不等式选讲【2023高考】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国版）（解析版）

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编

专题22不等式选讲

一、解答题

1.(2022年全国甲卷理科.第23题)已知a,b,c均为正数，且/+/+4,2=3,证明：

(1)a+h+2c<3；

(2)若b=2c,贝+

ac

【答案】⑴见解析：⑵见解析：

解析：⑴证明：山柯西不等式有［/+从+(20)［02+12+12”(°+6+2。2,

所以a+b+2c<3,当且仅当a=b=2c=l时，取等号，所以a+6+2c43；

(2)证明：因为力=2。，a>0,h>0,c>0,由(1)得a+〃+2c=a+4c<3,

即0va+4cK3,所以--->-,

<7+4(?3

由权方和不等式知工+1=上+二2&巨=」一23，

aca4ca+4。a+4。

当且仅当士1=£7,即a=l,c1时取等号，

a4c2

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'不等式的证明

【题目来源】2022年全国甲卷理科•第23题

333

2.(2022年全国乙卷理科•第23题)已知a,6,c都是正数，且.5+^^+金=］，证明:

(l)abc<-^；

ahc,1

(2)-----1------1-----4—\■；

h+ca+ca+h2^abc

333

【答案】解析：证明：因为Q>0,/?>0,c>0»则>0，>0，>0，

333

所以/+京+c，、|,

尸"以----------->\a2-b2-c2'

3

1I1333IT

即("c•尸所以奶当且仅当下=庐=5，即a=b=c=,；时取等号.

小问2详解】

证明：因为。>0,b>0,c>0,

所以Z?+c22\/bc,a+c>1\[ac,a+b>2<ab,

333

所以4三4二出22

--b--—,——b—bc<c_c

b+c2\[bc2\labc。+c2y[ac2\Jabca+b2\[ab2\[abc

333333

abc/a，b2c，+Z?2+c^1

-----1------1-----——I----T----1---T-------------------=—..

b+ca+ca+b21abe2yjabc24abc2\!abcly/ahc

当且仅当a=b=c时取等号.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲\不等式的证明

【题目来源】2022年全国乙卷理科•第23题

3.（2021年高考全国甲卷理科•第23题）已知函数/（X）=k一2|,g（x）=|2x+3|-|2x-.

⑵若〃x+a）2g（x）,求a的取值范围.

【答案】（1）图像见解析；（2）。2?

2

..f2-x,x<2

解析：（1）可得/（幻=工-2=<.「，画出图像如下:

[x—2,x>2

如图，在同个坐标系里画出F(x),g(x)图像,

>=/(x+a)是y=/(x)平移了同个单位得到,

则要使/(x+a)2g(x)，需将y=/(x)向左平移，即a>0,

1；,4)时，|；+。一2|=4,解得“或一。(舍去),

当y=/(x+a)过A

2/222

则数形结合可得需至少将y="X)向左平移蓝个单位，；.aN*

y

【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像

数形结合求解.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'含绝对值函数的图像及其应用

【题目来源】2021年高考全国甲卷理科•第23题

4.(2021年高考全国乙卷理科♦第23题)已知函数〃%)=以一4+卜+3].

(1)当。=1时，求不等式/(力26的解集；

(2)若〃x)>—a,求a的取值范围.

【答案】⑴(YO,-4]U[2,+OO).(2)[一|,+8).

解析：⑴当a=l时，/(x)=|x-l|+|x+3|,上一1|+,+3|表示数轴上的点到1和一3的

距离之和，

则/(x)>6表示数轴上的点到1和—3的距离之和不小于6,故xWT或x»2,

所以〃x)26的解集为(F,T]U[2,+X>).

-4-3012

(2)依题意f(x)>—a,即卜一+|x+3]>—a恒成立,

|x一£z|+|x+3|=|iz-JC|+|x+3|>|tz+3|,故+3]>—a,

所以a+3>-a或a+3<a,

3

解得a>—.

2

所以a的取值范围是(-g，+CO)

【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲\含绝对值不等式的解法

【题目来源】2021年高考全国乙卷理科•第23题

5.(2020年高考数学课标I卷理科•第23题)已知函数5(x)53—11.

(1)画出丁=/(幻的图像；

(2)求不等式/(x)>/(x+1)的解集.

