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文档简介
高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称.2.请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内.3.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写,字体工整、笔迹清楚.4.请按题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的〖答案〗无效,在草稿纸、试题卷上答题无效.5.保持答题卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷(选择题,共58分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数,则()A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗,所以.故选:C.2.为了了解全国观众对2024年春晚语言类节目的满意度,某网站对2024年春晚的3000名观众,按性别比例分层随机抽样的方法进行抽样调查,已知这3000名观众中男、女人数之比为,若样本容量为300,则不同的抽样结果共有()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在这3000名观众中,男性人数为:人;女性人数为:人.因为要按性别比例分层随机抽样,且样本容量为300,所以抽取的样本中,男性观众的人数为:,女性观众人数为:.所以不同的抽取结果共有:.故选:B3.已知函数,则函数的图象在点处的切线方程为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,则,所以函数的图象在点处的切线方程为,即.故选:D.4.现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色,其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对这三个部分着色,只需要三步完成,第一步给区域①着色有2种方法,第二步给区域②着色有2种方法,第三步给区域③着色有2种方法,根据分步计数乘法原理,对这三部分着色共有种不同方法,若要对这三个部分着色且任意有公共边的两块着不同颜色,则按如下三步完成,第一步给区域①着色有2种方法,第二步给区域②着色仅有1种方法,第三步给区域③着色仅有1种方法,根据分步计数乘法原理,对这三部分着色共有种不同方法,设事件“任意有公共边的两块着不同颜色”,则由古典概型概率公式得,故选:B.5.的展开式中,的系数为()A.20 B.15 C.6 D.3〖答案〗B〖解析〗因为,其中展开式的通项为(且),令,解得,所以,即的展开式中的系数为.
故选:B6.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得,当在区间上单调递增时,即在上恒成立,所以在上恒成立,即在上恒成立,对应函数在上单调递减,则,故.故选:A7.现将《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》、《诗经》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人,每人至少分得1本,已知《论语》分发给了甲,则不同的分发方式种数是()A.50 B.80 C.120 D.150〖答案〗A〖解析〗5本书分给甲乙丙3人,每人至少本,则人书籍本数分为,,;,,两类;第一类,,的情况:若甲分本,已分得书籍,则另两人一人本,人本,共有种,若甲分本,即再取本,则剩余2本书分给乙丙,一人一本,则共有种,故第一类情况共有+种;第二类,,情况:若甲分本,已分得书籍,另两人各本,共有种,若甲分本,另两人一人本,人本,共有种,故第二类情况共有+种;所以不同的分发方式种数共.故〖答案〗为:.8.已知是函数导数,且,则不等式的解集为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗不等式可化,设,则原不等式可化为,对函数求导,得,因为,所以,所以函数是实数集上的增函数,所以.故不等式的解集为.故选:B.二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.甲、乙、丙等5人排成一列,下列说法正确的有()A.若甲和乙相邻,共有48种排法 B.若甲不排第一个共有96种排法C.若甲与丙不相邻,共有36种排法 D.若甲在乙的前面,共有60种排法〖答案〗ABD〖解析〗选项A:若甲和乙相邻,将甲和乙捆绑,形成一个大元素,与其余四个元素排序共有种排法,A对;选项B:若甲不排第一个,则甲有4种排法,其余全排,共有种,B对;选项C,若甲与丙不相邻,将除甲和丙以外的人全排,然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空,所以,共有种排法,C错;选项D,若甲在乙的前面,只需在5个位置中先选两个位置排甲、乙,且甲排在乙的前面,然后将其余3个人全排,共有种排法,D对.故选:ABD.10.小明在超市购买大米,共有包装相同的10袋大米,其中一级大米有4袋,二级大米有6袋,从中不放回地依次抽取2袋,用A表示事件“第一次取到一级大米”,用B表示事件“第二次取到二级大米”,则()A. B.C. D.事件相互独立〖答案〗AC〖解析〗对于A:,故A正确;对于B:,故B错误;对于C:,故C正确;对于D:因为,,所以事件不相互独立,故D错误.故选:AC.11.定义:在区间上,若函数是减函数,且是增函数,则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得()A.在上是“弱减函数”B.在上是“弱减函数”C.若在上是“弱减函数”,则D.若在上是“弱减函数”,则〖答案〗BCD〖解析〗对于A,在上单调递减,不单调,故A错误;对于B,,在上,函数单调递减,,,∴在单调递增,故B正确;对于C,若在单调递减,由,得,∴,在单调递增,故C正确;对于D,在上单调递减,在上恒成立,令,,令,,∴在上单调递减,,∴,∴在上单调递减,,∴,在上单调递增,在上恒成立,∴,令,,∴在上单调递增,,∴,综上:,故D正确.故选:BCD.第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.除以7余数是______.〖答案〗1〖解析〗,所以除以7的余数为1.故〖答案〗为:1.13.先后两次掷一枚质地均匀的骰子,记事件“第一次掷出的点数小于3”,事件“两次点数之和大于4”,则______.〖答案〗〖解析〗用表示随机试验“先后两次掷一枚质地均匀的骰子”的结果,表示第一次掷出的点数,表示第二次掷出的点数,则,随机试验“先后两次掷一枚质地均匀的骰子”的样本空间中共有个样本点,事件所包含的样本点的个数为个,事件所包含的样本点的有,共7个,由古典概型概率公式可得,,由条件概率公式可得,故〖答案〗为:.14.已知对任意,且当时,都有,则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗由,且,所以.设,,则原问题转化为在上单调递减.所以在上恒成立,即,恒成立.因为(当且仅当即时取“”)所以.故〖答案〗为:四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知展开式中,第三项的二项式系数与第四项的二项式系数比为.(1)求的值;(2)求展开式中有理项的系数之和.(用数字作答)解:(1)依题意,展开式的通项公式为:,显然第三项的二项式系数为,第四项的二项式系数系数为,因此,解得,所以的值为6.(2)由(1)知,当时,对应的项是有理项,当时,展开式中对应的有理项为;当时,展开式中对应的有理项为当时,展开式中对应的有理项为所以展开式中有理项的系数之和为16.已知函数在时取得极值.(1)求实数值;(2)若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.解:(1)易知,依题意,解得,此时,当或时,;当时,,即函数在上单调递增,在上单调递减,因此函数在时取得极值,所以;(2)由(1)得函数在上单调递减,在上单调递增;所以,由题意可得,解得,所以的取值范围为.17.第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办,其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段,只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和,乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和,丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和,其中.(1)甲、乙、丙三人中,哪个人进入决赛的可能性更大?(2)在的条件下,设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为,求的分布列.解:(1)甲进入决赛的概率为,乙进入决赛的概率为,丙进入决赛的概率为,因为,所以,所以乙进入决赛的概率最大,所以乙进入决赛的可能性最大.(2)当时,丙进入决赛的概率为,所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为,根据题意,得到随机变量的可能取值为0,1,2,3,可得;,,,所以随机变量的分布列为:012318.已知函数在定义域上有两个极值点.(1)求实数的取值范围;(2)若,求的值.解:(1)由已知,因为函数在定义域上有两个极值点,所以,解得,所以实数的取值范围为;(2)由(1)得,,即两个极值点为方程的两根,则,所以代入得,其中,则,得,设,则,当时,,即在上单调递增,又,所以.19.设函数.(1)当时,求函数在点处的切线方程;(2)当时,设,且轴,求两点间的最短距离;(3)若时,函数的图象恒在的图象上方,求实数的取值范围.解:(1)当时,,则,,则,所以函数在点处的
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