24.3一元二次方程根与系数的关系课件冀教版数学九年级上册

第二十四章一元二次方程24.3一元二次方程根与系数的关系*

一元二次方程根与系数的关系1.(2023·天津中考)若

x1，

x2是方程

x2－6

x

－7＝0的两个根，则(

A

)A.

x1＋

x2＝6B.

x1＋

x2＝－6C.

x1

x2＝

D.

x1

x2＝7【解析】∵

x1，

x2是方程

x2－6

x

－7＝0的两个根，∴

x1＋

x2＝6，

x1

x2＝－7.A123456789101112131415161718192.方程

x2＋

x

＝5

x

＋6的两个实数根的和与积分别是(

C

)A.－5，6B.－4，6C.4，－6D.－1，6C123456789101112131415161718193.(2023·保定高碑店市月考)若关于

x

的一元二次方程

x2＋

mx

－3＝0有

一个解为1，则该方程的另一个解为(

D

)A.0B.2C.3D.－3【解析】设该方程的另一个解为

t

.根据根与系数的关系，得1×

t

＝－3，解得

t

＝－3，即该方程的另一个解为－3.D123456789101112131415161718194.下列一元二次方程中，两根之和为2的是(

D

)A.

x2－2

x

＋3＝0B.－

x2－2

x

＋1＝0C.

x2－

x

－1＝0D.2

x2－4

x

－1＝0

D123456789101112131415161718195.若矩形的长和宽是方程

x2－6

x

＋

m

＝0(0＜

m

≤9)的两根，则矩形的

周长为

⁠.【解析】设矩形的长和宽分别为

a

，

b

.根据题意，得

a

＋

b

＝6，所以矩形的周长＝2(

a

＋

b

)＝12.12

12345678910111213141516171819

用根与系数的关系求含两根的代数式的值6.(2023·张家口宣化区期中)若α，β是方程

x2＋2

x

－2024＝0的两个实数

根，则α2＋3α＋β的值为(

B

)A.2015B.2022C.－2015D.4010【解析】∵α，β是方程

x2＋2

x

－2024＝0的两个实数根，∴α＋β＝－2，α2＋2α＝2024.∴原式＝α2＋2α＋α＋β＝2024＋(－2)＝2022.B12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

用根与系数的关系求方程中待定字母的值8.已知关于

x

的一元二次方程

x2＋2

mx

＋

m2－

m

＋2＝0的两个实数根

x1，

x2满足

x1＋

x2＋

x1

x2＝2，则实数

m

的值为

⁠.【解析】根据题意，得Δ＝4

m2－4(

m2－

m

＋2)≥0，解得

m

≥2.根据根与系数的关系，得

x1＋

x2＝－2

m

，

x1

x2＝

m2－

m

＋2，∵

x1＋

x2＋

x1

x2＝2，∴－2

m

＋

m2－

m

＋2＝2.整理，得

m2－3

m

＝0.解得

m1＝0，

m2＝3.∵

m

≥2，∴

m

的值为3.3

123456789101112131415161718199.关于

x

的方程

x2＋6

x

＋

m

＝0的两实数根都是负数，请写出一个满足

要求的实数

m

＝

⁠.10.关于

x

的一元二次方程(

m

－2)

x2＋3

x

＋

m2＋2

m

－8＝0有一个根为

0，则

m

的值为

，另一个根为

⁠.5(答案不唯一)

－4

12345678910111213141516171819

1234567891011121314151617181911.已知关于

x

的一元二次方程

x2－(2

m

－1)

x

－3

m2＋

m

＝0.(1)求证：无论

m

为何值，方程总有实数根；解：(1)∵Δ＝[－(2

m

－1)]2－4×1×(－3

m2＋

m

)＝4

m2－4

m

＋1＋12

m2

－4

m

＝16

m2－8

m

＋1＝(4

m

－1)2≥0，∴方程总有实数根.12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12.若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为

x2－12

x

＋

m

＝0的两

根，则

m

的值为(

B

)A.32B.36C.32或36D.不存在【解析】利用一元二次方程根与系数的关系，得

x1＋

x2＝12，

x1

x2＝m

.若

x1＝4，则

x2＝8，不成立(根据三角形两边之和大于第三边)，∴

x1＝

x2＝6.则

m

＝36.B1234567891011121314151617181913.若一个一元二次方程的两根分别是方程

x2－5

x

－6＝0两根的相反

数，则这个一元二次方程为(

C

)A.