【答案】⑴详解解析；(2)[-8,

x+3,x>1

［解析］(1)因为=,5x-l,作出图象，如图所示:

(2)将函数/(x)的图象向左平移1个单位，可得函数/(x+1)的图象，如图所示:

所以不等式F(x)>/(x+l)的解集为(-8,一，

【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数

形结合能力，属于基础题.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲\含绝对值不等式的解法

【题目来源】2020年高考数学课标I卷理科.第23题

6.(2020年高考数学课标II卷理科•第23题)已知函数/(x)=卜-/1+1x-2a+11.

(1)当。=2时，求不等式/(%)..4的解集；

(2)若/(x)..4,求。的取值范围.

【答案]⑴卜或血?卜(2)(-OO,-1]U[3,”).

解析：⑴当a=2时，/(x)=|x-4|+|x-3|.

3

当x43时，/(x)=4-x+3-x=7-2x>4,解得：x^-；

当3<x<4时，/(x)=4-x+x-3=l>4,无解；

当x24时，/(x)=x—4+x—3=2x—724,解得：x>—；

综上所述：/(x)24的解集为{x|x«|或xN1}.

(2)/(x)++2](工_々2)_(1_2〃+])|二卜/+2Q_"=(a—l)2(当

且仅当2a—1Vx<4时取等号),

.,.(a-1)2>4.解得：a<-\^a>3,

・••。的取值范围为(一》,-1川［3,+»).

【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于

常考题型.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲\含绝对值不等式的解法

【题目来源】2020年高考数学课标JI卷理科•第23题

7.(2020年高考数学课标IH卷理科•第23题)设a,b,c&R,a+b+c=0,abc=\.

(1)证明：ab+bc+ca<0；

(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值，证明：max(a,b,c}>^4..

【答案】(1)证明见解析⑵证明见解析.

解析：⑴•.•(a+O+c):=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,

uh+he+ca-——^ci~+h~+c~)

222

abc=I,/.a,b,c均不为0,则a+b+c>0.

cib+be+cci——万'+c~)<0；

(2)不妨设max{a,b,c}=a,

由a+b+c=0,abc=l可知，a>0,t><0,c<0,

122

..n_hr_32b+c+2bc^2bc+2bc.

-a--b-c,aa=a-a=-------=------------>----------=4•

bebebebe

当且仅当Z?=c时，取等号，

tz>-^4>即max{a/,c}..^/?.

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'不等式的证明

【题目来源】2020年高考数学课标111卷理科•第23题

8.(2019年高考数学课标比卷理科第23题)设x,y,zeR,且x+y+z=l.

(1)求(x-1尸+(y+l>+(z+l/的最小值；

(2)若(x—2>+(y—iy+(z—a)?》；成立，证明：“W-3或。，一1.

4

【答案】【答案】(1)§;(2)见详解.

【官方解析】(1)由于[(x-l)+(y+l)+(z+l)『

=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-l)(y+1)+(y+l)(z+1)+(z+1)(%-1)1

,,3[(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2]

故由已知得(x_l)2+(y+l)3+(z+l)2》g,当且仅当x=*'=一!z=—g

时等号成立.

4

所以(x-l)2+(y+l)3+(z+l)2的最小值为

(2)由于[(x-2)+(y—l)+(z—a)/

=(x-2/+(y—+(z—a)?+2[(x-2)(y-1)+(y-l)(z-«)+(z-«)(x-2)]

”3[(x—2)2+(y—1)-+(z—a)~]

故由已知得(x—2)2+(>—+(z—a)2…巨产，当且仅当

x=---，y=---，z=----时等写成".

333

因此(X—2)2+(>—1)2+(z—。)2的最小值为广

山题设知(2+解得-3或。2一1.

33

【解法2】柯西不等式法

(1)

[(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2](l2+l2+l2)>[(x-l)+(y+l)+(z+l)]2=(x+y+z+l)2=4

,,4511

故(x—l)2+(y+l)2+(z+l)2N§,当且仅当x=§,y=-§,z=—§时等号

成立.

所以。-1)2+(3+1)2+«+1)2的最小值为1.

(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2^-^

⑵所以

[(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2](l2+l2+l2)^l当且仅当

4-(7户尸’Z=平时等号成立•

x=

[(%_2)2+(y-1)2+(Z-a)2](12+F+尸)=。一2+y-]+z—=(a+成

立.

