专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题例1．如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作点E关于的对称点为，连接交于点P，可得，，根据勾股定理求出，可得周长，即可求解．【详解】解：作点E关于的对称点为，连接交于点P，如图所示，

∵E关于的对称点为，∴，，∵正方形的边长为2，点为边的中点，∴，，∴，∴，∵周长，又∵，∴周长，∴周长最小值为，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质．例2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（

）A．0 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度．【详解】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵四边形是矩形，∴，，∠QCE＝90°，∵，∴,∵点F点关于BC的对称点G，∴∴∴四边形是矩形，∴GH＝DF＝6，∠H＝90°,∵点E是CD中点，∴CE=2，∴EH＝2+4＝6，∴∠GEH＝45°，∴∠CEQ＝45°，设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ＝EC，∴6﹣x＝2，解得x＝4．故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．例3．如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．【答案】【分析】①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，证明四边形是矩形可得，，，再利用勾股定理进行计算即可；②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可．【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，∵四边形是矩形，∴，，∴，∵点O是的中点，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，过点P作于点P，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴；②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，的最小值为的长度，延长交于点G，∵，点O是的中点，∴，∴，，∴，，∴，∴的最小值为：，故答案为：；．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形的周长为24，为对角线上的一个动点，是的中点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P'D=P'B，∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.∵正方形的周长为24，∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=6，CE=CD=3，∴.故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（）A． B． C． D．2【答案】B【详解】解：设△PBC中BC边上的高是h．∵S△PBC＝S矩形ABCD．∴BC•h＝AB•AD，∴h＝AB＝1，∴动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．在Rt△BCE中，∵BC＝3，BE＝BA＝2，∴CE＝，即PB＋PC的最小值为．故选：B．【变式训练3】如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可．【详解】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，∴PN=PE，则PM-PN=PM-PE，∴当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME的长，在正方形ABCD中，AB=4，∴AC=，∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称，∴点E是OC中点，∴CE=AC=，∵BC=4，BM=3，∴CM=1=BC，∵∠BCQ=45°，∴△MCQ为等腰直角三角形，∴CQ==，∴EQ=，∴CM=EM=1，即PM-PN的最大值为1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【变式训练4】如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为______．【答案】13【分析】连接、，由四边形为矩形，得，由正方形的对称性得，即知，故当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，由，，可得，从而的最小值为13．【详解】解：连接、，如图：，，，四边形为矩形，，四边形是正方形，由正方形的对称性可得，，，当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，如图：，，，，的最小值为13，故答案为：13．【点睛】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是把求的最小值问题转化成求的长．类型二、翻折型最值问题例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△MN，连接C，则C长度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过作交的延长线于，根据为定值，可知当在上时，取得最小值，然后依据角度和三角函数，即可求得的长．【详解】解：∵是定值，∴当在上时，取得最小值，如图，过作交的延长线于，∵在边长为2的菱形中，，为的中点，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了菱形性质、折叠问题、三角函数和勾股定理等知识点，找出所在位置是解答本题的关键．例2．如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是_______．【答案】/【分析】由题意可知，继而可知点的运动轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，然后由点，，三点共线时最小即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴，∵E是CD边上的中点，∴∵△ECF沿EF所在的直线折叠得到，∴，∴当点，，三点共线时，最小，如图，在中，由勾股定理得：，∴，∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理和两点之间线段最短等，根据已知条件确定点的运动轨迹和利用两点之间线段最短求最值是解题的关键．【变式训练1】如图，在矩形中，，，在上，，是线段上的动点，将沿所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是（

）A．6 B．4 C． D．【答案】D【详解】解：如图，的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，D取得最小值．根据折叠的性质，△EBF≌△EB’F，∴E⊥F，∴E＝EB，∵∴E＝1，∵，，∴AE=3-1=2，∴DE＝，∴D＝-1．故选：D．【变式训练2】如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是_______．【答案】【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴，∵E是CD边上的中点，∴∵△ECF沿EF所在的直线折叠得到，∴，∴当点，，三点共线时，最小，如图，在中，由勾股定理得：，∴，∴的最小值为．类型三、旋转型最值问题例1．如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________．【答案】【分析】过点M作，垂足为P，连接，由旋转的性质得到，，，根据正方形的性质求出，证明，得到，，利用勾股定理求出，根据即可求出的最小值．【详解】解：过点M作，垂足为P，连接，由旋转可得：，，，在正方形中，，E为中点，∴，∵，∴，又，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵C，M位置固定，∴，即，∴，即的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最短，知识点较多，解题的关键是构造全等三角形，求出的长，得到．例2．如图，长方形ABCD中，，，E为BC上一点，且，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为______．【答案】【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，∵∠BET=∠FEG=30°，∴∠BEF=∠TEG，在△EBF和△TEG中，，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B=∠ETG=90°，∴点G的在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵∠EJG=∠ETG=∠JGT=90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴∠JET=90°,GJ=TE=BE=2，∵∠BET=30°，∴∠JEC=180°-∠JET-∠BET=60°，∵，∴,∴CG=CJ+GJ=.∴CG的最小值为.故答案为：.【变式训练1】如图，已知正方形的边长为a，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为______．（用含a的代数式表示）

【答案】【分析】连接，过点作交延长线于点，先证明，即可得到点在的角平分线上运动，作点关于的对称点，当点，，三点共线时，最小，根据勾股定理求出的最小值为，即可求出此时的周长为．【详解】解：连接，过点作交延长线于点，