x2－5

x

＋6＝0B.

x2＋5

x

＋6＝0C.

x2＋5

x

－6＝0D.

x2＋6

x

－5＝0C【解析】设方程

x2－5

x

－6＝0的两根分别为

a

和

b

.根据题意，得

a

＋

b

＝5，

ab

＝－6，∵(－

a

)＋(－

b

)＝－(

a

＋

b

)＝－5，(－

a

)(－

b

)＝

ab

＝－6，∴所求的方程为

x2＋5

x

－6＝0.1234567891011121314151617181914.在解方程

x2＋

bx

＋

c

＝0时，小马看错了一次项系数

b

，得到的解为

x1＝2，

x2＝－3；小虎看错了常数项

c

，得到的解为

x1＝－1，

x2＝4，

则正确的方程是(

A

)A.

x2－3

x

－6＝0B.

x2－3

x

－4＝0C.

x2＋

x

－6＝0D.

x2＋3

x

－6＝0【解析】由题意，得

c

＝2×(－3)＝－6，－

b

＝－1＋4＝3，∴

b

＝－3，

c

＝－6.∴方程为

x2－3

x

－6＝0.A1234567891011121314151617181915.若方程4

x2＋(

a2－3

a

－10)

x

＋4

a

＝0的两个根互为相反数，则

a

的

值是(

C

)A.5或－2B.5C.－2D.非以上答案C12345678910111213141516171819

1234567891011121314151617181916.若一个菱形的两条对角线长分别是关于

x

的一元二次方程

x2－10

x

＋

m

＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(

C

)A.

B.2

C.

D.2

C12345678910111213141516171819

1234567891011121314151617181917.已知关于

x

的一元二次方程(

a

＋

c

)

x2＋2

bx

＋(

a

－

c

)＝0，其中

a

，

b

，

c

分别为△

ABC

三边的长.①如果

x

＝－1是方程的根，则△

ABC

是等腰三角形；②如果方程有两个相等的实数根，则△

ABC

是直角三角形；③如果△

ABC

是等边三角形，则这个一元二次方程的根为－1和2.其中正确的是

（填序号）

⁠（）.①②

12345678910111213141516171819【解析】把

x

＝－1代入(

a

＋

c

)

x2＋2

bx

＋(

a

－

c

)＝0，得

a

＋

c

－2

b

＋

a

－

c

＝0，∴

a

＝

b

.∴△

ABC

是等腰三角形，所以①正确.当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0，即4

b2－4(

a

＋

c

)(

a

－

c

)＝0，∴

b2＋

c2＝

a2.∴△

ABC

是直角三角形，所以②正确.当△

ABC

是等边三角形时，

a

＝

b

＝

c

，此时方程化为2

ax2＋2

ax

＝0，解得

x1＝0，

x2＝－1，所以③错误.1234567891011121314151617181918.关于

x

的一元二次方程(

m

－1)

x2－2

mx

＋

m

＋1＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根.(1)证明：∵

b2－4

ac

＝(－2

m

)2－4(

m

－1)·(

m

＋1)＝4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根.12345678910111213141516171819(2)当

m

为何整数时，此方程的两个根都是正整数？

12345678910111213141516171819(3)若△

ABC

的两边

AB

，

AC

的长是这个方程的两个实数根，第三边

BC

的长为5，当△

ABC

是等腰三角形时，求

m

的值.

12345678910111213141516171819

19.

如果关于

x

的一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0有两个实数

根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方

程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有

(填序号).①方程

x2－

x

－2＝0是倍根方程；②若(

x

－2)(

mx

＋

n

)＝0是倍根方程，则4

m2＋5

mn

＋

n2＝0；③若

p

，

q

满足

pq

＝2，则关于

x

的方程

px2＋3

x

＋

q

＝0是倍根方程；④若方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0是倍根方程，则必有2

b2＝9

ac

.②③④

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