沪教版九年级上册数学专题训练九年级数学期中模拟卷(一)(原卷版+解析)

2021-2022学年第一学期沪教版九年级期中模拟卷一（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共18分)1．如图，在中，，，下列结论正确的是（）A． B． C． D．2．已知、、都是非零向量，如果，，那么下列说法中，错误的是（）A． B． C． D．与方向相反3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．124．设正的边长为1，为任意的实数，则的最小值为（）A． B． C． D．5．如图，在中，，为边的中点，点是延长线上一点，把沿翻折，点落在处，与交于点，连接．当时，的长为（）A． B． C． D．6．因为，，所以；因为，，所以，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（）．A． B． C． D．二、填空题(共36分)7．已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据中的中位数是________．8．已知点在抛物线上，那么________（填“>”，“=”或“<”）．9．若等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个三角形的周长是_____．10．一张比例尺为200：1的设计图纸上，有一个零件的底面积是400，则这个零件的实际底面积是________．11．如图在中，为上的一点，，，交于，则=________．12．点G是△ABC的重心，GD∥AB，交BC于点D，向量，向量，那么向量用向量、表示为____．13．已知抛物线，它的图像在对称轴__________（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．15．函数的图象与轴的公共点坐标是________．16．如图，在中，，，，垂足是，，，，把四边形沿直线翻折，那么重叠部分的面积为___________．17．如图，在中，是边上的中线，，．将沿直线翻折，点落在平面上的处，联结交于点，那么的值为______．18．如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC=_____．=三、解答题(共66分)19．(本题6分)计算：．20．(本题8分)如图，已知点E在行四边形ABCD的边CD上，设，，．图中的线段都成有向线段．（1）用、、的式子表示：＝，＝．（2）在图中求作（不写作法，保留作图痕迹）．21．(本题10分)如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．（1）请完成如下操作：①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径＝；（3）求∠ACO的正弦值．22．(本题10分)已知如图，，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F.（1）如果，，，求DE的长.（2）如果，，，求BE的长.23．(本题8分)已知：如图，在中，，垂足为点，，点为边上一点，且，联结并延长，交边于点．（1）求证：；（2）过点作的平行线交的延长线于点，联结．如果，求证：四边形是矩形．24．(本题12分)已知抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．25．(本题12分)已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．2021-2022学年第一学期沪教版九年级期中模拟卷一（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共18分)1．如图，在中，，，下列结论正确的是（）A． B． C． D．答案:D分析：根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．【详解】，，

故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．2．已知、、都是非零向量，如果，，那么下列说法中，错误的是（）A． B． C． D．与方向相反答案:C分析：根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．【详解】解：A、因为，，所以，故本选项说法正确；B、因为，，所以，故选项说法正确；C、因为，，所以，故本选项说法错误；D、因为，，所以与方向相反，故本选项说法正确；故选C．【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A、B、D三项结论正确．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．12答案:C分析：根据，可得，由∽，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案．【详解】∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵DF⊥AB，∴∠ADF＝90°，∴∠BAC+∠F＝90°，∴∠B＝∠F，又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，∴△ECF∽△ACB，∴＝tan∠EAC＝，∴，又∵S△ECF＝1，∴S△ABC＝9，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．4．设正的边长为1，为任意的实数，则的最小值为（）A． B． C． D．答案:B分析：由题意，可根据向量运算法则先求出的最小值，然后再求的最小值．