河北省衡水中学2022届高三年级上册高考模拟卷（一）数学试题（含答案与解析）

河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（一）

数学

（本试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1设集合M={1,2,3,4,5},N={2,4,6},则M集N=（）

A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,3,5}D.{2,4,6}

2.已知募函数=是定义在区间［-1,何上的奇函数，则/（m+1）=（）

A.8B.4C.2D.1

1jr

3.设AABC的内角A,B,。的对边分别为“，h,c,若。=百，sinB=—，C=~,则边c=（）

26

A.2B.石C.&D.1

4.已知a=0.5，b=3°5>c=log3（）.5则a,h,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.c<b<a

5.设向量M=B=（X+1,3）,则“x=2”是“D”的

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

6.在2020中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰,

6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同,

所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）

A.51种B.224种C.240种D.336种

c/八、sina

7'已知a，A均为锐角，且cos（a+所诉，则tana的最大值是（）

45

2

8.已知抛物线丁=2Px（p〉0）上一点M（l,/«）（/«>0）到其焦点的距离为5,双曲线上—y2=1的左顶

a

点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数。的值是

1111

C

A.9-B.5-D.3-

25

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知。分别为直线y=x+l的斜率与纵截距，复数z=（q—i）S+i）,贝ij（）

i

A.z=2iB.a=b=l

C.|z|=2D.复数z在复平面上对应的点在第四象限

10.己知直线x+y+a=o与圆（x—2）2+（y+2）2=2有两个交点，则实数。的值可能是（）

A-72B.1C.72D.2

11.设机，〃是不同的直线，a,。,/是不同的平面，则下面说法不正确的是（）

A.若a〃夕，。〃/，则尸〃/B.若a,则机-L/?

C若m_La,加〃尸，则a_L£D,若加〃/，〃ua,则加〃a

12.已知下表为函数/（九）=。^+5+”部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数

值时，取值精确到0.01.

X3.271.57-0.61-0.590.260.42-0.35-0.560

y-101.63-10.040070.260.21020-0.22-0.030

下列关于函数/（X）的叙述正确的是（）

A./（x）为奇函数B.Ax）在。55,0.6］上没有零点

C..f(x)在(—,-0.35］上单调递减D.6/<0

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(%-2严展开式中，所有项的系数和等于

14.已知向量£与B的夹角为30。，且|：|=g,|6|=1,设浣=£+ln=a-b>则向量浣在］方向上

的投影向量的模为.

15.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为｛x|-1<x<5｝,则函数/(x)=ga?++ex的单

调增区间为.

16.等差数列｛%｝中4+%+%4=4O+24,且%=3q,则“5=；若集合

｛nwN*|2"2<q+4+•••+%｝中有2个元素，则实数；I的取值范围是_____.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛q,｝的前〃项和为S“，an=n,是否存在正整数左伏>1),使得4,ak,S加2成等比数列？

若存在，求出左的值；若不存在，请说明理由.

n

18.已知：AABC中，角A，B,。所对的边分别为a,b,C,KbsinA=—«sin2B.

3

(1)求角5的大小及cos2B的值；

(2)若cosA=』，求sinC的值.

3

19.为了解高中生使用手机社交软件聊天情况，随机抽取了100名学生进行调查.如图是根据调查结果绘制

的学生每天使用手机上网平均所用时间的频率分布直方图.将时间不低于40分钟的学生称为“手机控”.

(2)根据已知条件完成下面的2x2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“手机控”与性别有关?

非手机控手机控合计

男

女1055

合计100

参考数据:

犬片乂。)0.100.05

k。2.7063.841

20.如图，在三棱锥产一ABC中，AQ钻是等边三角形，APAC=ZPBC=90°.

(1)证明：AB1PC；

(2)若「。=6,且平面口4。_1平面/?8。，求三棱锥P-ABC体积.

21.已知函数/(x)=lnx—色.

