=S11,得a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.6.(2016·武汉市二中)已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d为()A.-eq\f(2,3) B.-eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)答案D解析a10=a1+9d=10,S10=10a1+eq\f(10×9,2)d=10a1+45d=70,解得d=eq\f(2,3).故选D.7.若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8-S3=10,则S11的值为()A.12 B.18C.22 D.44答案C解析∵数列{an}是等差数列,且S8-S3=10,∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=10,∴5a6=10,a6=2,∴S11=eq\f(a1+a11,2)×11=11a6=22.8.(2016·山东泰安一中模拟)在等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=()A.9 B.10C.11 D.12答案B9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足eq\f(S3,3)-eq\f(S2,2)=1,则数列{an}的公差是()A.eq\f(1,2) B.1C.2 D.3答案C解析因为Sn=eq\f(n(a1+an),2),所以eq\f(Sn,n)=eq\f(a1+an,2).由eq\f(S3,3)-eq\f(S2,2)=1,得eq\f(a3,2)-eq\f(a2,2)=1,即a3-a2=2,所以数列{an}的公差为2.10.在等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,已知eq\f(a2,a3)=eq\f(1,3),则eq\f(S4,S5)等于()A.eq\f(8,15) B.eq\f(40,121)C.eq\f(16,25) D.eq\f(5,7)答案A解析由题意可得eq\f(S4,S5)=eq\f(\f(4(a1+a4),2),\f(5(a1+a5),2))=eq\f(2(a2+a3),5a3)=eq\f(8,15).11.已知在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,Sn是数列{an}的前n项和,则()A.S5>S6 B.S5<S6C.S6=0 D.S5=S6答案D解析∵d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0,且a3+a9=2a6=0.∴a6=0,a5>0,a7<0.∴S5=S6.故选D.12.(2014·福建理)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8 B.10C.12 D.14答案C解析因为S3=3a1+eq\f(3×(3-1),2)d=3×2+eq\f(3×2,2)d=12,所以d=2.所以a6=a1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C.13.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为()A.13 B.12C.11 D.10答案A解析因为a1+a2+a3=34,an-2+an-1+an=146,所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=34+146=180.又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2,所以3(a1+an)=180,从而a1+an=60.所以Sn=eq\f(n(a1+an),2)=eq\f(n·60,2)=390,即n=13.14.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=eq\f(1,2),S2=a3,则a2=________;Sn=________.答案1eq\f(n(n+1),4)解析设公差为d,则由S2=a3,得2a1+d=a1+2d,所以d=a1=eq\f(1,2),故a2=a1+d=1,Sn=na1+eq\f(n(n-1),2)d=eq\f(n(n+1),4).15.已知在数列{an}中,a3=2,a5=1,若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,1+an)))是等差数列,则a11等于________.答案0解析记bn=eq\f(1,1+an),则b3=eq\f(1,3),b5=eq\f(1,2),数列{bn}的公差为eq\f(1,2)×(eq\f(1,2)-eq\f(1,3))=eq\f(1,12),b1=eq\f(1,6),∴bn=eq\f(n+1,12),即eq\f(1,1+an)=eq\f(n+1,12).∴an=eq\f(11-n,n+1),故a11=0.16.已知An={x|2n<x<2n+1且x=7m+1,m,n∈N},则A6中各元素的和为________.答案891解析∵A6={x|26<x<27且x=7m+1,m∈N},∴A6的元素x=各数成一首项为71,公差为7的等差数列.∴71+78+…+127=71×9+eq\f(9×8,2)×7=891.17.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1;(2)求d的取值范围.答案(1)S6=-3,a1=7(2)d≤-2eq\r(2)或d≥2eq\r(2)解析(1)由题意知S6=-eq\f(15,S5)=-3,a6=S6-S5=-8,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a1+10d=5,,a1+5d=-8.))解得a1=7,所以S6=-3,a1=7.(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0.