期末测试压轴题考点模拟训练（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

期末测试压轴题考点模拟训练一、单选题1．一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平方根定义得原数为a2，故相邻的下一个自然数是a2+1，再求得平方根即可.【详解】根据题意，平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D.【点睛】此题考查平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键.2．在解方程组时，甲同学正确解得乙同学把看错了，而得到那么，，的值为（）A．，， B．，，C．，， D．不能确定【答案】B【详解】解：由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8，解得且①，由于乙看错c，所以②，解由①②构成的方程组可得：故选B．3．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（

）A．15 B．12 C．13 D．10【答案】C【分析】由AC=BC，，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点，交CD于P，则此时MP+PN的值最小，再由直角三角形即可求出答案【详解】如图：是等边三角形，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点，交CD于P，为最小值，故答案选C【点睛】本题考查轴对称中的最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作图是关键．4．已知，，，D为平面直角坐标系内一点，若，则D的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点A作平行于y轴的直线，过点B作平行于x轴的直线，相交于点E，则，，根据勾股定理得，同理，再逐项计算出的长度，即可解答．【详解】解：过点A作平行于y轴的直线，过点B作平行于x轴的直线，相交于点E，如图，∵，，∴，，在Rt中，由勾股定理得，∵，当点D的坐标为时，，此时，故A选项符合题意；当点D的坐标为时，，此时，故B选项不符合题意；当点D的坐标为时，，此时，故C选项不符合题意；当点D的坐标为时，，此时，故D选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查坐标与图形性质、勾股定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出、的长度是解题关键．5．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数，，，的图象分别为，，，，则下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡越大）判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.【详解】解：根据直线经过的象限，知，，，，根据直线越陡越大，知，，所以．故选B．【点睛】此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．二、填空题6．如图，平分,(单位:度)，其中为有理数,且，则_______．【答案】【分析】先根据得到a,b的值，求出，设,得到=11°，根据平行线的性质与外角定理得到，故可求解．【详解】为有理数为有理数∴=11°，反向延长线射线至点，作BH∥CE，则∥EC∥BH，设,∴,∵又∥EC∥BH，∴故答案为：22．【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知二次根式的运算、二元一次方程的解法及三角形外角定理、平行线的性质．7．如图在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，，依此规律跳动下去，点A第200次跳动至点的坐标是．【答案】【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．【详解】观察发现，第2次跳动至点的坐标是，第4次跳动至点的坐标是，第6次跳动至点的坐标是，第8次跳动至点的坐标是，第2n次跳动至点的坐标是，第200次跳动至点的坐标是，故答案为．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．8．中国古代著名的《算法统宗》中有这样一个问题:“只闻隔壁客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”大意为:“一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两;若每人分九两，则还差八两，问共有多少人?所分银子共有多少两?”(注:当时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语)设共有x人，所分银子共有y两，则所列方程组为【答案】【分析】题中涉及两个未知数：共有x人，所分银子共有y两；两组条件：每人分七两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两；列出二元一次方程组即可.【详解】两组条件：每人分七两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两；解：【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系，列方程组是解答本题的关键.9．（1）如图1，Rt△MBC中，∠MCB=90°，点在数轴-1处，点C在数轴1处，MA=MB，BC=1，则数轴上点A对应的数是______．（2）如图2，点M是直线上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N，点P是y轴上的动点，当以M，N，P为顶点的三角形为等腰直角三角形时点M的坐标为_______．

