高中数学任意角的三角函数复习

高考数学必胜秘诀(4)

三角函数

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有

作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负

半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，

就认为这个角不属于任何象限。

3.终边相同的角的表示：

(1)a终边与。终边相同(a的终边在。终边所在射线上)<=>a=e+2Qr(ZeZ),注

意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角一1825°的终边相同，且

绝对值最小的角的度数是，合弧度。(答：一25；—白万)

36

(2)a终边与。终边共线(a的终边在。终边所在直线上)=a=0+k兀*eZ).

(3)a终边与。终边关于九轴对称Oa=-9+2lar(kGZ).

(4)a终边与。终边关于y轴对称oa="一8+2%%(左6Z).

(5)a终边与。终边关于原点对称oa=〃+9+2攵〃(Z^Z).

(6)a终边在x轴上的角可表示为：a=k7i,kGZ；a终边在y轴上的角可表示为：

a=k7v+—,k^Z；a终边在坐标轴上的角可表示为：a=—,Z:GZ.如a的终边与王的

226

7T

终边关于直线y=x对称，则&=。(答：2br+g■，左eZ)

4、a与彳的终边关系：由“两等分各象限、一二三四''确定.如若a是第二象限角，

则丝(Y是第象限角(答：一、三)

2

5.弧长公式：/=|a|R,扇形面积公式：S=1//?=1|a|??2,1孤度(lrad)=57.3.

如已知扇形A0B的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。(答：2cm2)

6、任意角的三角函数的定义：设a是任意一个角，P(x,y)是a的终边上的任意一点

(异于原点)，它与原点的距离是r=j£+y2>o,那么sina=),cosa=±,

v犬rr

tan(7=—,(x^0),cota=—(ywO),seca=—(xwO),csca=—(yw0)。三角函

xyxy

数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如(1)已知角a的终边经过点P(5,

72m—3

一⑵，则sina+cosa的值为。(答：---)；(2)设a是第三、四象限角，sina=------,

134一根

3IsinaIcos<z

则加的取值范围是_______（答：（-1,-））；（3）若^------+------=0,试判断

2sina|cosa|

cot(sina).tan(cosa)的符号(答：负)

7.三角函数线的特征是：正弦线MP”站在x轴上(起点在x

轴上)"、余弦线0M“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站

在点A(l,0)处(起点是A)”.三角函数线的重要应用是比较三

角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若一上TT<6<0,则

8

sin。,cos。,tan。的大小关系为_____（答：tanevsindccosd）；（2）若a为锐角，

则a,sine,tana的大小关系为_______（答：sina<«<tana）；（3）函数

y=J1+2cosx+lg(2sinx+C)的定义域是(答：(2女万一。,2人乃+$](左eZ))

8.特殊角的三角函数值:

30°45°60°0°90°180°270°15°75°

]_双旦

sina2010-1

2V44

j_显叵

cosa旦近10-10

2~T244

//

tanaV31002-V32+y/3

~T百

/

是

cotaV31002+A/32-V3

3/

9.同角三角函数的基本关系式：

(1)平方关系：sin-a+cos-cr=1,1+tan-cr=seca,l+cot~a=csca

(2)倒数关系：sinacsca=l,cosaseccif=1,tantzcota=l,

/c、士包上七sinacosa

（3）商数关系：tana=----,cota=-----

cosasina

同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三

角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值为尽可能地压缩

角的范围，以便进行定号;在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，

而是另版转角的范南焉定三角函数瓦瓦容号，互利再需瞽高三角形求出此三角函数值的绝对

值。如（1）函数y=.吧a+tana的值的符号为一（答：大于。）；

cosa+cota

（2）若0V2xK2），则使Jl-sin22x=cos2x成立的x的取值范围是____（答:

jr3

［0,-］彳肛乃］）；

44

(3)已知sin£="~,COS0--~—(―<0<7r),则tan6=___(答：一&)；

m+5m+5212

/,、,tana,sina-3cosa.c

(4)已知--------=-1,贝(I------------=___；sin2a+sinacosa+2=

tana-1sina+cosa

(5)已知sin200°=a,则tanl60°等于

aa„Vl-a2.Vl-a2…

A、]B、,-C、---------D、--------------(答：B)；

Vl-a2Vl-a2aa

(6)已知/(cosx)=cos3x,则/(sin30°)的值为(答：一1)。

10.三角函数诱导公式（K乃+a）的本质是：奇变偶不变（对左而言，指左取奇数或

2

偶数），符号看象限（看原函数，同时可把a看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的

三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k万+a,0Wcr<2%；（2）转化为锐

q7r7万-Z?