【详解】解：∵正△ABC的边长为1，t为任意的实数，∴＝1＋t2＋2t×1×1×cos60°＝t2＋t＋1，当t＝−时，t2＋t＋1取到最小值，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查两向量和与差的模的最值，二次函数最值的求法，有一定的综合性，考查了转化化归的数学思想，有一定的技巧．5．如图，在中，，为边的中点，点是延长线上一点，把沿翻折，点落在处，与交于点，连接．当时，的长为（）A． B． C． D．答案:D分析：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于N，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．【详解】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于N，过点D作DM⊥EC于M．∵∠FAE=∠CAB=90°，，∴EF：AF：AE=5：4：3，∵C′H∥AF，∴△EAF∽△EHC′，∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH=EC=EH=2k，由翻折可知，∠AEN=∠TEN，∵NA⊥EA，NT⊥ET，∴∠NAE=∠NTE，∵NE=NE，∴△NEA≌△NET（AAS），∴AN=NT，EA=ET，设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m，在Rt△FNT中，∵FN2=NT2+FT2，∴（4m-x）2=x2+（2m）2，解得x=m，∵AC=AB=6，∠CAB=90°，∴BC=AC=12，∴CD=BD=6，∵DM⊥CM，∠DCM=45°，∴CM=DM=3，∵AN∥DM，∴，∴，∴EM=6，∴EC=9=5k，∴，∴，∴，∵DC=DC′=DB，∴∠CC′B=90°，∴，故选：D．【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．6．因为，，所以；因为，，所以，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（）．A． B． C． D．答案:C【详解】本题考查的阅读理解能力．由上述公式可得sin(180°+60°)=-sin60°=．故选择C．二、填空题(共36分)7．已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据中的中位数是________．答案:21分析：求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列：12、13、19、23、24、27，处于中间位置的两个数是19，23，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（19+23）÷2=21．故答案为：21．【点睛】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．8．已知点在抛物线上，那么________（填“>”，“=”或“<”）．答案:＞分析：分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【详解】解：当x=2时，y1=-x2+1=-3；当x=5时，y2=-x2+1=-24；∵-3＞-24，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．9．若等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个三角形的周长是_____．答案:14或16．分析：要讨论两边长哪个为腰，哪个为底边，然后判断是否满足构成三角形的条件，最后从得出周长．【详解】解：①若4为腰，满足构成三角形的条件，周长为4+4+6＝14；②若6为腰，满足构成三角形的条件，则周长为6+6+4＝16．故答案为14或16．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意分情况讨论.10．一张比例尺为200：1的设计图纸上，有一个零件的底面积是400，则这个零件的实际底面积是________．答案:1分析：由相似图形的面积比等于相似比的平方，得出面积比，即可得出零件的实际底面积．【详解】因为比例尺为200：1，所以面积比为40000：1，又因为图纸上的底面积为400，则实际底面积为：．故答案为：1．【点睛】本题主要考查相似图形面积比等于相似比的平方，熟记相似图形的性质是解题关键．11．如图在中，为上的一点，，，交于，则=________．答案:．分析：过点E作EG∥AD交BC于G，然后判断出DF是△BEG的中位线，从而求出BD＝DG，再求出AE：AC，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求解．【详解】解：如图，过点E作EG∥AD交BC于G，∵，∴DF是△BEG的中位线，∴BD＝DG，∵，∴AE：AC＝1：3，∵EG∥AD，∴DG：DC＝AE：AC＝1：3，∴BD：DC＝．故答案是：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，过点E作平行线是解题的关键，也是本题的难点．12．点G是△ABC的重心，GD∥AB，交BC于点D，向量，向量，那么向量用向量、表示为____．答案:．分析：利用平面向量的线性运算法则结合图形计算即可．【详解】如图，连接AG交BC于T．∵G是△ABC的重心，∴BT＝CT，AG＝2GT，∴，∴，∵GD∥AB，∴，∴BD＝BT，∴．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的线性运算．