【答案】（1）；（2）（-3，-3），（-1，1），（，）．【分析】（1）通过勾股定理求出线段MB，结合MA=MB，进而可得点A对应的数；（2）分六种情况考虑：①如图1，当点M在第二象限，MN为直角边时；②如图2，当点M在第二象限，MN为斜边时，③如图2，当M在第三象限时，MN为直角边时，④如图2，当M在第三象限时，MN为斜边时，⑤如图3，当M在第一象限时，MN为直角边时，⑥如图3，当M在第一象限时，MN为斜边时，分别列方程，即可得到所有满足题意的M坐标．【详解】（1）在Rt△MBC中，∠MCB=90°，BC=1，MC=2，∴，∵MA=MB，∴MA=，∵点M在数轴-1处，∴数轴上点A对应的数是：．故答案是：；（2）①如图1，当点M在第二象限，MN为直角边时，则MN=MP，设点M(x，2x+3)，则有，解得：x=-1，∴M(-1，1)；②如图2，当点M在第二象限，MN为斜边时，这时NP=MP，∠MNP=45°，OP=ON，，设点M(x，2x+3)，则有，解得：，∴M(，)；③如图2，当M在第三象限时，MN为直角边时，则MN=MP，PM⊥MN，设点M(x，2x+3)，则有：-x=-（2x+3），解得：x=-3，∴M(-3，-3)；④如图2，当M在第三象限时，MN为斜边时，则∠ONP=45°，即ON=OP，设点M(x，2x+3)，则有：，化简得：-2x=-2x-3，这方程无解，这时不存在符合条件的M点；⑤如图3，当M在第一象限时，MN为直角边时，则MN=MP，PM⊥MN，设点M(x，2x+3)，则有：x=2x+3，解得：x=-3（不符合题意，舍去）；⑥如图3，当M在第一象限时，MN为斜边时，则∠ONP=45°，即ON=OP，设点M(x，2x+3)，则有：，化简得：2x=2x+3，这方程无解，这时不存在符合条件的M点．综上，符合条件的点M坐标是(-3，-3)，(-1，1)，(，)．故答案是：(-3，-3)，(-1，1)，(，)．【点睛】本题主要考查实数与数轴，勾股定理，一次函数与等腰直角三角形的综合，掌握等腰直角三角形的性质定理，一次函数的图象和性质，是解题的关键．特别要注意分类讨论的思想，分类讨论时，考虑问题要全面，做到不重不漏．10．如图，，P为射线上任意一点（点P和点B不重合），分别以，为边在内部作等边和等边，连结并延长交于点F，若，，则．【答案】2【分析】连接，过点E作，由题意可得，可得，，可求，根据勾股定理可求，，，，可求，，，由，，可得．【详解】解：如图：连接，过点E作，∵，是等边三角形，∴，，，∴且，，∴，∴，，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∵，∴，，∵∴，，∵∴，∴，故答案为2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，构造直角三角形用勾股定理求线段的长度是本题的关键．11．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是尺．(注：l丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)

