第1讲数与式巩固练习（解析版）

数与式巩固练习

参考答案与试题解析

选择题（共18小题）

1.I-3|的值是（）

A.-3B.3C.，D.A

33

【分析】】计算绝对值要根据绝对值的定义进行求解.

【解答】解：:•负数的绝对值等于它的相反数，

-3的绝对值是3,

故选：B.

【点评】此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个

负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

2.近日，安徽各县（市）相继发布2020年主要经济数据，县域经济总量（GDP）20强名

单新鲜出炉.我县排名第9位，经济总量达到476亿元.数据476亿用科学记数法表示

为（）

A.4.76XIO10B.4.76X109C.4.76X108D.476X108

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，〃是正数：当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：476亿=47600000000=4.76X1（）1°.

故选：A.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其

中lW|a|＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及附的值.

3.我国中东部地区雾霾天气多发，雾霾中的PM2.5对人体危害极大，PM2.5是指大气中直

径小于或等于0.0000000025fon可入肺颗粒物,将0.0000000025用科学记数法表示为（）

A.0.25X102B.0.25X10-7C.2.5X109D.2.5X10-8

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为“X10”,与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数

字前面的0的个数所决定.

【解答】解:0.0000000025=2.5X10-9.

故选：c.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为4X10-",其中lW|a|V10,

n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

4.2021的倒数是（）

A.2021B.-2021C.—D.--

20212021

【分析】直接利用倒数的定义得出答案.

【解答】解：2021的倒数是

2021

故选：C.

【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键.

5.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.B.x<4C.x2-4D.x24

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由题意得，x-420,

解得，x24,

故选：D.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解

题的关键.

6.要使「乏=有意义,则实数x的取值范围是（

A.x》2B.x>0C.x2-2D.x>2

【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答

案.

【解答】解：由题意得，x-2>0,

解得，x>2,

故选：D.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被

开方数是非负数是解题的关键.

7.估计有的值在（）

A.1到2之间B.2到3之间

C.3到4之间D.2到3之间或-3到-2之间

【分析】根据算术平方根的意义，可确定板的整数部分，即可确定答案.

【解答】解：

：.2<明<3.

故选：B.

【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得到无理数的整数部分是解题关键.

8.在实数-2,-辰,0,中，最小的是（）

100

A.-2B.-J—C.0D.-巫

100

【分析】根据正数大于零，零大于负数的方法对四个数进行比较即可.

【解答】解：：,二。。，-75^-2.236,

100

又|-2|=2,I-旄|=2.236,

.,.0.01>0>-2>-2.236,

BP—1->0>-2>-

100

故选：D.

【点评】本题考查了实数的大小比较，实数比较大小的方法：正数大于零、零大于负数，

两个负数相比较，绝对值大的反而小.

9.若。的相反数是-3,则工的值为（）

a

A.3B.-3C.1D.A

33

【分析】直接利用相反数的定义结合倒数的定义得出答案.

【解答】解：:a的相反数是-3,

••4=3,

则工的值为：1.

a3

故选：D.

【点评】此题主要考查了倒数与相反数，正确掌握相关定义是解题关键.

10.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第20个这样的图案需要

黑色棋子的个数为（)

【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2(〃+3)枚棋子，然后写成第〃个

图案的通式，再取”=20进行计算即可求解.

【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，

第2个图案有22枚棋子，

第3个图案有34枚棋子，

第"-1个图案有2(1+2+…+，+1)+2(〃-2)="2+5”-2枚棋子，

第n个图案有2(1+2+—+n+2)+2(n-1)=n2+7n+4枚棋子,

故第20个这样的图案需要黑色棋子的个数为2()2+7X20+4=400+140+4=544(枚).

故选：C.

【点评】考查了规律型：图形的变化类，观察图形，发现后一个图案比前一个图案多2

(〃+3)枚棋子是解题的关键.

11.2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”.这个节日的昵称是“n(£>〃)，)”.在

古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发

展水平的一个主要标志.我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到

小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年.以下对于圆周率的四个表述：

①圆周率是一个有理数；

②圆周率是一个无理数；

③圆周率是一个与圆的大小有关的常数；

④圆周率是一个与圆的大小无关的常数.