角三角函数。如（1）cos---1-tan（----）+sin217的值为（答：---------）；

4623

4

（2）已知sin（5400+a）=—g,则cos（a—2700）=,若a为第二象限角，则

[sin(180°-a)+cos^z-360°)]2_

。（答：—；-----）

tan(l800+a)5100

n、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

sin(2±/?)=sin&cos0±cosasinp―令》sin2a=2sinacosa

cos(a±/?)=cosacos/年sinasin°-令>cos2a=cos2a—sin2a

J=2cos2a-I=l-2sin2a

tan(7±tan/?21+cos2a

tan(a±(3)=>cosa=--------

14tanatanp2

.2l-cos2a

sina=--------

2

2tana

tanla

1-tan2a

如下列各式中，值为‘的是

(1)A、si〃15cos15B、cos1---sin1—

21212

tcm22.511+cos30

C、1Tm222.5D>V2~(答：C)；

（5）已知tan110°=。，求tan50°的值（用a表示）甲求得的结果是,乙求得的结

1+,3。

\-a

果是-----,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）

2a

12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首

先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第

二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有：

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、

两角与其和差角的变换.如a=（a+〃）一/7=（1—尸）+/，2a=（a+〃）+（a-〃），

2a=(4+a)_(4一a),a+^2-^-,守=1_"一佟_4)等),

271\713

如(1)已知tan(a+/?)=《,tan(/7—1)=[,那么tan(o+w)的值是(答：不)；

(2)已知0<,,va<万，且cos(a,si/i(5-0)=个,求cos(a+，)

的值（答：—）;

729

3

(3)已知/月为锐角，sina=x,cos〃=y,cos(a+^)=--,则y与x的函数关系为

_____(答：y=--\/l-x2+­%(-<%<1))

555

(2)三角函数名互化(切割化弦)，如(1)求值sin50(1+石tan10)(答：1)；(2)已

,sinacosa/小2、4（Q、、皿七iI、

知----------=I1,tan（fz-/?）=一一，求tan（尸一2a）的值（答：一）

l-cos2a38

⑶公式变形使用（tan二±tan/=tan（a土尸）（1.tanatan/3^。

如（1）已知A、B为锐角，且满足tanAtan3=tanA+tan3+1，则cos（A+B）=

(答:-争;

(2)设ZVIBC中，tanA+tanB+6=仆tanAtariB,sinAcosA=——,则此三角

4

形是—三角形(答：等边)

(4)三角函数次数的降升(降嘉公式)：cos2a=*°s2q,sin2a=1二c°s2a与升

22

3

累公式：1+COS2Q=2cos，l-cos2a=2sin?a）。如⑴若aw（肛一万），化简

2

—+—cos2a为（答：sin?）；（2）函数/（x）=5s讥元cosx—5>Acos2x

V2

57T57r

+一G(XER)的单调递增区间为（答：［k兀一一,k兀+—］（keZ））

21212

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

,,4、z.、sina+tana/氏.、

如(1)tana(cosa-sma)+---------------(答：sina)；

cota+esca

i।•1+tana—

（2）求证：1+sma=——2;

l-2sin2-1-tan"

22

2cos4x-2cos2x+—［

（3）化简：---------------（答：—cos2x）

2tan（--x）sin2（—+x）一

44

（6）常值变换主要指“1”的变换（l=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanxcotx

3

=tan4=sin-J=等），如已知tana=2,求sin2a+sinacosa—3cos2a（答：二）.