【答案】29．【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，

另一条直角边长7×3=21（尺），因此葛藤长=29（尺）．答：葛藤长29尺．故答案为：29．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．12．如图，点D是Rt△ABC斜边AB的中点，点E在边AC上．△A'B′C′与△ABC关于直线BE对称，连结A′C．且∠CA′C'＝90°．若AC＝4，BC＝3．则AE的长为．【答案】【分析】由轴对称的性质和直角三角形斜边中线的性质得：CD＝C'D＝A'D＝AB＝A'B'，证明△A'CC'≌△C'B'A'（HL），得A'C＝C'B'＝CB＝3，设AE＝x，则CE＝4﹣x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】解：连接CD，C'D，∵∠CA'C'＝90°，由轴对称性质得：CD＝C'D＝A'D＝AB＝A'B'，∴C、D、C'三点共线，∴CC'＝A'B'，∵△A'CC'≌△C'B'A'（HL），∴A'C＝C'B'＝CB＝3，设AE＝x，则CE＝4﹣x，∵AE＝A'E，在Rt△A'EC中，由勾股定理得：，解得：∴AE＝，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想解决问题，属于中考填空题的压轴题．13．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简=.【答案】-【详解】根据数轴可知1＜a＜2，可知a＜，即a-＜0，因此根据绝对值的性质和二次根式的性质，可得=-a+a-2=-.故答案为-.点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是利用绝对值的非负性，和二次根式的性质，注意在解题时二次根式的估算.14．如图，AB＝12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是．【答案】6.5/【详解】解：如图，延长AE交BC于点F，∵点E是CD的中点,∴DE=CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD,∴AD∥BC,∴∠ADE=∠BCE且DE=CE，∠AED=∠CEF,∴△AED≌△FEC（ASA）,∴AD=FC=5，AE=EF,∴BF=BC-FC=5,∴在Rt△ABF中，,，故答案为：6.5．15．如图，直线与轴、轴分别交于两点，以为边在轴左侧作等边三角形.将沿轴上下平移，使点的对应点恰好落在直线上，则点的坐标为.【答案】【分析】根据直线y=2x+2可以求得点A和点B的坐标，从而可以求得点C到OB的距离，从而可以得到C′的横坐标，然后代入y=2x+2，即可得到点C′的坐标，本题得以解决．【详解】∵y=2x+2，∴当x=0时，y=2；当y=0时，x=-，∴点A（−，0），点B（0，2），∵△OBC是等边三角形，OB=2，∴点C到OB的距离是：2×sin60°＝2×＝3，将x=-3代入y=2x+2，得y=-6+2，∴点C′的坐标为（-3，-6+2），故答案为（-3，-6+2）．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、坐标与图形变化-平移，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等边三角形的性质和平移的性质解答．三、解答题16．如图1，在平面直角坐标系中，A（m，0），B（n，0），C（﹣1，2），且满足式|m+2|+（m+n﹣2）2＝0．（1）求出m，n的值．（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积等于△ABC的面积的一半，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积的一半仍然成立，若存在，请直接在所给的横线上写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE，当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．【答案】（1）m=﹣2，n=4；（2）①M的坐标为（3，0）；②点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（0，6）或（0，﹣6）；（3）2．【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组即可；（2）①根据三角形的面积公式计算即可；②分点M在x、y轴上两种情况计算；（3）根据角平分线的定义、垂直的定义得到∠POF=∠BOF，设∠POF=∠BOF=x，∠DOE=y，结合图形得到x=y，得到答案．【详解】（1）由题意得：，解得：，∴m=﹣2，n=4；（2）①设点M的坐标的坐标为（x，0），△ABC的面积6×2=6，由题意得：x×26，解得：x=3，△COM的面积等于△ABC的面积的一半时，点M的坐标为（3，0）；②当点M在x轴上时，由①得：点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0），当点M在y轴上时，设点M的坐标的坐标为（0，y），由题意得：|y|×16，解得：y=±6．综上所述：符合条件的点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（0，6）或（0，﹣6）；（3）2，不会改变．∵OE平分∠AOP，∴∠EOP=∠AOE．∵OF⊥OE，∴∠EOP+∠POF=90°，∠AOE+∠BOF=90°，∴∠POF=∠BOF，设∠POF=∠BOF=x，∠DOE=y．∵CD⊥y轴，∴CD∥x轴，∴∠OPD=∠POB=2x，则∠POD=90°﹣2x．∵∠EOF=90°，∴y+90°﹣2x+x=90°，解得：x=y，∴∠OPD=2∠DOE，即2．【点睛】本题考查了非负数的性质、角平分线的定义、三角形的面积公式，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．17．“一村一品，绽放致富梦”，泰顺县恩代洋村因猕猴桃被入选全国“一村一品”示范村镇．为更新果树品种，恩代洋村某果农计划购进、、三种果树苗木栽植培育．已知种果苗每捆比种果苗每捆多10元，种果苗每捆30元，购买50捆种果苗所花钱比购买60捆种果苗的钱多100元．（每种果苗按整捆购买，且每捆果苗数相同）（1）、种果苗每捆分别需要多少钱；（2）现批发商推出限时赠送优惠活动：购买一捆种果苗赠送一捆种果苗．（最多赠送10捆种果苗）①若购买种果苗7捆、种果苗5捆和种果苗10捆，共需多少钱；②若需购买种果苗10捆，预算资金为600元，在不超额的前提下，最多可以买多少捆果苗．求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购买费用最少．（每种至少各1捆）【答案】（1）50元；40元；（2）①640元；②见解析【分析】（1）根据题意设中果苗每捆元，则中果苗每捆元，列出方程，解方程即可得到答案；（2）①由题意，列出等式，然后进行计算，即可得到答案；②根据题意，可分为和两种情况进行分析，分别求出满足条件的方案，然后计算费用即可．【详解】解：（1）设中果苗每捆元，则中果苗每捆元解得：种果苗每捆：元答：种果苗每捆50元，种果苗每捆40元．（2）①∵7捆种果苗可免费赠送7捆种果苗，∴所需总费用为：（元）②可设购买种果苗捆，种果苗捆当时，（I）当时，，∴∴，此时，费用为580元（II）当时，，∴∴，此时，费用为590元（III）当时，，∴，不合题意，舍去当时，（I）当时，，∴∴，此时，费用为600元（II）当时，，∴∴，此时，不合题意，舍去（III）当时，，不合题意，舍去.综上所述，最多可购买种果苗和种果苗共12捆，有三种方案：可买种果苗9捆，种果苗3捆；种果苗10捆，种果苗2捆；种果苗11捆，种果苗1捆；其中当种果苗10捆，种果苗2捆时，所花费用最少，为580元.【点睛】此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．18．规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点O顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．