其中表述正确的序号是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

【分析】根据实数的分类和TT的特点进行解答即可得出答案.

【解答】解：因为圆周率7T是一个无限不循环的小数,

所以圆周率是无理数；

因为圆周率是圆的周长与其直径的比，

所以圆周率与圆的大小无关，

所以②④表述正确.

故选：D.

【点评】此题考查了实数皿的意义，熟练掌握实数的分类和“TT”的意义是解题的关键.

12.若2021个数。1、。2、…、02021满足下列条件：ai=2,a2--|ai+6|.ai--|a2+6|,―,

02021=-|a2020+6|,则42021的值为（）

A.2B.-2C.-4D.-8

【分析】根据题意先算出前几个数，发现从第三个数开始-2,-4循环，进而可得结果.

【解答】解：因为“1=2,

所以“2=-|«1+6|=-8,

。3=-|。2+6|=-2,

。4=-|a3+6|--4,

。5=-|«4+6|--2,

因为2021-2=2019,

2019+2=1009…1,

所以42021=-|«2020+6|=-2,

则02021的值为-2,

故选：B.

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规

律.

13.下列各组中，不是同类项的是（）

33

A.12a3y与2yaB.22"/与5bax

33

C.6021nb与-a1bmD.1/y与

33

【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）即可作出判断.

【解答】解：A、12a3y与2展是同类项；

B、22a法3与史”:是同类项；

3

C、6a~mb与-a~bm是同类项；

。、都含有字母x和y，但相同字母的指数不同，所以不是同类项.

故选：D.

【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同,

是一道基础题，比较容易解答.

14.如图，数轴上点A,B,C,。中，表示的数互为相反数的两个点是（）

-3-2-10123

A.点A与点8B.点A与点CC.点B与点CD.点B与点。

【分析】一对相反数在数轴上的位置特点：分别在原点的左右两旁，并且到原点的距离

相等.

【解答】解：点B和点。分别在原点的左右两旁，到原点的距离相等，所以它们表示的

两个数互为相反数.

故选：D.

【点评】本题考查了数轴上的点所表示的数及相反数等基础知识，这都是基础知识的考

查，比较简单.

15.化简三二r_+且上的结果是（）

x-yy-x

A.x+yB.x-yC.-^11D.

x-yx+y

【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果.

2上2o

【解答】解：原式=2土匕-且T

x-yx-y

=x+y-2xy

x-y

2

=（x-y）

x-y

—x-y.

故选：B.

【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.现有下列命题：①若5』25,则5^=50；②若从则4—>T—；③若/

C+1C+1

=>2,则尢=丫，其中真命题有（）个

A.3B.2C.1D.0

【分析】根据幕的乘方、不等式的性质和平方判断即可.

【解答】解：①若5、=25,则52，=625,原命题是假命题；

②若则,是真命题；

C+1C+1

③若/=/，则*=>或*=--原命题是假命题；

故选：C.

【点评】此题考查命题与定理，关键是根据基的乘方、不等式的性质和平方判断命题的

真假解答.

17.有理数a,b在数轴上的对应点如图，下列式子：①心0>匕；②|6|>同；③h<0；

@a-b>a+b-,⑤且V-1,其中错误的个数是（）

b

---------1-------------------1-----------1----------►

a0b

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用数轴，结合绝对值的意义和有理数的乘除法法则进行逐一判定.

【解答】解：从数轴上可以看出a<0,b>0,且间>创.

则：①错误；

②物>间，错误.

Va<0,b>0,

ab<0.

.,•③Q6V0,正确.

VZ?>0,

，-b<0.

/.-h<b.

:.a-b<a+b.

・••④a-b>a+b,错误.

V\a\>\bfa<0,b>Of

•\a<一h.

，曳<一1・

b

・•.⑤里v-l,正确.

b

综上，错误的个数有3个，

故选：C.

【点评】本题主要考查了有理数的乘法，数轴上点与实数的绝对值的关系.