425

⑺正余弦“三兄妹一sinx±cosx>sinxcosx”的内存联系---“知一求二”，

/一］

如（1）若sinx±cos%=f,则sinxcosx=（答：±---）,特别提醒：这里

2

/£［一0,血］；（2）若a£（0,»）,sina+cosa=工，求tana的值。（答：_，+币）；

23

（3）已知s’—2a+2sin4=%（工<丁〈工）,试用2表示sina-cosa的值（答：

1+tana42

J1-k)(>

13、辅助角公式中辅助角的确定：4sinx+/?cos%=sin(x+6)(其中8角所

在的象限由a,6的符号确定，。角的值由tan9=?确定)在求最值、化简时起着重要作用。

a

如(1)若方程411%一63$》=。有实数解，则c的取值范围是.(答：[-2,2])；

3

(2)当函数y=2azsx-3si〃x取得最大值时，5%的值是(答：——)；

2

(3)如果/(x)=sin(x+o)+2cos(x+e)是奇函数，则tan°=__(答：—2)；

31

(4)求值:+64sin220°=(答：32)

sin220°cos220°

14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数丁=5布》和余弦函数y=cosx图象的作图

TT37r

方法：五点法：先取横坐标分别为0,上,万,",2万的五点，再用光滑的曲线把这五点连接

22

起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

15,正弦函数〉=$m](%6尺)、余弦函数.丫=8$尤(xeR)的性质：

(1)定义域：都是Ro

jr

(2)值域：都是[-1,1],M=sinx,当x=2攵乃+万(攵£Z)时，y取最大值1；当

37r

x=+EZ)时，y取最小值一1；对y=cosx,当x=2匕cZ)时，y取最

大值1,当x=2Z»+万(女cZ)时，y取最小值一1。

JI31

如(1)若函数y=。一力sin(3x+—)的最大值为一，最小值为——，则。=_,b=—

622

(答：=1或〃=—1)；

2

(2)函数=sinx+J^cosx(XG[--,—])的值域是____(答：[—1,2])；

22

(3)若2。+，=",则y=cos/3-6sina的最大值和最小值分别是_(答：7；—5)；

(4)函数/(x)=2cosxsin(x+q)-Gsin2x+sinxcosx的最小值是,此时1

TT

—(答：2；kn-\----(keZ))；

12

(5)已知sinacos£=；,求，=sin/cosa的变化范围(答：[0,^-])；

(6)若sin?Q+Zsin?〃=2cosa,求y=sin2a+sin2/7的最大、最小值(答：

ymax=l,ymin=2V2-2)o特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘

正余弦函数的有界性了吗？

(3)周期性：®y=sinx,y=cosx的最小正周期都是2万；②/(x)=Asin(<yx+^)

2乃

和/(x)=Acos(5+。)的最小正周期都是T=——o

如⑴若/(x)=siny,则/(1)+/⑵+/(3)++/(2003)=_(答:0)；

(2)函数/(尢)=cos4x—2sinxcosx

—sir/x的最小正周期为一(答：7i)；

TT7T

(3)设函数/(x)=2sin(]X+—),若对任意xeA都有/(匹)4/(幻4/(乙)成立,

则|X]I的最小值为____(答：2)

(4)奇偶性与对称性：正弦函数>=蜘%。6/?)是奇函数，对称中心是(左耳0)(左€2),

■TT

对称轴是直线x=A»+W(&wZ)；余弦函数y=cosx(xeR)是偶函数，对称中心是

^k7r+^,(^(k&Z),对称轴是直线x=%(AeZ)(正(余)弦型函数的对称轴为过最高

点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点)。如(1)函数

y=s山(号一2xJ的奇偶性是(答：偶函数)；(2)已知函数

〃无)=6+0加3%+](。力为常数)，且/(5)=7,则〃-5)=(答：-5)；(3)

函数y=2cosx(sinx+cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是、

(答：(-------,1)(kZ)、x=---1—(keZ))；(4)已知

2828

/(x)=$山(工+。)+百。。5(工+。)为偶函数，求。的值。(答：9=k兀+%(keZ))

6

(5)单调性：y^sinx^2k7r-^,2k7r+^(&eZ)上单调递增，在

jr37r

2k7r+—,2k7r+(左eZ)单调递减；y=cosx在[24万,24万+%](左wZ)上单调递减，

在[2Qr+肛2左左+2"](%€2)上单调递增。特别提醒，别忘了ZeZ!