X

(1)若。＞0,证明：/(X)在定义域内是增函数；

3

(2)若f(x)在U,e］上的最小值为二，求a的值.

2

2

22.已知椭圆E：2+y2=1的焦点在X轴上，抛物线C：炉=2夜旷与椭圆£交于八，B两点，直线AB过

t

抛物线的焦点.

(1)求椭圆E的方程和离心率e的值；

(2)已知过点H(2,0)的直线/与抛物线C交于M、N两点，又过M、N作抛物线C的切线/“区使得"，和

问这样的直线/是否存在？若存在，求出直线/的方程：若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合"={123,4,5},N={2,4,6},则“集合=()

A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,3,5}D.{2,4,6}

【答案】B

【解析】

【分析】由交集定义计算.

【详解】•：McN={2,4},

故选：B.

2.已知幕函数=是定义在区间［-1,加上的奇函数，则/(加+1)=()

A.8B.4C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】由奇函数定义域的对称性得m=1,然后可得函数解析式，计算函数值.

【详解】因为基函数在l-l,/n］上是奇函数，所以m=l,所以/(x)=f+，"=/，所以

/(加+1)=/(1+1)=/(2)=23=8，

故选：A.

3.设AABC的内角A,B,C的对边分别为b,c,若。=百，sin8=-，C=-,则边c=()

26

A.2B.百C.y/2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】求出三角形的三个内角，然后由正弦定理得结论.

【详解】因为sinB=，且些］,所以8=工，A=TT-B-C=—.

2I6J63

又a=j3，由正弦定理，得——=——，即.27.不，解得c=l.

sinAsinCsin——sin——

36

故选：D.

4.已知a=0.53,。=3。5,c=log3（）.5则“，b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】

【分析】

利用指数函数和对数函数的单调性求解.

【详解】因为0<。=0.53<1,8=3°5>1，c=log30.5<0,

所以则a,b,。的大小关系是c<a<。，

故选：B

5.设向量万B=（X+1,3）,贝ij“x=2”是“7/W”的

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

［分析】利用充要条件的判断方法进行判断即可.

【详解】若x=2,则M=B=（3,3）,则1/区；但当M//5时，x=±2,

故“无=2”是“万//『’的充分但不必要条件.

选A

【点睛】本题考查充分不必要条件条件的判断，属基础题.

6.在2020中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰,

6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同,

所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）

A.51种B.224种C.240种D.336种

【答案】C

【解析】

【分析】按中方选一架飞机或俄方选一架飞机分类讨论，每类再分步选择即可得.

【详解】不同的选法有：C；C；CjC°+C；C°C；C^=5x4x3x1+10x1x3x6=60+180=240(种).

故选：C.

八/八、sina

7.已知a,4均为锐角，且cos(a+/?)=—则tan。的最大值是()

sinp

A.4B.2C.—D.—

45

【答案】C

【解析】

sina

[分析】将cos(a+£)=——变形，配角sin«=sinQ+/7)-/7!利用两角差的正弦公式展开化简计算，

sinp

可得关于tan夕的一元二次方程，根据△之0列不等式求解tanc的取值范围，即可得最大值.

【详解】；cos(a+£)=^^,

sinp

：.cos(a+/7)sin)3=sina=sin[(6r+/^)-/?]=sin(cr+/7)cos-cos(<z+/7)sinJ3,即

-tana+tan£-八、八

tan(a+^)=2tan^,-----------=2tan/?,即2tanatair£—tan/?+tana=。,又因为夕为锐

1-tanatanp

角，所以该方程有解，即△=l—8tan2a20,解得一也KtanaW也.又。为锐角，••.()<tana<立.所

444

以tana的最大值是也.

4

故选：C

2

8.已知抛物线丁=2/?尤(〃>0)上一点(加>0)到其焦点的距离为5,双曲线二-产=1的左顶

a

点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AAf平行，则实数。的值是

【答案】A

【解析】

【分析】先根据抛物线定义求P，再代人求，"，最后根据条件列方程，解得结果.