18.下列各数：-3.141592,-“，-0.16,{]02,-口，0.1010010001-,g,相，

-0.；，近是无理数的有（）个.

A.5B.3C.4D.2

【分析】直接利用无理数的定义分析得出答案.

【解答】解：-3.141592,-V3--0.16,^^2=10,-IT,0.1010010001我，

-0.2.近=2正是无理数的有：-TT,0.1010010001-,狗，近共5个.

故选：A.

【点评】此题主要考查了无理数的定义以及二次根式的性质与化简，正确化简各数是解

题关键.

二.填空题（共14小题）

19.分解因式：8/-2。=2〃（44-1）.

【分析】直接提取公因式2a,进而得出答案.

【解答】解：8J-2a—2a（4a-1）.

故答案为：2a（4a-1）.

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

20.2021年3月5日李克强总理在2020年工作总结中指出，城镇新增就业11860000人，

将数据11860000用科学记数法表示为1.186X107.

【分析】科学记数法的表示形式为〃X10"的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值>10时，〃是正数；当原数的绝对值VI时，”是负数.

【解答】解:将11860000用科学记数法表示是1.186X107.

故答案为：1.186X1()7

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其

中lW|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及力的值.

21.分解因式：-2?+8x-8=-2(x-2)2.

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=-2(？-4x+4)

=-2(x-2)L

故答案为：-2(X-2)2.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本

题的关键.

22.计算与二-三2的结果是

a-6a+9a-3a-3

【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算即可求出值.

【解答】解：原式=S+3)(a；3)-空旦

(a-3)2a-3

a+3_a+2

a-3a-3

=1

故答案为：_J_.

a-3

【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

23.近似数0.45的有效数字有2个.

【分析】根据有效数字的定义求解.

【解答】解：近似数0.45的有效数字有2个.

故答案为2.

【点评】本题考查了有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，

所有的数字都是这个数的有效数字.

24.若3。和-2V”产是同类项，则m-3〃=-1.

【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同，求得〃的值,

再计算即可.

【解答】解：根据题意，得：〃?=2,〃=1,

3〃=2-3X1=2-3=-1,

故答案为：-1.

【点评】本题主要考查同类项，解决此类问题的关键是牢记同类项的“两相同”.

25.若|x-2|+Cx-y-1)2=0,则多项式-厂(/+2/)的值为-7.

【分析】由仇-2|+(x-y-1)2=0,可求出x、y的值，再代入计算即可.

【解答】解：因为|x-2|+(x-y-1)2=0,

所以x-2=0,x-y-1=0,

解得，x—2,y—1,

所以-y-(/+2/)=-1-(4+2)=-7,

故答案为：-7.

【点评】本题考查非负数，理解绝对值、偶次幕的性质是解决问题的关键.

26.如图是一个数值运算的程序，若输出y的值为5,则输入的值为4或-4.

/输入/~~»平方f-1-*+3—tHj/

【分析】根据代数式求值，可得答案.

【解答】解：设输入的数为X,

由运算程序得：

(7-1)+3=5,

解得xi=4,XI--4,

故答案为：4或-4.

【点评】本题考查了代数式求值，利用运算顺序运算是解题关键.

27.定义两种新运算，观察下列式子：

(1)x&y—4x+y,例如，16*3=4X1+3=7；30(-1)=4X3+(-1)=11；

(2)因表示不超过x的最大整数,例如，[2.2]=2；[-3.24]=-4；

根据以上规则，计算[1®(-i-)]+[(-2)®-1-

【分析】根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值.

【解答】解：由题意可得，

[le(-y)]+[(-2)吟]

=[4*1+(-A)]+[4X(-2)+至]

24

=[4+(-!.)]+[(-8)+li]

24

=[3.5]+[-卫]

4

=3+(-4)

=-1,

故答案为：-1.

【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方

法.

28.在式子厂2中尤的取值范围是x>-1

【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答

案.

【解答】解：由题意得，x+l>0,

解得，x>-\,

故答案为：x>-1.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被

开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键.

29.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一

列数：1,3,6,10,…,分别记为ai=l,42=3,“3=6,04=10,…，那么ail的值是

66.

