第四章 基本平面图形压轴题考点训练（解析版）-2024年常考压轴题攻略（7年级上册北师大版）

第四章基本平面图形压轴题考点训练评卷人得分一、单选题1．如图，，是线段上两点，，分别是线段，的中点，下列结论：①若，则②若，则③④其中正确的结论是（

）A．① ② ③ B． ③ ④ C．① ② ④ D． ① ② ③ ④【答案】D【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析．【详解】解：∵，分别是线段，的中点，∴，，如图①若，∴，∴，∴，∴，∴，故①正确；②若，∴，∵M、N分别是线段，的中点，∴，，∴，故②正确；∵，∴，故③正确；∵，，∴，∵，，∴，故④正确，故选：D．【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键．2．已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（

）A．5 B． C．或 D．【答案】B【分析】设，则，求得，设，当点E在线段之间时，得到，求得，进而即可求出；当点E在线段之间时，同理可求出与条件不符，故舍去；【详解】设，则，∴．∵，∴．设，当点E在线段之间时，如图，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴；当点E在线段之间时，如图，∴，∴．∵，∴，解得：，不符合题意，舍；综上可得．故选B．【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和与差．解答的关系是分类讨论点E的位置．3．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示∶两条直线相交，三条直线相交，四条直线相交，最多有一个交点，最多有三个交点；最多有6个交点，像这样，10条直线相交，最多交点的个数是(

)A．40个 B．45个 C．50个 D．55个【答案】B【详解】解∶第四条直线最多和前三条直线都相交而增加3个交点，第五条直线最多和前四条直线都相交而增加4个交点……第十条直线最多和前9条直线都相交而增加9个交点，所以10条直线相交、最多交点的个数为∶1+2+3+……+9=45．故选∶B【点睛】本题考查了直线、射线、线段．结合图形，找规律解答．4．已知，点C在直线AB上，ACa，BCb，且a≠b，点M是线段AB的中点，则线段MC的长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．【详解】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AM﹣AC==．④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC+AM==．综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．故选D．【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．5．钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（