三角形的中线是三角形三条边上的中线的交点，这是解题的关键．13．已知抛物线，它的图像在对称轴__________（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的．答案:左侧解析：分析：根据二次函数的性质解题．【详解】∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，故答案为：左侧【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于判断图象的开口方向14．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．答案:分析：根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．【详解】解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，∴A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，∴，解得，∴a+b+c2+4，故答案为．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．15．函数的图象与轴的公共点坐标是________．答案:分析：令x=0，可直接求出抛物线与y轴的交点坐标．【详解】∵抛物线与y轴交点的横坐标为0，即x=0，

∴此时x=0，y=3，

∴函数y=-x2+2x+3的图像与y轴的公共点坐标是（0，3）．故答案为.【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与y轴的交点坐标特点，解题关键是熟记二次函数的图像特征．16．如图，在中，，，，垂足是，，，，把四边形沿直线翻折，那么重叠部分的面积为___________．答案:分析：将四边形ABCD沿CE翻折得到△ECF，重叠部分就是四边形AECH．作HN⊥BF于N，根据S四边形AECH＝S△ECF−S△AHF即可解决问题．【详解】解：将四边形ABCD沿CE翻折得到△ECF，重叠部分就是四边形AECH．作HN⊥BF于N，在RT△BCE中，∵∠BEC＝90°，BC＝4，∠B＝60°，∴∠BCE＝30°，BE＝BC＝2，EC＝2，∴BE＝EF＝2，AF＝AE＝1，∵CD∥AF，∴，∴FH：HC＝AF：CD＝1：3，∵NH∥CE，∴∴，∴NH＝×2=，∴S四边形AECH＝S△ECF−S△AHF＝•2•2−•1•＝．故答案为．【点睛】本题考查翻折变换、平行四边形性质，直角三角形30度角性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．17．如图，在中，是边上的中线，，．将沿直线翻折，点落在平面上的处，联结交于点，那么的值为______．答案:分析：过A作AF⊥BC于F，过B'作B'G⊥BC于G，设AD＝m，根据翻折及∠ADC＝60°，用m的代数式表示CE、BE即可得出答案．【详解】解：过A作AF⊥BC于F，过B′作B′G⊥BC于G，如图：∵∠ADC＝60°，∴∠ADB＝120°，∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，∴∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，B′D＝BD，∵BC＝3AD，AD是BC边上的中线，∴设AD＝m，则BC＝3m，BD＝B′Dm，Rt△ADF中，DF＝AD•cos60°m，AF＝AD•sin60°m，∴BF＝BD+DF＝2m，CF＝BC﹣BF＝mRt△B′DG中，DG＝B′D•cos60°m，B′G＝B′D•sin60°m，∴FG＝DG﹣DFm，∵AF⊥BC，B′G⊥BC，∴AF∥B′G，∴，∵FE+GE＝FGm，∴FEm，∴BE＝BF+EFm，CE＝CF﹣EFm，∴，故答案为：．【点睛】本题考查翻折、特殊角的三角函数及相似三角形性质等综合知识，解题的关键是做垂线把60°角放入直角三角形．18．如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC=_____．=答案:分析：延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，易证△ABE≌△A′CE，得出AB=A′C=4；利用勾股定理求出AE的长，进而得出sin∠A′．利用互余角的三角函数的关系，得出cos∠2，在Rt△FHN和Rt△A′FN中利用cos∠2的值列出方程，即可求得结论．【详解】解：延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，∵ABCD是正方形，∴AB=BC=4，AB∥CD，∴∠1=∠A′．在△ABE和△A′CE中，．∴△ABE≌△A′CE（AAS）．∴AB=A′C=4．∵E为边BC的中点，∴BE=EC=BC=2．∴AE=．∴sin∠1=．∴sin∠A′=．∵AE⊥MN，∴∠A′FN=90°．∴∠A′+∠2=90°．∴cos∠2=sin∠A′=．∵FN=FC，FH⊥CN，∴NH=CH=CN．设NH=x，则NC=2x．∴A′N=A′C+NC=4+2x．在Rt△FHN中，，∴FN=x．在Rt△A′FN中，cos∠2=，∴．∴x=．∴FC=FN=x=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用已知条件通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题(共66分)19．(本题6分)计算：．答案:3分析：根据零指数幂，化解绝对值，分数指数幂，二次根式分母有理化等运算法则计算即可．【详解】解：原式＝，，，．【点睛】本题主要考查零指数幂，化解绝对值，分数指数幂，二次根式分母有理化等知识点，掌握以上知识点的运算法则是解题关键．