专题02 数轴上动点问题的三种考法（原卷版）-2024年常考压轴题攻略（7年级上册人教版）

专题02数轴上动点问题的三种考法【知识点梳理】1.数轴上两点间的距离数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.类型一、求值（速度、时间、距离）例1．数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度、每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a，b满足．

(1)请直接写出______，______；(2)如图1，点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点N从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段的中点．若，求t的值；(3)如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t．当以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为109时，求出此时点M对应的数．例2．如图，点O为数轴原点，点A、B、C都在数轴上，．已知点A表示的数为．

(1)直接写出点B表示的数；(2)一动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；另一动点Q同时从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，已知P、Q两点恰好在点C相遇，求点C表示的数．(3)在（2）的条件下，当点P分别到A、B、C三点的距离之和为68个单位长度时，求点P的运动时间．例3．如图1，点在射线上，，，点从点出发，沿方向以的速度向右匀速运动，点从点出发，在线段上向左匀速运动，两点同时出发．

(1)若点运动速度为，当点和点都运动到线段上，且点恰好为线段的中点时，求点运动的时间；(2)如图2，若点也为射线上一点，且，当时，点运动到线段上且恰好满足，求点的运动速度．例4．如图将一条数轴在原点，点，点，点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，以单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点运动至点时则两点停止运动，设运动的时间为秒．问：

(1)动点从点运动至点需要秒，此时点对应的点是．(2)，两点在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少？(3)求当为何值时，，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等．【变式训练1】已知多项式的常数项是a，次数是b，若a、b两数在数轴上所对应的点为A、B，点A位于点B的左边．

(1)数轴上A点表示的数为______，B点表示的数为______．(2)数轴上在B点右边有一点C，点C到A、B两点的距离和为13，求点C在数轴上所对应的数．(3)若P、Q两点分别从A、B出发，同时沿数轴正方向运动，O为数轴原点，P点的速度是Q点速度的2倍，且3秒后，，求点Q运动的速度．【变式训练2】，分别是数轴上两个不同点A，所表示的有理数，且，，A，两点在数轴上的位置始图所示：

(1)直接写出数，的值；(2)A，两点相距多少个单位长度？(3)若点在数轴上，点到点的距离是点到A点距离的，求点考示的数；(4)点从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2022次后，求点表示的数．【变式训练3】已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足．

(1)求a、b的值；(2)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，出发后经过t秒钟，P、A、B三点中其中一个点到另外两个点的距离相等，求出此时t值；(3)数轴上还有一点C对应的数为40，若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向C点运动，同时，点Q从B点出发，以每秒个单位长度的速度向正方向运动，点P运动到C点后立即返回再沿数轴向左运动．当时，求点P运动的时间．【变式训练4】已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题．

(1)请直接写出a、b、c的值．______，______，______；(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时即（时），请化简式子：（请写出化简过程）；(3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为t，是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求t的值，若不存在，说明理由．类型二、定值问题例．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：．

(1)求m、n的值；(2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为__________个单位长度；②应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火车的速度为__________个单位长度/秒．(3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，．

(1)若使、两点的距离是、两点的距离的3倍，则需将点向右移动________个单位：(2)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒：①点、、表示的数分别是_______、_______、_______（用含、的代数式表示）：②若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当为何值时，的值不会随着时间的变化而改变．【变式训练2】如图，在数轴上点表示数，点表示数，且

(1)填空，_______________，_______________；(2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，已知点为数轴上一动点，且满足，求出点表示的数；(3)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在、两点之间上，且的值始终是一个定值，求点运动的方向及的值，【变式训练3】如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为、、，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为．(1)、、；(2)若点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，点Q以每秒3个单位长度的速度从点C出发，P、Q同时同向而行，运动时间为t秒，经过多少秒后，点P、Q两点相距2个单位长度？(3)若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，设点D、E、F同时出发，运动时间为t秒，问的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由．【变式训练4】如图所示，数轴上有，，，四个点，点表示的数是，点表示的数是，且满足．已知（单位长度），（单位长度）．(1)求点和点分别表示的数；(2)若线段以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，设运动时间为秒，当（单位长度）时，求的值；(3)若动点从表示数的点开始以每秒5个单位长度的速度向右运动，且满足的值不随点运动时间的变化而改变，求的值．类型三、数量关系问题例．已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)【解决问题】：①当秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数；②问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)【探索问题】：若为的中点，为的中点，直接写出线段与线段的数量关系．【变式训练1】已知数轴上A，B两点对应的数分别是a，b，其中a，b分别为单项式的系数和次数，点P为数轴上的一动点．(1)A，B两点的距离__________；(2)在数轴上是否存在点P，使？若存在，请求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；(3)若点P以每秒1个单位的速度从点O（点O对应的数是0）出发向右匀速运动，同时点A以每秒5个单位的速度向左匀速运动，点B以每秒8个单位的速度向右匀速运动．在运动的过程中，M，N分别是，的中点，设运动时间为t秒．①请用含t的代数式表示；②随着时间t的变化，与之间有怎样的数量关系？【变式训练2】如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．(1)解决问题：①当时，写出数轴上点B，P所表示的数；②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．课后训练1．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示，，6，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发，甲的速度是每秒4个单位，乙的速度是每秒3个单位．(1)，．(2)若甲、乙相向而行，则甲、乙在多少秒后数轴上相遇？该相遇点在数轴上表示的数是什么？(3)若甲、乙相向而行，则多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为23个单位？(4)在（3）的条件下，当甲到A，B，C三点的距离之和为23个单位时，甲调头返回，则甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，并求出相遇点在数轴上表示的数；若不能，请说明理由．2．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒．【综合运用】(1)填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．(2)求当t为何值时，P、Q两点相遇；(3)求当t为何值时，；(4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．3．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和20、点P从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，同时，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动．设运动时间为秒．(1)当时，线段的长度是___________；当时，线段的长度是___________．(2)当时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数．(3)若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，直接写出所有使得线段的t值．5．已知数轴上的、两点分别对应的数字为、，且、满足．(1)直接写出：______，______；(2)从出发，以每秒个长度的速度沿数轴正方向运动，何时，，三点中其中一个点到另外两个点的距离相等？求出相应的时间；(3)数轴上还有一点对应的数为，若点从出发，以每秒个单位的速度向点运动，同时，从点出发，以每秒个长度的速度向正方向运动，点运动到点立即返回再沿数轴向左运动．当时，求运动的时间．6．已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，，数轴上A，B、C三点所对应的数分别是a、b和c，点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点B的速度为每秒2个单位长度，4秒后两点相遇．(1)求点A的运动速度；(2)若点A与点B之间的距离记为，原点