）A．15° B．30° C．75° D．60°【答案】C【分析】钟表上共有12个大格，每一个大格的度数是，再根据8点30分时时针从8开始走了一大格的大格，分针指向6，时针与分针夹角为大格，计算出角度即可.【详解】钟表上共有12个大格，每一个大格的度数是，8点30分时时针与分针的夹角是大格，则夹角度数为，故选：C.【点睛】此题考查钟面上角度计算，掌握钟面上每个大格的度数及时针与分针在某个时间的位置是解题的关键.评卷人得分二、填空题6．若∠AOB＝100°，∠BOD＝60°，∠AOC＝70°时，则∠COD＝°（自己画图并计算）【答案】30°或90°或110°或130．【分析】分四种情况讨论图形的位置，然后根据∠AOB=100°，∠AOC=70°，∠BOD=60°，即可求解．【详解】解：如图①∵∠AOB=100°，∠BOD=60°，∠AOC=70°，∴∠COD=∠BOC+∠BOD=∠AOB﹣∠AOC+∠BOD=100°﹣70°+60°=90°；如图②∠COD=360°﹣∠AOB﹣∠BOD﹣∠AOC=360°﹣100°﹣60°﹣70°=130°；如图③∠COD=∠AOD+∠AOC=∠AOB﹣∠BOD+∠AOC=100°﹣60°+70°=110°；如图④，∠COD=∠AOC+∠BOD﹣∠AOB=70°+60°﹣100°=30°；故答案为30°或90°或110°或130．【点睛】本题考查角的计算，关键是分类讨论.7．已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是．【答案】或【分析】先根据题意画出图形，再分OD在内和OD在外，根据角的和差关系、角平分线的定义可求的度数．【详解】（1）如图1，OD在内，，,，射线OE平分，，射线OF平分，，，；（2）如图2，OD在外，，,，射线OE平分，，射线OF平分，，，.则的度数是或.故答案为：或.【点睛】本题考查了角的和差关系、角平分线的定义，OD在外的情形易被忽略，从而出现漏解是本题的难点．8．如图，一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、，现在以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且，则点表示的数是．【答案】或【分析】根据题意，点分两种情况：①在右侧；②在左侧，作图求解即可得到答案．【详解】解：分两种情况：①如图所示：点表示的数分别是、，，以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且，，，点表示的数是；②如图所示：点表示的数分别是、，，以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，且，，，点表示的数是；综上所述，点表示的数是或．【点睛】本题考查数轴上点表示的数，涉及两点间距离，读懂题意，分类讨论，准确边上线段和差倍分关系是解决问题的关键．9．如图，线段表示一条已对折的绳子，现从点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则原来绳长．【答案】或【详解】解：∵，∴，．∵是已对折的一条绳子，对折点不确定，∴分两种情况：①当折点为时，最长的一段长为，∴BP=15，∴，∴绳长为．②当折点为时，最长的一段长为，∴，∴，∴绳长为．故答案为50或75.10．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为．【答案】48°、132°或20°、20°【分析】根据题意画出符合题意的图形，分两种情况得到两个角的数量关系求出角度.【详解】如图，α+β=180°，β=4α-60°，解得α=48°，β=132°；如图，α=β，β=4α-60°，解得α=β=20°；综上所述，这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20°．故答案为：48°、132°或20°、20°．【点睛】此题考查角度的计算，正确理解两条边分别垂直的两个角的数量关系是解题的关键.11．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为（用a，b的式子表示）．【答案】/【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可．【详解】解：∵M为的中点，N为的中点，∴，．∵线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，∴分以下5种情况说明：①当在左侧时，如图1，即，，，；②当点D与点A重合时，如图2，即，；③当在内部时，如图3，即，；④当点C在点B右侧时，同理可得：；⑤当在右侧时，同理可得：；综上所述：线段的长为．故答案为：．【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．评卷人得分三、解答题12．如图，线段AB＝20厘米，点C以每秒钟2厘米的速度从点A匀速运动到点B，当点C与点B重合时运动停止．点M为线段AC中点，点N为线段BC中点．设运动时间为t（t≠0）秒．（1）当点C与点B重合时，t＝秒；（2）在运动过程中，MN的长度是否与t的取值有关？若有关，请用含有t的代数式表示线段MN的长；若无关，请利用代数式的相关知识说明理由．（3）在点C开始运动的同时，点P以每秒钟4厘米的速度从点B出发，在点B和点M之间做往返运动，当点C停止运动时，点P也停止运动．①当点P与点M重合时，求线段CN的长．②在运动时间t从第4秒开始到停止运动的过程中，请直接写出当PM＝3PC时的t值．【答案】（1）10；（2）与t的取值无关，理由见解析；（3）①6厘米；②秒或8秒【分析】（1）当点C与点B重合时，此时点C运动了20厘米，根据时间=路程÷速度，即可求得运动的时间；（2）MN的长度与t的取值无关，根据中点的意义及线段的和差关系即可求得MN的长；（3）①考虑首次重合时，由AM+BP=20，建立方程即可求得t的值，从而可求得CN的长；再考虑有无再次重合的可能，当点P首次回到起点时，点M与点C离点B的距离，即可判断能否再次重合；②分两种情况：点P位于点C的左侧和点P位于点C的右侧；当点P位于点C左侧时，则有，由此关系式建立方程即可，当点P位于点C右侧时，则有，由此关系式建立方程即可．