20．(本题8分)如图，已知点E在行四边形ABCD的边CD上，设，，．图中的线段都成有向线段．（1）用、、的式子表示：＝，＝．（2）在图中求作（不写作法，保留作图痕迹）．答案:（1），；（2）见解析分析：（1）利用三角形法则求解即可．（2）在射线CE上截取EF=BA,由，推出即为所求．【详解】解：（1），，故答案为：，．（2）在射线CE上截取EF=BA,，即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则解决问题，属于中考常考题型．21．(本题10分)如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．（1）请完成如下操作：①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径＝；（3）求∠ACO的正弦值．答案:（1）答案见解析；（2）①，，②；（3）．分析：（1）根据点的坐标表示，C的坐标即可得到，首先作出弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，即可确定点D的坐标；（2）①根据（1）中的平面直角坐标系直接填空；②在直角中，利用勾股定理即可求解；（3）连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M，利用的面积等积转换求得AM的长度，然后在中利用正弦函数的定义求得的正弦值．【详解】解：（1）作弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，在直角坐标系中，点D的在该坐标系中的位置如图所示：（2）解：①根据图示知，C（6，2），D（2，0），故答案为：（6，2），（2，0）；②解：在直角△AOD中，根据勾股定理知⊙D的半径AD＝，故答案为：；（3）解：连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M．则OA•CH＝OC•AM，即×4×6＝וAM，解得，AM＝；在Rt△AMC中，sin∠ACO＝．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，三角函数；利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．22．(本题10分)已知如图，，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F.（1）如果，，，求DE的长.（2）如果，，，求BE的长.答案:（1）DE的长为9；（2）BE的长为11；分析：（1）由果，，可得AC=14，然后根据平行线等分线段定理得到，然后将已知条件代入即可求解；（2）过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H，说明四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得CH=BG=AD=9；进一步说明FH=CF-DH=5，然后再按照平行线等分线段定理得到，最后代入已知条件求解即可．【详解】（1）∵，，∴AC=AB+BC=14∵∴∴(2)过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H.∵∴四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，∴CH=BG=AD=9∴FH=CF-DH=5∵∴∴∴BE=BG+GE=9+2=11.【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.23．(本题8分)已知：如图，在中，，垂足为点，，点为边上一点，且，联结并延长，交边于点．（1）求证：；（2）过点作的平行线交的延长线于点，联结．如果，求证：四边形是矩形．答案:（1）见解析；（2）见解析分析：（1）证明△ACD≌△BED，得到∠CAD=∠EBD，∠ACD=∠BED，利用余角的性质得到∠BFC=90°，即可证明；（2）证明△AEG∽△DCA得到，再结合，DE=DC，可推出AG=DC，结合AD⊥BC，从而证明四边形ADCG为矩形．【详解】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠BDE=90°，在△ACD与△BED中，，∴△ACD≌△BED（SAS），∴∠CAD=∠EBD，∠ACD=∠BED，∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠EBD+∠ACD=90°，在△BCF中，∠BFC=180°-（∠EBD+∠ACD）=90°，即BF⊥AC；（2）∵AG∥BC，∴∠AGE=∠EBD，由（1）可知：∠EBD=∠CAD，∴∠AGE=∠CAD，又∵∠AEG=∠BED=∠ACD，∴△AEG∽△DCA，∴，∴，∵，又DE=DC，∴，∴AG=DC，又AG∥CD，∴四边形ADCG是平行四边形，∵AD⊥BC，∴四边形ADCG为矩形．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，解题的关键是证明相似三角形，进行等量代换得到线段的关系．24．(本题12分)已知抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．答案:（1）；（2）①1；②点C的坐标是分析：(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.【详解】解：（1）将两点分别代入，得解得．所以抛物线的解析式是．（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，作于H．∵是等腰直角三角形，∴和也是等腰直角三角形