16、形如y=AsinQyx+o)的函数：

(1)几个物理量：A—振幅；/=(一频率(周期的倒数)；。尤+。一相位；0—初

相；

(2)函数y=Asin(0x+°)表达式的确定：A由最值确定；co

由周期确定；°由图象上的特殊点确定，如

JT

/(x)=Asin«yx+0)(A>O,0>O,|Q|<一)的图象如图所示，则

1571

/(%)=(答：/(x)=2sin(yx+y));

(3)函数y=Asin(/yx+°)图象的画法：①‘'五点法”---设乂=5+夕，令*=

jr37r

0,。，»，二,2〃求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：

22

这是作函数简图常用方法。

(4)函数y=Asin(0x+0)+k的图象与y=sinx图象间的关系：①函数y=sinx的

图象纵坐标不变，横坐标向左(0>0)或向右(0<0)平移|例个单位得y=sin(x+0)的

图象；②函数y=sin(x+G)图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的工，得到函数

(0

y=sin(〃)x+e)的图象；③函数y=sin(〃zr+0)图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的

A倍，得到函数丁=Asin(&x+°)的图象；④函数y=Asin(s+°)图象的横坐标不变，

纵坐标向上(%>0)或向下(%<0),得到y=Asin(s+e)+左的图象。要特别注意，

若由y=sin(ox)得到y=sin(s+0)的图象，则向左或向右平移应平移|?|个单位，

CD

rr

如(1)函数y=2sin(2x—2)—1的图象经过怎样的变换才能得到y=sinx的图象？

4

(答：y=2sin(2x—?)—1向上平移1个单位得y=2sin(2x—()的图象，再向左平移今

个单位得>=2sin2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y=2sinx的图象，最后将纵坐

标缩小到原来的g即得y=sin尤的图象)；

X7TX

(2)要得到函数y=cosq—3的图象，只需把函数y=s呜的图象向—平移

TT

个单位(答：左；-);

2

74

(3)将函数y=2sin(2x-7)+l图像，按向量。平移后得到的函数图像关于原点对称,

这样的向量是否唯一？若唯一，求出“；若不唯一，求出模最小的向量(答：存在但不唯一，

TT

模最小的向量4=(一一,-1))；

6

(4)若函数/(力支€«%+w11乂卜€[0,2句)的图象与直线)=4有且仅有四个不同

的交点，则左的取值范围是(答：[1,夜))

(5)研究函数>=Asin(@x+。)性质的方法：类比于研究y=sinx的性质，只需将

y=Asin(⑦x+夕)中的的+0看成y=sinx中的x,但在求y=Asin(<yx+0)的单调区

间时，要特别注意A和切的符号，通过诱导公式先将。化正。

TT57L

如(1)函数y=sin(-2x+—)的递减区间是___(答/kji----肛+—](keZ))；

31212

xTT337r

(2)y-logi的递减区间是_____(答：［6k兀一］兀，6k兀+1］(keZ))；

(3)设函数/(x)=Asin(GX+0(Aw0,G>0,—CQC^)的图象关于直线x=对称,

它的周期是7，则A、/(x)的图象过点0,g)B、/(x)在区间[言,用]上是减函数C、

/Q)的图象的一个对称中心是(意,0)D、/(X)的最大值是A(答：C)；

(4)对于函数/(x)=2sin[2尤+给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②

图象关于直线x=自TT成轴对称;③图象可由函数y=2sin2x的图像向左平移;T•T个单位得到;

④图像向左平移上7T个单位，即得到函数y=2cos2x的图像。其中正确结论是(答：

②④)；

(5)已知函数/(x)=2sin(s+°)图象与直线y=l的交点中，距离最近两点间的距

离为2TT,那么此函数的周期是_______(答：乃)

3—

17、正切函数y=tanx的图象和性质：

7T

(1)定义域：｛xlxk'+brMeZ｝。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数

的定义域了吗？

(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；

(3)周期性：是周期函数且周期是万，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是

一个周期不。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加

绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝

对值，其周期性不变，其它不定。如丫=5山2%、=忖11鹏的周期都是乃，但卜=卜也乂

rrjr1jr

+|cosx|的周期为一，而c=|2sin(3x——)+—|,y=|2sin(3x——)+2|,y=|tanx|的周

2626

期不变；

(4)奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是(当,0)(女62),特别提醒：正(余)