所以(。+2)2力1成立，所以有〃<一3或

【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题

型.

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【题目来源】2019年高考数学课标川卷理科•第23题

9.(2019年高考数学课标全国II卷理科•第23题)已知函数/(%)=上一。|%+,—2|(x—a).

(1)当a=l时，求不等式/(x)<0的解集；

(2)当时，f(x)<0,求a的取值范围.

【答案】【答案】(1)(一8,1)；(2)[1,+OO)

【官方解析】

(1)当a=l时，/(x)=|x—1|;r+|x—2|(x—1).

当x<l时，/(x)=-2(x-l)2<0；当xNl时，/(x)N0.

所以，不等式/(x)<0的解集为

(2)因为/(a)=0,所以aZl.

当a21,xe(-8,l)时，/(%)=(«-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0

所以，a的取值范围是U,一).

【分析】(1)根据a=l，将原不等式化为次一1次+|%—2|(x—1)<0,分别讨论x<l,

lWx<2，为22三种情况，即可求出结果；

(2)分别讨论a三1和a<1两种情况，即可得出结果.

【解析】

(1)当a=l时，原不等式可化为|x-l|x+|x—2](x—1)<0；

当x<l时，原不等式可化，BP(x-l)2>0,显然成立，

此时解集为(-«U)：

当lWx<2时，原不等式可化为(x—l)x+(2—x)(x—1)<0,解得x<l,此时解集

为空集；

当为22时，原不等式可化为(x-l)x+(x-2)(x-l)<0,即(x—1)2<0,显然不成

立；此时解集为空集；

综上，原不等式的解集为(-8』)；

(2)当a21时,因为xe，所以由/(x)<0可得(a-x)x+(2-x)(x-a)<0,

即(x—a)(x—1)>0,显然恒成立；所以a21满足题意；

2(x-a),a<x<1

当avl时，工、，因aWxvl时，/。)<。显然不能

成立，所以QV1不满足题意；

综上，。的取值范围是[L+8).

【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题

型.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲\含绝对值不等式的解法

【题目来源】2019年高考数学课标全国II卷理科•第23题

10.(2019年高考数学课标全国I卷理科•第23题)已知a,。，c为正数，且满足a〃c=l.证

明：

(1)—+-+-^a2+Z?2+c2；

abc

(2)(Q+b)'+(〃+c)3+(c+a)'，224.

【答案】解：⑴因为〃+加22血〃+。222",。2+〃222^,又abc=L故有

,22、7/ab+hc+ca111匚匚...

a2+cab+hc+ca-------------=—H----1.所以

abcabc

雪』+,W/+〃2+02.

abc

(2)因为a,b,c为正数且abc-1,故有

(a+“+(b+c>+(c+a)32^(a+b)\b+c)Xa+c)3

=3(a+》)(b+c)(a+c)23x(2\[ab)x(2\[bc)x(2A/OC)=24

所以(a+0)3+(0+c)3+(c+a)3»24.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'不等式的证明

【题目来源】2019年高考数学课标全国I卷理科•第23题

11.(2018年高考数学课标HI卷(理)•第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)

设函数/(x)=|2x+l|+|%-l|.

(1)画出y=/(x)的图象；

⑵当xe[0,+<»)时，/(x)<ax+b.求a+Z?的最小值.

1

-3x,x<——

2

【答案】【官方解析】⑴=<x+2,—4x<l

2

3x,x>1

>=/(%)的图像如图所示

(2)由(1)知，y=/(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大

值为3,故当且仅当a»3且人22时，在［(),中»)成立，因此a+力的最

小值为5.

3尢，x>1

【民间解析】（l）/（x）=|2x+l|+k—1|=♦x+2,—<X<\,可作出函数/（X）的

1

-3xx<——

2

(2)依题意可知“力工公+人在［1,+8)上恒成立，在［0,1)上也恒成立

当时，/(X)=3x<ar+Zr恒成立即(〃一3)x+/?N()在［l,+oo)上恒成立

所以。一320,且。一3+力之()，此时。23,a+h>3

当O«x<l时，f^x)=x+2<ax+b即(a—1)>¥+/?-220恒成立

结合a»3,可知8—220即方之2

a>3

综上可知《，所以当a=3,6=2时，a+力取得最小值5.

b>2

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'含绝对值的成立问题

【题目来源】2018年高考数学课标m卷(理)•第23题

12.(2018年高考数学课标H卷(理)•第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)

设函数/(x)=5-|x+a|-|x-2|.