将绕点顺时针旋转到，，，，，又，，，，，即，，即点在的角平分线上运动，作点关于的对称点，点在的延长线上，当点，，三点共线时，最小．在中，，，，的最小值为，此时的周长为．故答案为：．【点睛】本题主要考查旋转，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称解决最短路径是本题的关键．【变式训练2】如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．

(1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若，在（2）的旋转过程中，①当为最大值时，则___________．②当为最小值时，则___________．【答案】(1)，证明见解析(2)成立，证明见解析(3)①；②【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而得出结论；（2）如图2，连接，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而得出结论；（3）①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．②利用三角形的三边关系确定的最小值，此时如图③中，，，共线．【详解】（1）解：结论：．理由：如图1，延长交于．

是等腰直角三角形，，点是的中点，，，．四边形是正方形，．在和中，，，；（2）（1）中的结论仍然成立，，．理由如下：如图②，连接，延长交于，交于．

在中，为斜边中点，，，．四边形为正方形，，且，，．在和中，，，，，，，．（3）①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．

，．．在中，由勾股定理，得，．故答案为：；②如图④中，连接．

如图②中，在中，，，，的最小值为1，此时如图④中，，，共线，在中，．故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．类型四、PA+KPB型最值问题例．如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．【答案】【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．【详解】解：如图所示：过点作交于点，过点作交于点，四边形是菱形，，∴∠ABP=30°，，，由垂线段最短可知，的最小值为的长，，即的最小值是：，故答案是：．【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离．【变式训练1】如图，长方形中，点是线段上一动点，连接，则的最小值为_____．【答案】【分析】在上方作，作于，作于，交于，将转化为，则的最小值为的长度，根据图形分别求和即可．【详解】解：在上方作，作于，作于，交于，，，当、、三点共线时，最小，即为的长度，，，，，，，，．的最小值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了线段和最小问题，通过作辅助线将线段和最小问题转化为求线段的长度是关键．【变式训练2】如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【详解】如图，过点作，交的延长线于，

四边形是平行四边形，，∴∵PH丄AD，∴∴，，∴当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，此时，，，∴，则最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．课后训练1．如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接与相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【详解】解：如图，连接与相交于O，∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，∵菱形的边长为8，，∴，由勾股定理可得：，∵M是的中点，∴，在Rt中，，在Rt中，，∵，当A，M，G三点共线时，最小为，故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出，的值．2．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．【详解】解：连接，如图所示：四边形是菱形，，，分别为，的中点，是的中位线，，当时，最小，得到最小值，则，，是等腰直角三角形，，，即的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．3．如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠ABC=60°，，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则，求出OM，OF即可解决问题．【详解】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则．∵∠AMD＝90°，AD＝8，OA＝OD，∴OMAD＝4，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGF＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝4，∵CD＝8，∴CG＝4，∴OG＝2OD•cos30°＝4，GF，OF＝6，∴ME≥OF﹣OM＝64，∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为64．故选：C．【点睛】本题考查等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、解直角三角形、求线段最值等，通过作辅助线得出是解题关键．4．如图，直线平分正方形的面积，直线分别与、交于点、，直线于，连接，若，则长的最小值为___________．

【答案】【分析】连接交于，取中点，连接，作于，由正方形的性质得到是的中点，求出的长，得到，的长，由勾股定理求出的长，由三角形三边关系得到，于是即可求出长的最小值．【详解】解：连接交于，取中点，连接，作于，

直线平分正方形的面积，是的中点，四边形是正方形，，，，，，是的中点，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，可得当A，M，H三点共线时，．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，中心对称，三角形的三边关系，求线段长的最小值，关键是通过作辅助线，由三角形的三边关系得到.5．如图，矩形中，，，点是边上一动点，连接、，则的最小值为________．【答案】3+2【分析】过点C作直线CE，使CE与BC的夹角为30°，过点P作PE⊥CE，垂足为点E，则的最小值即为PA+PE的最小值，此时，PA+PE=AE，根据勾股定理求出BP=，进而即可求解．【详解】解：过点C作直线CE，使CE与BC的夹角为30°，过点P作PE⊥CE，垂足为点E，∵∠PCE=30°，PE⊥CE，∴PE=PC，∴的最小值即为PA+PE的最小值，当PA和PE在同一直线上时，PA+PE最小，此时，PA+PE=AE，∵∠APB=∠CPE，且∠PCE+∠CPE=∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠PCE=30°，∴AP=2BP，∴，解得：BP=（负值舍去），∴AP=，∴PE=，∴AE=PA+PE=+=3+2，∴的最小值为3+2．故答案是：3+2．【点睛】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线，构造含30°的直角三角形，是解题的关键．6．如图，正方形ABCD，边长为7，点E在边BC上，，点F是AB边上一动点，连接EF，以EF为边向右作等边，连接CG，线段CG的最小值是___________．【答案】【分析】把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，根据旋转的性质得∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，易得四边形HEPQ为矩形，则PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，接着计算出CP，从而得到CQ的长，然后利用垂线段最短得到CG的最小值．【详解】解：∵△EFG为等边三角形，∴EF＝EG，把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°−∠BEH＝30°，∴CP＝CE＝＝，∴CQ＝CP＋PQ＝＋2＝．∴CG的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，比较综合．7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______．【答案】7.5【分析】连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，即可求解．【详解】连接、、，如图所示：∵四边形是矩形，∴，，∴，∵P是线段的中点，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，当A、P、C三点共线时，，∴的最小值是7.5，故答案为：7.5．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值是解题的关键．8．如图，E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，连接E、F、G、H，若，，则四边形的周长最小值是_____________．

【答案】【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：延长到D，使，G的对应点为，则，作，使