即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8.故d的取值范围为d≤-2eq\r(2)或d≥2eq\r(2).18.已知数列{an}中,a1=eq\f(3,5),an=2-eq\f(1,an-1)(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=eq\f(1,an-1)(n∈N*).(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.答案(1)略(2)最大项a4=3,最小项a3=-1解析(1)证明因为an=2-eq\f(1,an-1)(n≥2,n∈N*),bn=eq\f(1,an-1).所以当n≥2时,bn-bn-1=eq\f(1,an-1)-eq\f(1,an-1-1)=eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2-\f(1,an-1)))-1)-eq\f(1,an-1-1)=eq\f(an-1,an-1-1)-eq\f(1,an-1-1)=1.又b1=eq\f(1,a1-1)=-eq\f(5,2),所以,数列{bn}是以-eq\f(5,2)为首项,以1为公差的等差数列.(2)解由(1)知,bn=n-eq\f(7,2),则an=1+eq\f(1,bn)=1+eq\f(2,2n-7).设函数f(x)=1+eq\f(2,2x-7),易知f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(7,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2),+∞))上为减函数.所以,当n=3时,an取得最小值-1;当n=4时,an取得最大值3.1.(2016·保定模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于()A.72 B.54C.36 D.18答案A2.(2016·山东师大附中)已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135C.95 D.23答案C解析由等差数列性质得2a3=4,2a4=10.即a3=2,a4=5,公差d=3,a1=2-6=-4∴S10=-4×10+eq\f(10×9,2)×3=95,故选C.3.(2016·北京海淀区期末)在等差数列{an}中,若a1+a7+a8+a12=12,则此数列的前13项之和为()A.39 B.52C.78 D.104答案A解析设数列的公差为d,则由a1+a7+a8+a12=12可得4a1+24d=12,即a1+6d=3,即a7=3,故前13项之和为eq\f(13(a1+a13),2)=13a7=39.4.(2016·东北师大附中)在等差数列{an}中,a2=5,a7=3,在该数列中的任何两项之间插入一个数,使之仍为等差数列,则这个新等差数列的公差为()A.-eq\f(2,5) B.-eq\f(4,5)C.-eq\f(1,5) D.-eq\f(3,5)答案C解析{an}的公差d=eq\f(3-5,7-2)=-eq\f(2,5)∴新等差数列的公差d′=(-eq\f(2,5))×eq\f(1,2)=-eq\f(1,5),故选C.5.(2016·西安五校联考)设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则()A.S4<S5 B.S4=S5C.S6<S5 D.S6>S5答案B解析∵a2=-6,a8=6,∴a5=0∴S4=S5,故选B.6.(2016·衡水调研卷)在等差数列{an}中,a2+a4=p,a3+a5=q,则S6=()A.p+q B.eq\f(3,2)(p+q)C.2(p+q) D.eq\f(5,2)(p+q)答案B解析(a2+a4)+(a3+a5)=2(a3+a4)=2(a1+a6)=p+q,∴a1+a6=eq\f(1,2)(p+q).∴S6=eq\f(6(a1+a6),2)=eq\f(3,2)(p+q).7.(2016·湖北八校)根据科学测算,运载神舟飞船的长征系列火箭,在点火后一分钟上升的高度为1km,以后每分钟上升的高度增加2km,在达到离地面240kmA.20分钟 B.16分钟C.14分钟 D.10分钟答案B解析本题主要考查等差数列的通项公式.设火箭每分钟上升的距离组成一个数列,显然a1=1,而an-an-1=2.所以可得an=1+2(n-1)=2n-1.所以Sn=eq\f(n(a1+an),2)=n2=240.所以从点火到船箭分离大概需要的时间是16分钟.故选B.8.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5=8,S3=6,则S10-S7的值是()A.24 B.48C.60 D.72答案B解析设等差数列{an}的公差为d,由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5=a1+4d=8,,S3=3a1+3d=6,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1=0,,d=2.))则S10-S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48,选B.9.(2015·陕西)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________.答案5解析由题意知,1010为数列首项a1与2015的等差中项,故eq\f(a1+2015,2)=1010,解得a1=5.10.(2016·保定模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=________.答案-72解析设等差数列{an}首项为a1,公差为d,则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1+11d=-8,9a1+\f(9×(9-1),2)d=-9.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1=3,d=-

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