(1)当a=l时，求不等式f(x)、0的解集；

(2)若〃x)Wl,求a的取值范围.

【答案】解析：(I)当a=l时，

2x+4,xW—1,

/(x)=<2,-1<x<2,

-2x+6,x>2.

可得f(x)20的解集为｛x|-2WxW3｝.

(2)穴0这1等价于|彳+0+|*-2|24.

而|x+a|+|x-2|2|a+2|,且当x=2时等号成立,故f(x)Wl等价于|a+2|24.

由|a+2]24可得aW-6或a、2,所以a的取值范围是(-00,-6]U[2,+a>).

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【题目来源】2018年高考数学课标H卷(理)•第23题

13.(2018年高考数学课标卷1(理)•第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知

/(%)=|%+1|-|以一1|.

(1)当。=1时，求不等式/(x)>l的解集；

(2)若xe(0,l)时不等式/(x)>X成立，求a的取值范围.

-2,x<—1,

【答案】解析：(1)当a=l时，f(x)=\x+l\-\x-\\,即/(x)=<2x,—l<x<l,

2,x>1.

故不等式/(x)>1的解集为｛X|X〉；｝.

(2)当x£(0,1)时|x+11—|ar—11>x成立等价于当x£(0,1)时|ax-11<1成立.

若〃V0,则当尤£(0,1)时|ar—11；

22

若。〉0,|以一1|<1的解集为0<x<—,所以一21,故0<aW2.

aa

综上，。的取值范围为(0,2].

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【题目来源】2018年高考数学课标卷1(理)•第23题

14.(2017年高考数学新课标I卷理科•第23题)［选修4—5:不等式选讲］已知函数

/(%)=—x2+tzx+4,g(x)=|x+l|+|x-l|.

⑴当a=1时，求不等式/(x)2g(x)的解集;

⑵若不等式g(x)的解集包含.求。的取值范围

【答案】⑴---j,;(2)［—1,1］.

【分析】(1)将a=l代入,不等式/(x)Ng(x)等价于d—x+|x+l|+|x-1|-4K0,

对x按x<—1,-1WXW1.X>1讨论，得出最值的解集;(2)当xe［-1,1］时,g(x)=2.若

f(x)>g(x)的解集包含［T1］,等价于当xe［—1,1］时J(x)i2,则f(x)在［-1』

的最小值必为/(T)与/(1)之一，所以f(T)22且/。)22,得TWaWl,所以a

的取值范围为［-1,1］.

［解析］(1)当a=1时,不等式/(x)>g(x)等价于/-x+B++归_1卜4<()①

当x<-1时，①式化为％2-31一440,无解；

当一IWxWl时，①式化为d-x—2<0.从而TWxWl；

当x>1时，①式化为d+x—dVO,从而l<x<I+#

所以不等式〃x)2g(x)的解集为卜-”为4卫普，

⑵当1,1］时,g(x)=2

所以/(x)之g(x)的解集包含［-1,1］，等价于当xG［-L1］时,广⑺>2

卜（-1H2

又/(%)在的最小值必为/(-1)与/(1)之一，所以，得.

所以a的取值范围为

【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题

【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法，也可以将绝对值函数转化为

分段函数，借助图像解题.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲、含绝对值的成立问题

【题目来源】2017年高考数学新课标I卷理科•第23题

15.(2017年高考数学课标III卷理科•第23题)［选修J5：不等式选讲］(10分)

已知函数/(力=卜+1|_|%_2|.

⑴求不等式〃x)21的解集；

(2)若不等式/(力2/一X+m的解集非空，求机的取值范围.

【答案】(i){%|%>1}；(n)f-oo)1

—3,x<—1

【解析】(1)因为〃力=卜+1|一|尤_2]=<2x-l,\<x<2

3,x>2

L或]x>2

所以不等式/(x)21等价于<或'

-3>12x-l>l3>1

%<-1—l<x<2.八x>2

由♦nx无解；由,=>i<x<2；由，=>x>2

-3>12x>23>1

综上可得不等式的解集为［1,+8).