【详解】因为抛物线_/=2px(p>0)上一点到其焦点的距离为5,

所以1+5=5,〃=8,即加2=2x8xl：m>0;.,〃=4.

-4-011

因为A(-G,0),所以■j—二后=工"一。=§，选A.

【点睛】凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.即若P(%,%)为抛物

线V=2px(p>0)上一点，则由定义易得|PF\=x0+^.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.己知a,。分别为直线y=x+l的斜率与纵截距，复数z=dS+D,则()

i

A.z=2iB.a=b=\

C.|z|=2D.复数z在复平面上对应的点在第四象限

【答案】BC

【解析】

【分析】由直线方程得a/，然后由复数乘除法运算求得z,判断各选项.

【详解】-：a,。分别为直线y=x+l的斜率与纵截距，.♦.a=〃=l,

.(a—i)S+i)(l-i)(l+i)22i(a-i)0+i)

・・z=-------；-----=-----；-------=7=丁=一21,..Iz|=2,复数z=--------；-----在复平面上对应的

iiiii

点为(0,-2),在y轴的负半轴上.

故选：BC.

10.已知直线x+y+a=O与圆(x—2y+(>+2)2=2有两个交点，则实数。值可能是()

A.-72B.1C.72D.2

【答案】ABC

【解析】

【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得。的范围.

|2-2+。|

【详解】圆的圆心为。(2,-2),半径为「=血，依题意得<72,解得一2＜。＜2.

故选：ABC.

11.设加，〃是不同的直线，a,0,7是不同的平面，则下面说法不正确的是()

A.若a〃/?,a//y,则用〃/B.若a，力，m//a,则根

C.若加_La,相〃/7,则。_L/7D.若加〃〃，〃ua,则加〃。

【答案】BD

【解析】

【分析】由面面平行性质定理和判定定理判断A,根据空间直线与平面间的位置关系判断BD,由线面垂直

的判定定理，线面平行的性质定理判断C.

详解】若a〃夕，二〃7,作两个相交平面分别与平面a相交于直线AB,AH,与0相交于直线EF,EM,

与/相交于直线CO,CG,,如图,

则AB//EF,AB//CD,AH//EM,AH//CG,

所以EF//CD,EMIICG,

由石户/,CDuy得EF〃y,同理EM//y,

又EM是夕内两相交直线，所以/?///,A正确;

若a，/?,加〃a时，可以有B错;

m//p,过加作平面/与尸相交于直线。，如图，则6//根，又加_La,则h_Le,因此C正

确;

m//n,nua,也可能有mua,D错.

故选：BD.

12.已知下表为函数/(为=以3+5+1部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数

值时，取值精确到0.01.

X3.271.57-0.61-0.590.260.42-0.35-0.560

y-101.63-10.040.070.260.210.20-0.22-0.030

下列关于函数f(x)的叙述正确的是()

A./(幻为奇函数B./(幻在［0.55,0.6］上没有零点

C./(X)在(一8,-035］上单调递减D.«<0

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数解析式，/(0)=。=0,判断奇偶性后确定相应函数值的正负，得零点据区间，然后结

合各函数值得变化趋势，确定。的正负.

【详解】V/(0)=0,：,d=O,所以f(x)为奇函数；又/(0.56)=0.03>0,/(0.59)=-0.26<0,所

以Ax)在［0.56,0.59］上必有零点，所以/(x)在［0.55,0.6］上必有零点；

另一零点在［-0.6,-0.55］上，根据已知数值，x>0的情况下，x越大，函数值越小，结合三次函数的性质

可以确定。<0,同时在(-8,-。35］上单调递减.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（x-2）i°展开式中，所有项的系数和等于—

【答案】1

【解析】

【分析】令x=l,代入计算，即可得所有项的系数和.

【详解】令x=l,得（尤-2严=（-1）|°=1,故展开式中所有项的系数和等于1.