切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但

无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

(5)单调性：正切函数在开区间(一5+&匹^+人》)(％€2)内都是增函数。但要注意

在整个定义域上不具有单调性。如下图：

y=Atan（5+°）

F

--・・...y

7厂邻中心gx/=TH邻渐近线卜「士仁丁

★无对称轴

无弟对称中心：无为对称轴：

无为对称中心:任意一条),轴的垂线与正切

由尸由y=0或y无意义确定由数图象都相交.且相邻两

文疝的距离为一个周期！

18.三角形中的有关公式：

(1)内角和定理：三角形三角和为万，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不

能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角

形。二内通都是锁固<=>=内魂、的余弦值为正值O任两旗和都是钝角O隹意两边的干

方和大于第三边的平方一

⑵正弦定理：就^=岛=春为三角形外接圆的半径).注意：①正弦

定理的一些变式：（i）a:Z?:c=sinA:sin3:sinC；（ii）sinA=—,sinB=—,sinC

I，'）2R2R

c

(i")a=2RsinA,Z?=2Hsin3,b=2HsinC；②已知三角形两边一对角，求解三

~2R

角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

（3）余弦定理：/=〃+/—2/7CCOSAcosA=〃+£2—,等,常选用余弦定理鉴定

2bc

三角形的形状.

⑷面积公式：S==4"sinC=4r（a+8+c）（其中「为三角形内切圆半径）.

如A45c中，若sin?Acos?B-cos2Asin?Busin2C,判断A45C的形状（答：直

角三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A+B+C=»这个特殊性：

A+B=^--C,sin（A+B）=sinC,sin^-^=cos—；（2）求解三角形中含有边角混合关

22

系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）AABC中，A、B的对边分

别是a、b,且A=60,a=«，。=4,那么满足条件的A48cA、有一个解B、有

两个解C、无解D,不能确定（答：C）；（2）在八48。中，A>B是sinA>sbiB成立

的条件（答：充要）；（3）在A4BC中，（\+tanA）（\+tanB）=2,则/og2s讥C=

（答：一,）；⑷在AABC中,a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若

2

（a+b+c）（sinA+sinB-sinC）=3asinB,则ZC=___（答：60）；（5）在AA8C中，

〃2+川_/

若其面积S-,则NC=—(答：30)；(6)在AABC中，4=60,b=l,

4V3

(答：拽9)；(7)在4

这个三角形的面积为百，则A4BC外接圆的直径是

3

ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，a=J^,cosA=1,则2B+C.-)2-L.

cos------=,/r+c-的

32-

19

最大值为（答：）；（8）在aABC中AB=1,BC=2,则角C的取值范围是

32

jr

（答：0<C42）；（9）设0是锐角三角形ABC的外心，若NC=75,且

6

乙4。3,凶。。,公。。4的面积满足关系式之08+5岫”=右54°3,求NA（答：45）.

19.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsina表示一个角，

TF7T

这个角的正弦值为。，且这个角在-上，上内（一iWaWl）。（2）反正弦arcsinx、反余弦

22

arccosx、反正切arctanx的取值范围分别是[一任二],[0,划,（一生二）.

2222

在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的

倾斜角、乙到4的角、4与4的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？

（0,f],。!],[0㈤，[o㈤，[0㈤,[0,《）,[0㈤.

222

20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，

其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

如（1）若a,〃e（0,%）,且tana、tan4是方程》2-5%+6=0的两根，则求a+4

的值______（答：—）;

4

TT

（2）AABC中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则NC=________（答：一）；

3

（3）若OKa</?</<2〃且s山a+s%，+si〃7=O,cosa+cos。+cosy=b,

27r

求夕一a的值（答：—）.

考点剖析

考点一：任意角的三角函数

1.掌握角的概念的推广、正角、负角、象限角，终边相同的角的表示,

2.掌握弧度制、弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式.

主要方法：

本节内容大多以选择、填空题形式出现，要重视一些特殊的解题方法，如数形结合法、

代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法、另外还需掌握和运用一些基本结论.