(2)解法一：先求不等式/&)»/—％+机的解集为空集时用的取值范围

不等式/(%)>x2-x+m的解集为空集等价于不等式相>/(司—幺+兀恒成立

2c1

—x~+x—3,X<—I

记尸(%)=/(%)_工2+1<-x2+3x-l,l<x<2,则加〉[尸(x)]“x

—+x+3,x>2

(iy11

当X<_1时，F(X)=-X2+X-3=-|^X--J--<F(-l)=-5

当_1WXW2时，尸(x)=—f+3x—l=—(x_|)/(|)=：

当x>2时，尸(x)=—》2+%+3=—(x—g)+?<F(2)=1

所以［尸(x)1ax=/(•1)=+

所以不等式-x+加的解集为空集时，相>：

所以不等式/(x)Nx2—x+m的解集非空时，用的取值范围为1-双：.

解法二：原式等价于存在xeR,使/(x)—f+xN,〃成立，即"⑺一炉+月皿2m

设g(x)=/(x)-x?+x

—x2,+x—3,1

由(1)知g(x)=<—1?+3x—1,—1<x<2

—+x+3,x22

2

当工《一1时，g(x)=^x+x-3,其开口向下，对称轴％=

所以g(x)<g(_f)=_l_l_3=_5

3

当一l<x<2时，^(X)=-X2+3X-1,其开口向下，对称轴为x=Q

所以g(x)<g1|)=_：+T_l=：

当尤22时，g(x)=-f+%+3,其开口向卜，对称轴为x=g

所以g(x)Wg(2)=-4+2+3=l

综上[g(x)L=(

所以m的取值范围为(-甩1.

【考点】绝对值不等式的解法

【点评】绝对值不等式的解法有三种：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'含绝对值的成立问题

【题目来源】2017年高考数学课标HI卷理科•第23题

16.(2017年高考数学课标H卷理科•第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知

a>0,b>Q,a3+b3=2,证明：

(1)(a+Z>)(n,+/??)>4；

(2)a+bW2.

【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式

【基本解法】(1)解法一：由柯西不等式得：

(a+份(标+户)=[(&)2+(a2].[(6.)2+(扬从)2卜(/+〃)2=4

解法二：(。+勿(。5+/)=46+加+々。5+a5b=(/+匕3)2+々力5+一2a3)3

>(a3+b3)2+-2a3b3=(/+〃)2=4

解法三：+/;5)-4=(。+沙)(。5+〃，-(/=ab5+a5b-2a3b3

又。>0/>0,所以"5+48-2/63=",2一从『20

当。=力时，等号成立.

所以，(tz+Z?)(a5+Z?5)-4>0,即(a+»(/+/)N4.

(2)解法一：由Y+/?=2及必<(伫蛆得

4

2=(a+b)-(a2+b2—ab)-(a+b)-+b)2-3ab~^

>(a+b)-(a+b)2_3(a+b)

4

_(a+h)3

―_

所以a+b<2.

解法二：(反证法)假设a+b>2,则a>2-。，两边同时立方得：

。3>(2—。)3=8—12匕+682—。3,

即>8-122+6/,因为/+/=2,

所以6-⑵+6从<0,即

6(。一1)2<0,矛盾，所以假设不成立，

即a+〃<2.

解法三：因为/+)3=2,

所以：(a+b)'—8=(a+Z?)'-4(/+/)=/+3a2h+3ab2+by-4a3-4-lx

=3a2(Z?—«)+3/?2(«—Z?)=—3(«+/?)(«—/?)'.

又a>0,b>0,所以：-3(a+/?)(a-Z?yW0,

所以，(a+Z?y<8,即a+b42.

【考点】基本不等式；配方法

【点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的•种情况，证明思路是从已

证不等式和问题的己知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理

最后转化为需证问题.若不等式恒等变形后若与二次函数有关，可用配方法.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'不等式的证明

【题目来源】2017年高考数学课标II卷理科•第23题

17.(2016高考数学课标III卷理科•第24题)选修4—5:不等式选讲

已知函数/(x)=|2x—a|+a.

(I)当a=2时，求不等式/(%)W6的解集；

(H)设函数g(x)=,当xeR时,f(x)+g(x)23,求a的取值范围.