故答案为：1

14.已知向量£与B的夹角为30。，且|：|=有，|〃|=1,设记=£+hn=a-b>则向量浣在3方向上

的投影向量的模为.

【答案】2

【解析】

【分析】根据向量数量积公式的变形公式代入计算而在7方向上的投影向量的模长.

【详解】正在后方向上的投影向量的模为竺“=（"+»（<-'）=I:",=2.

⑶匕-6sla-2a-b+b

故答案为：2

15.已知一元二次不等式62+区+c>0的解集为｛x|-l<x<5｝,则函数/（%）=3加+3加+5的单

调增区间为.

【答案】（-1,5）

【解析】

【分析】求f（x），由/'。）>0可得/（X）的单调增区间.

2

【详解】由/（X）=；a?+g法2+以可得/，（幻=ax+bx+c

因为一元二次不等式"2+法+00的解集为｛x[一1<X<5｝,

所以/'"）=办2+版+00可得｛讨一1<%<5｝,

所以/（X）=；依3+g法2+5的单调增区间为（一1,5）,

故答案：（-1,5）

16.等差数列｛4｝中+4+44=4O+24,且。5=3q,则为=.；若集合

卜?€%*|2"/1<4+4+…+凡｝中有2个元素，则实数4的取值范围是

9

【答案】©,12②.(2,-)

4

【解析】

【分析】空1：根据等差数列的通项公式，结合已知，得到关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组,

最后根据等差数列的通项公式进行求解即可；

空2：常变量分离，根据等差数列的前〃项和公式，构造新数列，利用新数列的单调性结合已知进行求解即

可.

【详解】空1：设等差数列｛4｝的公差为4,

因为q+4+。口=。10+24,且％=3q,

q+4+4d+q+13d=q+9。+24[aA=4

所以有:

q+4d=34[d=2

因此4=q+4d=4+4x2=12；

空2：由(1)知：〃1+%+•••+“〃=d——1),d—4nH—n(n—1)•2=n~+3n

由2"/lv%+%+・・・+。“n丸＜二——=-------设〃==——=----------L=-----

1%〃2“n2〃2〃

(n+1)2+3(〃+1)n2+3n——n2—〃+4

显然当a=1时，b2>bx,

当〃22,〃£N*时，b〃+i-b”<0nb〃+]<b〃,因此从第2项起，数列是递减数列,

5075

4=2也=：也=je="所以数列也｝的最大项为瓦：

因为｛“€?/*|2"；1<4+4+…+a,J中有2个元素，

所以不等式2<)十%+4(*)只有两个不同正整数根,

而数列｛2｝的最大项为打=|，因此及=2一定是不等式(*)的解，

9

2<A<

因此一定有:4-

9

故答案为：(2,/

【点睛】本题考查了等差数列通项公式和前〃项和公式的应用，考查了数列单调性的应用，考查了数学运

算能力.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛q｝的前〃项和为S“，a,,=n,是否存在正整数攵伏〉1）,使得％,%,S-2成等比数列？

若存在，求出女的值；若不存在，请说明理由.

【答案】存在；k=6.

【解析】

［分析】首先根据4=〃求出S,=〃。；1）；然后假设存在正整数k（k>1），使得q,4,Sk+2成等比数

列，根据《•5什2=d即可求得攵的值.

【详解】因为4=〃，〃eN*，所以解="（：1）,所以4$+2=«+2丁+3），城=/，

假设存在正整数解%>1）,使得卬，4,Sh2成等比数列，

则％•S*,2=d，即」+2；左+3）=二,

解得4=6或2=-1（舍去），

故存在左=6,使得%,4,1+2成等比数列.

18.已知：AABC中，角A,B,。所对的边分别为。，h,c,且bsinA=±asin28.

3

（1）求角B的大小及cos28的值；

（2）若cosA=g,求sinC的值.

JI1

【答案】（1）8=—；cos2B=-

62

（2）2"+1

-6-

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合二倍角公式可求得8；

（2）由cosA得sinA,然后由诱导公式、两角和的正弦公式计算.