7T

例1.若。,万£(0,5)，且sina-cos1<0,贝U(C)

777T

(4)a<Q(B)a>/3(C)«+/?<y(D)a+

(7

例2.(1)如果c是第一象限的角，那么上是第几象限的角？

3

(2)如果a是第二象限的角，判断？m(c°sa)的符号.

cos(sina)

式

解：(1)V2kji<a<2k7i

.2k冗a2々乃7t,7

・------<—<-----+—，keZ,

3336

a71cl

当k=3n(n£Z)时，2/vr<—<2nji+—,«GZ,一是第一象限的角，

363

27rryCI

当左=3〃+1(〃EZ)时，2〃乃+』<上<2〃"+',〃£Z,上是第二象限的角，

3363

4-jra37ra

当左=3九+2(〃6Z)时，2〃乃+——<—<2〃万+2—Z,—是第三象限的角.

3323

n

二3是第一，二，三象限的角.

3

(2)a是第二象限的角，一lvcosa<0,0<sincr<1,

•/、八/•、八.sin(cosa)

sin(cosa)<0,cos(sina)>0,..------------<0n.

cos(sina)

例3.已知锐角a终边上的一点P坐标是(2sin2,—2cos2),则。=(C)

一71

(A)2⑻-2(c)2-f(D)j-2

例4.扇形AO3的中心角为26,半径为r,在扇形AOB中作内切圆。及与圆。外切,

与04,03相切的圆。2，问sin。为何值时，圆。2的面积最大？最大值是多少？

解：设圆a及与圆Q的半径分别为、弓，

rsin6

(r-〃)sine=4r,=---------

1+sin。

(4+G)cosg-e)=4-弓_4(l-sin。)

l+sin6

._4(1一sin，)_rsin^(1-sin^)

1+sin。(1+sin6)2'

*.*0<2^<2^,,O<0<7r,令，=sin6+l(l<，<2),

—厂+3/—21321..13口ri•八1L

1*2=------；----=-2(------)4—,当一=_,即sin8=一r时L,

t2/48r43

TT

圆。2的半径最大，圆。2的面积最大，最大面积为

考点二：同角三角函数的基本关系与诱导公式

掌握同角三角函数的基本关系式及诱导公式；并能运用这些公式进行求值、化简与证明.

主要方法：

1.利用同角三角函数的基本关系式时要细心观察题目的特征，注意公式的合理选用，

特别要注意开方时的符号选取，切割化弦是常用的方法；

2.学会利用方程的思想解三角题，对于sina+cosa,sina-cosa,sina-cosa三个

式子中，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值.

例1.化简tana(cosa-sina)+----------------

cota+csCOL

分析：切割化弦是解本题的出发点.

.sina

•z•、sinccH--------

痴h上sino(cosa-sini)cosa.

解：原式=-------------------+-------*％=sina.

cosercosa1

sinasin。

jrjr

例2.化简(1)sin(a——)+cos(a+—)；

44

3]\.TC

(2)已知;r<a<2肛cos(a—9万)=——,求cot(a------)的值.

解：(1)原式=sin(a——)+cos[—+(a——)]=sin(a——)-sin(a——)=0.

42444

33

(2)cos(a—万)=cos(a—9乃)=一1，cosa=-,

..-・.4sina4

・4vav24,・・sina=——,tana=------=—,

5cosa3

・万、兀、

..cot/(a——11—)=-co3t(--a)=-tana4

%ic/八"后为/上cosa+sina•2•2

例3.(1)右tana=，2,求值①--------；——；②2sin~a-sinacosa+cosa.

cosa-sin2

4人l-sin6x-cos6x

(2)求值;——-------.

1-sinx-cosx

1sina

l+i.5

解：(1)①原式=一整包二—二二一3—2血.

jsinor1-72

cosa

②:cos2a-----—=-,二.原式=cos2a(2tan2a-tana+1)=--------

l+tan-a33

(2)Vsin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)

=(sin2x+cos2x)2-3sin2x-cos2x=l-3sin2x-cos2x.

又sin，x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x-cos2x=l-2sin2x-cos2x.

h上l-sin6x-cos6x3

•••原式二1一面。一。。5匕=5

例4.已知sindcos。是方程4%2-4〃a+2加一1=0