【答案】(I){x|-l^x^3};(II)[2,+oo).

【解析】(I)当a=2吐/(x)=|2x—2|+2.

解不等式|2x-2|+2W6,得一1WXW3.因此,f(x)W6的解集为{x|-lWxW3}.

(11)当％€1i时,.f(x)+g(x)=|2x—a|+a+|l—2x|2|2x—a+1—2x|+a=|l-a|+a

当x=L时等号成立.

2

所以当xeR时J(x)+g(x)N3等价于|l-a|+aN3.①

当aWl时，①等价于1一a+a23,无解.

当a>l时,①等价于a-l+a23.解得a22

所以的取值范围是[2,+8).

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'含绝对值的成立问题

【题目来源】2016高考数学课标III卷理科•第24题

18.(2016高考数学课标H卷理科♦第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数/(x)=|x-l|+.r+1,"为不等式〃x)<2的解集.

⑴求”；

(II)证明：当eM时，|。+可<|1+。目.

【答案】⑴M={x|-(2)见解析

—2x,xV—,

2

【官方解答】(1)/(力=<1,-1<%<1,

2x,x>—.

2

当：时，由/(x)<2得一2x<2,解得X>—1；

当一;<x<g时，〃x)<2恒成立；

当尤zg时，由/(x)<2,得2x<2,解得x<L

所以〃x)<2的解集M={x|—

(2)由(1)知，当时，一l<a<l,—\<h<\,从而

(a+l)2_(l+ab)2=a2+b2—a2b2—1=(a2-1)(1—fe2)<0.

因此<,沿+1].

【民间解答】⑴当x<-L时，f(x\=--x-x--=-2x,若

2''222

当—■时，/(x)=L-x+x+，=1<2恒成立；

22、)22

当x>g时，/(x)=2x.,若/(x)<2,g〈x<l.

综上可得，M={x|-l<x<l}.

⑵当a,be(-l,1)时，有,2_])/2_])>0

QP«2^2+l>a2+Z>2,

则a2b~++2ab+1>a?+2ab+b2,

则(出?+1)->(a+A>)-,

即|a+/?|<|«/?+1|,

证毕.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'不等式的证明

【题目来源】2016高考数学课标1【卷理科•第24题

19.(2016高考数学课标I卷理科•第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数/(x)=|x+l|-|2x-3|.

(I)画出y=/(x)的图像；

(II)求不等式的解集.

【答案】⑴见解析g)u(l，3川(5,+8)

x~4f%W—1

3

【官方解答】⑴/(x)=3x—2,,y=/(x)如图所示：

4-x,

2

(II)由/(x)得表达式及图像，当〃力=1时，得％=1或x=3

当=时，得x=；或x=5

故/(x)>l的解集为｛x[l<x<3｝；/(%)〈一1的解集为卜氏<:或彳>5

.,.|/(%)|>1,解集为1—8,|jU(L3)U(5,+oo).

【民间解答】⑴如上图所示：

x—4,xW—1

3

(II)/(%)=<3%一2,—1<x<一

2

、3

44-x,x2一

2

|小)|>1

当xW—1,卜一4|>1,解得x>5或x<3.\xW—l

3113

当-1vxv—,|3x-2|>1,解得x>l或1v—.•・-l<x<—或l<x<—

211332

a3

当x2一,|4—x|>l,解得x>5或xv3.•・一<x<3或x>5

2112

综上，x<—或1<%<3或l>5

3

解集为(一8,1ju(l)3)U(5,+8).

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'含绝对值不等式的解法

【题目来源】2016高考数学课标I卷理科•第24题

20.(2015高考数学新课标2理科•第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲

设a,b,c,d均为正数，且〃+b=c+d,证明：

(1)若ab>cd,则4a+VF>Vc+4d；

(11)、5+6>无+声是卜—4<卜一4的充要条件.

【答案】(I)详见解析；(i[)详见解析.

解析：(I)因为(G+石)？=a+8+2j^,(Vc+\[d)2=c+d+2y[cd,由题设

a+h=c+d,ab>cd,得(G+扬尸〉(五+四了.因此&+扬>无+JJ.

(11)(i)若\a-k\<\c-d\,则(a—b)2<(c—d)2.即

(a+b)2-4ah<(c+d)2-4cd.因为a+Z?=c+d,所以必〉cd,由(I)得

4a+\Jb>\[c+\[d.