1

11

121

1331

14641

【分析】本题通过对数据的分析可知第〃项是还A,进而得到答案.

2

【解答】解：第一个数为：1X(1+D,

2

第二个数为：2X(2+D,

2

第三个数为：3X(3+1),

2

第四个数为：4X(4+1),

2

第〃个数为：n(n+l),

2

所以UX(11+1)..

所以a]]=------------=66-

故答案为：66.

【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生有很好的观察，分析，归纳的能力，从数

据中找出规律是解决问题的关键.

30.若2021"'=5,2021"=8,则20212""=25..

一8一

【分析】根据同底数基的除法法则以及累的乘方运算法则求解即可.

【解答】解：V2021™=5,2021"=8,

.••202依”=2020+2021'=(202j)?+202ln=52+崂.

故答案为：25.

8

【点评】本题主要考查了同底数幕的除法以及暴的乘方，熟记幕的运算法则是解答本题

的关键.

22n-l

31.若单项式-2%「吩3与三工一是同类项，则征=1.

【分析】根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同)列出方程组，求出〃,

，〃的值，再代入代数式计算即可.

22n-l

【解答】解：因为单项式-2?Fy3与7——是同类项，

所以尸2,

12n-l=3

解得修1,

ln=2

所以mn=(-1)2=1.

故答案为：L

【点评】本题考查了同类项、方程思想，是一道基础题，熟记同类项的定义是解答本题

的关键.

32.观察下面的式子：=1-工，-J—=1-1,可以发现它

1X222X3233X434

们的计算规律是，1、=』-」」(〃为正整数).若一容器装有1升水，按如下要求

n(n+l)nn+1

把水倒出：第一次倒出上升水，第二次倒出的水量是上升水的工，第三次倒出的水量是』

2233

升水的』，第四次倒出的水量是上升水的工，…，如此下去，第〃次倒出的水量是上升

445n

水的」按这种倒水方式，前〃次倒出水的总量为升.

n+1n+1

【分析】根据题意，易知倒出的水的规律，第n次倒出的水=,1、，然后逐次相加

n(n+l)

即可得到答案.

【解答】解:根据题意可知

第一次倒出:1

1X2,

第二次倒出:1

2X3,

第三次倒出:1

3X4,

第〃次倒出：__L_,

n(n+l)

…+工_

-1,-1...=i-1+1--11=1_1=

1X22X33X4n(n+l)22334nn-1n-1

n

n+1'

故答案为：_22_,

n+1

【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是注意寻找规律.

三.解答题(共8小题)

33.计算：[(3X3)2-4x4,x2]-j-x3.

【分析】原式括号中利用积的乘方与嘉的乘方运算法则，以及同底数累的乘法法则计算，

再利用多项式除以单项式法则计算即可求出值.

【解答】解：原式=(9/-4x6)4-x3

=513.

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

34.先化简，再求值：2-(。+匕)(a-b),其中。=-3,b=2.

【分析】根据整式的混合运算顺序进行计算，然后代入值计算即可.

【解答】解：(。-万)之-(〃+万)(4-。)

=(。-6)(a-b-a-b)

=-2b(a-b),

当a=-3,b=2时，

原式=--2X2X(-3-2)

=20.

【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的混合

运算，再代入值.

35.先化简，再求值(工」一)+其中x为整数且满足不等式组.

xx-1x2_x[2x+9<5

【分析】先对分式进行混合运算，再根据不等式组的解和分式有意义的条件确定x的值，

代入求值即可.

【解答】解：原式=[产1_女门(x_i)

x(x-l)x(x-l)

-x-l-2x.x(x-i)

x(x-l)

=-X-1；

，

解不等式组JX4-1Q

2x+9<5,

得-2cx<2,

由于x#0、x/1且x为整数，

••X~~-1.

当X--1时，

原式=1-1—0.

【点评】本题考查了分式的化简、一元一次不等式组的解等知识点，掌握分式的混合运

算、一元一次不等式组的解法是解决本题的关键.

36.计算:

(])_[202。+(_5)2-|-3|;

(2)-Ax|l-(-2)3|-(上上)X24.