【详解】（1）当点C与点B重合时，此时点C运动了20厘米，则运动时间为20÷2=10（秒）故答案为：10（2）MN的长度与t的取值无关；理由如下：∵M、N分别是AC、BC的中点∴，∵AC+BC=20∴即MN的长度与t的取值无关（3）①当点P与点M首次重合时，如图则AM+BP=20由题意：AC=2t厘米，则AM=t厘米，BP=4t厘米∴t+4t=20解得：t=4此时AC=2×4=8(厘米)，BC=20−8=12(厘米)∴点P与点M没有第二次重合的可能点P与点M首次重合时，BP=16厘米，点P要再运动16÷4=4秒才能回到B点，也就是说点P回到起点共花费8秒，此时点M从起点运动了8厘米，则点C运动了16厘米，点C距离终点B只有4厘米，只要2秒即可到达终点，而点P从点B这时只能运动8厘米，点M只能运动2厘米；当点P与点M运动了8秒时，M点与B点相距20−8=12（厘米），但8+2<12，即点P与点M不可能有第二次重合；故当点P与点M重合时，CN=6厘米；②由题意，运动4秒后，点M运动了(t−4)厘米，点P运动了4(t−4)厘米则PM=4(t−4)−(t-4)=(3t−12)厘米当点P位于点C左侧时，如图所示∵PM=3PC则∵故得方程：解得：当点P位于点C右侧时，如图所示∵PM=3PC则则解得：t=8综上所述，当t为秒或8秒时，PM=3PC【点睛】本题是线段上动点问题，考查了中点的含义，线段的和差关系，解一元一次方程，分类讨论思想，有一定难度，要善于抓住问题的本质，如（2）问中重合本质是行程问题中的相遇问题；另外注意(2)小题中要考虑是否有第二次重合的可能．13．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，求的值．【答案】（1）①AD的长为6.5；②AD的长为或；（2）的值为或【分析】（1）根据已知条件得到BC＝5，AC＝10，①由线段中点的定义得到CE＝2.5，求得CD＝3.5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD；②如图2，当点F在点C的右侧时，如图3，当点F在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论；（2）当点E在线段BC之间时，①如图4，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，表示出CD、BD，即可求解；②当点E在点A的左侧，如图5，与①类似的步骤可求解；③当点D、E都在点C的右侧，如图6，与①类似的步骤可求解，于是得到结论．【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝15，∴BC＝5，AC＝10，①∵E为BC中点，∴CE＝2.5，∵DE＝6，∴CD＝3.5，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5；②如图2，当点F在点C的右侧时，∵CF＝3，AC＝10，∴AF＝AC+CF＝13，∵AF＝3AD，∴AD＝；如图3，当点F在点C的左侧时，∵AC＝10，CF＝3，∴AF＝AC﹣CF＝7，∴AF＝3AD，∴AD＝＝；综上所述，AD的长为或；（2）①当点E在线段BC之间时，如图4，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，BD＝3x﹣(0.5x+y)＝x，∴＝＝；②当点E在点A的左侧，如图5，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∵＝，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∴，③点D、E都在点C的右侧时，如图6，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC-DE＝y-1.5x，∴AD＝DC+AC＝y-1.5x+2x＝y+0.5x，∵＝，BE＝EC-BC＝y-x，∴，∴y＝-4x（舍去）综上所述的值为或．【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，以及分类讨论的数学思想，比较难，分类讨论是解答本题的关键．14．已知∠AOD＝130°，∠BOC＝50°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．(1)如图1，若，求∠NOC的度数；(2)将∠BOC顺时针旋转至如图2的位置，求∠MON的度数．【答案】(1)4°(2)40°【分析】（1）设利用角平分线的定义可求得∠AOM=，∠DON，再根据列式求出，求出，再减去的度数，结论可得；（2）根据角平分线的定义可求得∠AOM，∠BON，再利用角的和差得出结论．【详解】（1）设∵∴∵是的平分线∴；∵∴∵是的平分线，∴∵∴解得，∴∴∴∵∴（2）由图可得，∵是的平分线∴又∵是的平分线，∴∴∵∠AOD＝130°，∠BOC＝50°，∴【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义．本题是探究型题目，利用类比的方法解答是解题的关键．15．【阅读理解】如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．(1)∠AOB的角平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝．【问题解决】(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．【答案】(1)是；(2)40°或60°或80°；(3)或或3．【分析】（1）由角平分线的定义可得；（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2