(ii)若4a+s[b>4c+\[d,贝！I(G+扬>>(W+,即a+b+2y[ab>

c+d+2\[cd.因为a+A=c+d,所以ah>cd,(a-b)2=(a+b)2-4ab

<(c+d)?-4cd=(c-d)2.因此]。一可<上一4，综上，&+〃>无+4是

m―4<卜一《的充要条件.

考点：推理证明.

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'不等式的证明

【题目来源】2015高考数学新课标2理科•第24题

21.(2015高考数学新课标1理科•第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数/(x)=|x+l|—2|x-a|,a>0.

(1)当。=1时，求不等式f(x)>1的解集；

(11)若/(幻的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围

2

【答案】(I){x|-<x<2}(ll)(2,+oo)

分析：(I)利用零点分析法将不等式f(x)>l化为一元一次不等式组来解；(H)将/(x)

化为分段函数，求出/(x)与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根

据题意列出关于。的不等式，即可解出。的取值范围.

解析：(I)当a=l时，不等式f(x)>l化为|x+l卜2伙-1|>1,

…x<-1f-1<x<lfx>1,2

等价于，或4或4，解得*<xv2,

—x—1+2x—2>1x+1+2x—2>1x+1—2x+2>l3

2

所以不等式f(x)>l的解集为{x[§<%<2}.

x—1—2a,x<—1

(H)由题设可得,f(x)=<3x+l-2a,-l<x<a,

-x+l+2a,x>a

所以函数/(x)的图像与无轴围成的三角形的三个顶点分别为4笥°,0)，

2

5(2a+l,0),C(a,a+1),所以AABC的面积为§(a+1尸.

由题设得(3+1)2>6,解得a>2.

所以a的取值范围为(2,+00).

考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'含绝对值不等式的解法

【题目来源】2015高考数学新课标1理科•第24题

22.(2014高考数学课标2理科♦第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲.

设函数/(%)=x+—+|x-a|(«>0)

(1)证明：/(力22；

(11)若/(3)<5,求a的取值范围.

【答案】解析《)出+|……十+|a-x|>x+—+=|ct|+1—22,

仅当a=l时等号成立，所以/(x)22.

(II)f(3)—3+—+|3—G|=|tz—3|+—+3<5

当0<a<3时，"3)=6—a+：<5,解得。>_^色

当aN3时，/(3)=a+(<5,解得a>注巨

综上所述，a的取值范围为(归手,“产).

考点：(1)三角不等式的运用(2)分类讨论的思想

难度：B

备注：高频考点

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'含绝对值的成立问题

【题目来源】2014高考数学课标2理科.第24题

23.(2014高考数学课标1理科.第24题)选修4—5:不等式选讲

若a>o,z?>o,且—+工=7^.

ab

(1)求/+"的最小值；

(2)是否存在a,6,使得2a+3。=6,并说明理由.

【答案】解析：(1)由疝=,+,？3,得。力32,且当”=匕=血时等号成立,

故/+3?3,/必340,且当a=〃=石时等号成立，

二a3+by的最小值为4a.

(2)由6=2a+3b?2卡«^，得ab£又由(1)知。方32，二者矛盾,

所以不存在a,尻使得2。+30=6成立.

考点：(1)证明不等式的基本方法;(2)反证法的应用

难度:B

【题目栏目】选修部分'不等式选讲'均值不等式与柯西不等式

【题目来源】2014高考数学课标1理科•第24题

24.(2013高考数学新课标2理科.第24题)设a、b、c均为正数，且a+b+c=l,证明：

222

T,,1„abc,

(I)ab+he+etc<—；(II)--1----1---21

3bca

【答案】证明：⑴由。2+〃2庞2的〃2+/2bc,c2+6Z2?2ac得

+Z?2+c2...ab+he+ac.

由题设得(〃+〃+C)2=l,

BPa2+b2+c2+lab+2bc+2ca=1.

所以3(而+Z?c+ac)„1,B[Jab+bc+ac„

3

(2)因为幺+Z?庞2々,幺+c2b，+a?2c,

bca

a1h2c2

故—4---1—+(a+b+c)…2(。+/?+c),

bca

22

13ncTbc.