【小问1详解】

△ABC中，由正弦定理—二=々；，又由asin23=®sinA得

sinAsinB

2sinAsinBcosB=>/3sinBsinA>sinA¥0,sin3K0,

所以cos8=1g，

2

兀

0<B<7T,:.B=一

6

cc乃1

cos28=cos—=—.

32

【小问2详解】

由cosA=*!■及0<A（乃得sinA=R2

33

则sinC=sinpr—（A+B）]=sin（A+B）,

lcosA=^

所以sinC=sin]A,+—sinA+

I626

19.为了解高中生使用手机社交软件聊天情况，随机抽取了100名学生进行调查.如图是根据调查结果绘制

的学生每天使用手机上网平均所用时间的频率分布直方图.将时间不低于40分钟的学生称为“手机控”.

(1)样本中“手机控''有多少人?

(2)根据已知条件完成下面的2x2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“手机控”与性别有关?

非手机控手机控合计

男

女1055

合计100

参考数据:

0.100.05

k。2.7063.841

【答案】（1）25人；（2）列联表见解析，没有95%把握认为“手机控”与性别有关.

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图计算即得解；

（2）完善2X2列联表，再利用独立性检验求解.

【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“手机控”有100x（0.2+0.05）=25人.

（2）由题得2x2列联表如下:

非手机控手机控合计

男301545

女451055

合计7525100

假设”0："手机控''与性别没有关系.

将2x2列联表中的数据代入公式，计算得

犬=〃(ad—bc)2_100x(30x10-15x45)2_100

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)45x55x75x2533

当"o成立时，P(K2N3.841)“0.05.

因为3.03（X3.841,

所以没有95%把握认为“手机控”与性别有关.

20.如图，在三棱锥产一ABC中，AQ钻是等边三角形，NB4C=N~BC=90°.

(1)证明：AB1PC；

(2)若PC=6,且平面~4C_L平面P8C,求三棱锥产一ABC体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)9

【解析】

【分析】(1)取A3中点。，连接P。，CD，证明ABJ_平面PDC，得线线垂直；

(2)^BE±PC,垂足为E，连接AE.得证PC,平面AEB，利用全等三角形的性质得E是PC中点,

求得各线段长后，由体积公式计算体积.

【小问1详解】

证明：因为△PAB是等边三角形，NB4C=N~BC=90°,

所以RtA~BCgRtAB4C,可得AC=BC.

如图，取A6中点。，连接尸。，CD,

则PDLAB,CDLAB,POcC£>=£>,平面POC,

所以A6_L平面PDC,又PCu平面POC,

所以ABLPC.

【小问2详解】

解：作BELPC,垂足为E，连接AE.

因为Rt△尸3C/RtAQAC，

所以AELPC,AE=BE.

AEcBE=E,AE,BEu平面所以PC_L平面AEB,

由已知，平面24cl,平面P8C,故/AEB=90°.

在RtAABE中，/A£B=90。，AE=BE，AE2^AB2-BE2-在Rt^PBE中，PE1PB1-BE1>

•:AB=PB，:.PE=AE=BE....在RtZYPBC中，BE=-PC=3.

2

19

SjEB=5*3*3=5.

19

：PCJ_平面AEB,...三棱锥产一ABC体积/ABC=—x—x6=9.

32

21.已知函数/(x)=lnx-g.

x

(1)若">0,证明：/(x)在定义域内是增函数；

3

(2)若在口,e］上的最小值为二，求。的值.

2

【答案】(1)证明见解析

(2)a--Ve

【解析】

【分析】(1)求出导函数/'(x),由/'(x)>0恒成立得证；

(2)求出导函数/'(X),根据。的大小分类讨论求出Ax)的最小值，由最小值求得a.

【小问1详解】

由题意知/(x)的定义域为(0,+8),

■：a>Q,：.f\x)>0,故f(x)在(0,+8)上是单调递