(1)求出直线的“旋转垂线”的解析式；(2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：；(3)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，度，求点P的坐标．【答案】(1)直线的“旋转垂线”的解析式是：(2)见解析(3)【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点，再求出这两个交点绕原点顺时针旋转后的点，再用待定系数法求出直线的“旋转垂线”的解析式即可；（2）分别求出直线和直线与坐标轴的交点，再利“直线绕原点O顺时针旋转得到的直线”得到这些交点横纵坐标的相等关系，从而得解；（3）作交的延长线于点C，作，作于D，先证明，从而证明，继而推导点C的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，最后用两直线求交点的方法求出点P的坐标．【详解】（1）解：如图1，

由得：，，∴点A绕点O顺时针旋转90°后对应的点是，点B绕点O顺时针旋转90°后对应的点是，设的解析式为：，将点，代入得：解得：，∴的解析式为：，即直线的“旋转垂线”的解析式是：；（2）证明：如图2，设直线与轴、轴分别交于点，直线与轴、轴分别交于点，

对于直线当时，，∴当时，，解得：，∴同理可得：，，依题意得：点绕点O顺时针旋转90°后对应的点是，点绕点O顺时针旋转90°后对应的点是，∴由得：两边同时除以并整理得：；（3）解：如图3，作交的延长线于点C，作，作于D，

，，，，，，，，，设直线的解析式为：，将代入得：解得∴直线的解析式为：，直线与直线的解析式联立得：，解得∴【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，一次函数图像与坐标轴的交点等知识，利用与坐标轴的交点解决旋转问题是解题的关键．第二问中直线与坐标轴的交点无论在原点的哪个方向，它旋转后用字母表示的结果不变．更一般地，直角坐标系内任意一点绕原点旋转顺时针之后的点是，因此可以不对进行讨论．19．已知一次函数y=x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y=x相交于点C，过B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．（1）直接写出点A、B的坐标：A______、B______；（2）若S△AOC=S△BCP，求点P的坐标；（3）若点E是平面内的一个动点，当△ABE是AB为直角边的等腰直角三角形，则点E的坐标为________．【答案】（1）（8，0）、（0，6）；（2）（，6）或（-，6）；（3）点E的坐标为（6，14）或（-6，-2）或（14，8）或（2，-8）．【分析】（1）分别令y=0或x=0，即可求得一次函数y=x+6的图象与x轴、y轴的交点坐标；（2）根据三角形面积公式列式计算，即可求解；（3）分四种情况讨论，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：（1）一次函数y=x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，令y=0，则x=8，令x=0，则y=6，∴点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；故答案为：（8，0）、（0，6）；（2）联立，解得：，故点C（3，），S△AOC=×8×=15=S△BCP=×BP×（yP-yC）=×BP×（6-），解得：BP=，故点P（，6）或（-，6）；（3）∵A（8，0）、B（0，6），∴OA=8，OB=6，当点E在第一象限，且∠ABE=90°，AB=BE时，如图，过点E作EF⊥轴于点F，∴∠EBF+∠FEB=90°，∠EBF+∠ABO=90°，∴∠FEB=∠ABO，在△FEB和△OBA中，，∴△FEB≌△OBA(AAS)，∴FB=OA=