983

【分析】(1)先计算乘方和绝对值，再计算加减即可；

(2)根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可.

【解答】解：(1)原式=-1+25-3=21；

(2)原式=-上X|l+8|-(AX24-2.X24)

983

=-JLX9-2X24+2X24

983

=-1-3+16

=12.

【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和

运算法则.

37.如图①所示，一个长方形的长为2”，宽为幼，沿图中虚线用剪刀将其平均分成完全相

同的四个小长方形，然后按图②所示的方式拼成一个正方形.

(1)图②所示的阴影部分图形的面积为(a-b)2(用含a,6的代数式表示)；

(2)观察图②，请你写出(a+b)2,(a-6)2,4ab这三个代数式之间的关系是(“+/，)

2=(a-b)2+4》(写出一个就可以).

(3)根据(2)中的结论，若根+〃=3,求〃的值.

【分析】(1)观察图形很容易得出图②中的阴影部分的正方形的边长等于依据小

正方形的边长可得阴影部分面积；

(2)观察图形可知大正方形的面积(a+b)2,等于阴影部分的正方形的面积(«-b)2

加上四块小长方形的面积4a6,即Ca+b)2=(a-b)2+4ab；

(3)由(2)得出的关系式可求出，〃-”的值.

【解答】解：(1)根据图形可观察出：阴影部分的边长为。-b,

阴影部分图形的面积可表示为：(a-2,

故答案为：(〃-6)2；

(2)大正方形的面积为：(a+b)2,四个矩形的面积和为4",

阴影部分图形的面积为(a-h)2,

(a+6)2=(a-b)2+4ab,

故答案为：((/+8)2=Qa-b)~+4ab\

(3)由(2)可得(.m+n)2—(m-w)2+4mn,

•.*m+n—3,mn—1,

:.(m-n)2=32-4x1=泥，

-n—±

【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的

方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用.

38.先化简后求值：

(1)求(X-1)(2r+l)-2(X-5)(x+2)的值，其中x=工；

5

(2)求(2x-3y)2-(3x+y)(3x-y)的值，其中x=2,y=-l.

【分析】(1)先运用多项式乘多项式的法则及分配律去括号，再合并同类项得出最简整

式，然后代入x的值计算即可；

(2)先运用平方差公式、完全平方公式及分配律去括号，再合并同类项得出最简整式,

然后代入y的值计算即可.

【解答】解：(1)(x-1)(2x+l)-2(x-5)(x+2)

=27-x-1-2(x2-3x-10)

=27-JC-1-2X2+6JV+20

=5JC+19.

当x=L时，原式=5X_L+19=20；

55

(2)(2x-3y)2-(3x+y)(3x-y)

=4J？-I2xy+9y2-9j?+y2

=-57-12X)，+10)2.

当x=2,y=-1时，原式=-5X22-12X2X(-1)+10X(-1)2=-20+24+10=14.

【点评】此题考查了整式的混合运算及化简求值，涉及到乘法公式，多项式乘多项式的

法则，去括号法则，合并同类项的法则，注意利用公式及运算律可使计算简便.

39.计算:

(1)-吁+(1__1——).

m+1m-1m-2m+l

(2)4-X-2—.

x+1X2+2X+1

22

(3)先化简，再求值：(Xf+1+x-4)+工，且x为满足-3Vx<2的整数.

x-xX2+2Xx

(4)解方程：x：l=i

2x+l4x2-1

【分析】(1)根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可得出答案；

(2)根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可得出答案；

(3)根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件整数x的

值，代入计算即可；

(4)先去分母化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可.

【解答】解：(1)原式=2-^_孚岸_+严一21"?-_

22

m+1(m+l)(m-l)(m-i)(m-l)

9

_2_m-2-m-2m

2

m+1(m+1)(m-l)(m-i)

=2_irr2•(m-l).

m+1(m+1)(m-l)m(m-2)

_2_nrl

m+1m(m+l)

_2m_m-l

m(m+l)m(m+l)

=m+1

m(m+l)

=—1.；

m

2

(2)原式=(21一］_X_1)+_X£2_

x+1