专题03 特殊平行四边形中的三种几何动点问题（原卷版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题03特殊平行四边形中的三种几何动点问题类型一、面积问题例．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点，同时发，当点运动到点时，，运动停止，设运动时间为．(1)直接写出的长（cm）；(2)当四边形为平行四边形时，直接写出四边形的周长（cm）；(3)在点、点的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，在四边形中，，点P自点A沿折线以的速度运动，点Q自点C沿向以的速度运动．点P，Q同时出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动．设运动时间为．(1)当P在边上，点Q在边上时，如图1．①用含t的代数式表示：___________，___________；②若四边形是平行四边形，求t的值？(2)求的面积S与运动时间t之间的数量关系式，并写出t的取值范围．【变式训练2】如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=18，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD边做往返运动，在点P出发的同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC边向终点(运动，当点Q到达点C时，两点间时停止运动，连接PQ，设运动时间为t(秒)．(1)当t=4时，PD的长度为(2)当四边形ABQP为矩形时，t的值为(3)设四边形ABQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(4)当PQ所在的直线将矩形ABCD分成的两部分的面积比为1∶2时，直接写出t的值．【变式训练3】如图，在中，，平分，过点作的平行线交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)如果，的长单位：米）是的两根，求的长以及菱形的面积；(3)在（2）的条件下，若动点从出发，，沿以米秒的速度匀速直线运动到点C，动点从出发，沿以米秒的速度匀速直线运动到点，当运动到点时，运动停止．若、同时出发，问出发几秒钟后，的面积为米2类型二、几何图形存在性问题例1．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点A匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒．过点作于点，连接DE，EF．(1)求的长；(2)求证：；(3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由．例2．如图，已知正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，若、两点同时出发运动时间为．(1)连接、、，求当为何值时，的面积为？(2)当点P在上运动时，是否存在这样的t使得是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．例3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts．(1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；(3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？(4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．例4．如图，在菱形中，对角线与交于点，且，，现有两动点，分别从，同时出发，点沿线段向终点运动，点沿折线向终点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为（秒）．(1)填空：

；菱形的面积

；菱形的高

．(2)若点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位（其中），当时在平面内存在点使得以，，，为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的的值．类型三、直线位置关系问题例1．如图，在中，，，，点D是边的中点，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿向终点C运动，过点P作交折线于点Q（点Q不与点D重合），以、为邻边构造平行四边形，设点P的运动时间为t秒．(1)直接写出的长．(2)当点Q落在边上时，用含t的代数式表示的长．(3)当平行四边形为轴对称图形时求t的值．(4)连接，当与的某条边平行时，直接写出t的值．例2．如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为．

(1)分别求和的长度；(2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由；(3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离．课后训练1．如图，在四边形中，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，，分别从点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒．

(1)为何值时，四边形为矩形？(2)为何值时，四边形为平行四边形？2．如图，在中，，，点以每秒的速度由点向点运动不与点重合，过点作直线，的外角平分线于点，的平分线于点设运动时间为秒．发现：(1)在点的运动过程中，与的关系是______，请写出理由．(2)当时，______．探究：当______时，四边形是矩形，并证明你的结论．拓展：若点在运动过程中，能使四边形是正方形，试写出线段的长度．直接写出结论即可3．已知正方形中，，．动点以每秒2个单位速度从点出发沿线段方向运动，动点同时以每秒8个单位速度从点出发沿正方形的边方向顺时针作折线运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为．(1)当运动时间为秒时，点P与点Q相遇；(2)当时，求线段的长度；(3)连接，当和全等时，求的值．4．如图，在中，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒．(1)的长为______．(2)用含t的代数式表示线段的长．(3)连接，①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值．5．如图，矩形中，，．一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，．(1)求证：；(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．(3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．6．如图，在长方形中，，，点是边上的一点，、分别长、，满足，动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点．设运动时间为．(1)______，______；(2)为何值时，把四边形的周长平分？(3)另有一点从点出发，按照的路径运动，且速度为，若、两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点