抛物线的标准方程与几何性质（原卷版）

抛物线的标准方程与几何性质TOC\o"13"\h\z\u题型1抛物线的定义及其简单应用 2◆类型1定义法 2◆类型2定义的简单应用 4题型2抛物线的标准方程及性质 5◆类型1抛物线的标准方程 5◆类型2准线方程 6◆类型3焦点坐标 7◆类型4与“p”相关的考点 7题型3焦点弦长问题 8◆类型1利用|AB|=x1+x2+P=2psin2α(α是直线的倾斜角)解决问题 ◆类型2利用1|AF|+1|BF|=2p为定值(F是抛物线的焦点)解决问题 9◆类型3焦点弦长 9题型4周长问题 10题型5面积问题 11题型6最值问题 11◆类型1定义转换法 11◆类型2平移直线法 12◆类型3函数法 13题型7直线与抛物线的位置关系 14◆类型1直线与抛物线的位置关系 15◆类型2弦长问题 16◆类型3求直线方程 17题型8中点弦问题 18题型9解答题 18题型10实际应用 20知识点一．抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注意：1.定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．2.抛物线的定义用集合语言表示为：P＝{M||MF|＝d}(d为M到直线l的距离)．3.定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．4.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．知识点二.抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下题型1抛物线的定义及其简单应用◆类型1定义法【例题11】（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（）A．抛物线 B．直线C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确【变式11】1.（2023秋·高二课时练习）若动点P到点3,0的距离和它到直线x=-3的距离相等，则动点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线【变式11】2.（2022·全国·高二专题练习）已知点M(2,2)，直线l:x-y-1=0，若动点P到l的距离等于PM，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线【变式11】3.（2023·全国·高二专题练习）动点Mx,y满足方程5A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【变式11】4.（2023秋·高二课时练习）如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过点P作圆A的切线l，当rr≥12AB变化时，A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线【变式11】5.（2022·全国·高三专题练习）斜线段AB与平面α所成的角为15°，平面α内的动点P满足∠PAB=15°，则点P的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆C．抛物线 D．双曲线的一支【变式11】6.（2021秋·黑龙江鸡西·高二鸡西市第一中学校校考期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为侧面ABBA．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线【变式11】7.（2021秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线◆类型2定义的简单应用【例题12】（2022秋·山东淄博·高一校考期末）若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为9，则点P的纵坐标为（

）A．±43 B．±6 C．6【变式12】1.（2021春·安徽宣城·高二安徽省宣城中学校考阶段练习）过抛物线y2=x焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若AB=4，则弦ABA．74 B．94【变式12】2.（2023春·四川泸州·高二校考期中）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，Ax0,【变式12】3.（2023·全国·高二课堂例题）若抛物线y2=2x题型2抛物线的标准方程及性质【方法总结】1.求抛物线标准方程的方法①先定位：根据焦点或准线的位置；②再定形：即根据条件求p.2.抛物线性质的应用技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．◆类型1抛物线的标准方程【例题21】（2023·全国·高一随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为y=4；(2)顶点在原点，且过点-3,2；(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上；(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点A3,m【变式21】1.（2023秋·高二课时练习）已知抛物线y2A．y2=x B．y2=2x【变式21】2.（多选）（2023秋·高二课时练习）（多选）点M(5,3)到抛物线y=axA．x2=1C．x2=-【变式21】3.（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）双曲线x210-【变式21】4.（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，点P1,y0在C上，过P作l的垂线，垂足为Q【变式21】5.（2023秋·高二课时练习）若抛物线y2=mx(m>0)的准线与圆◆类型2准线方程【例题22】（2023·全国·高二专题练习）过抛物线C:x2=2pyp>0的焦点F的直线l交C于A,B两点，若直线l过点P1,0A．y=-3 B．y=【变式22】1.（2023春·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期末）已知抛物线y2=2pxp>0的准线为l，且点AA．5 B．4 C．3 D．2【变式22】2.（2023春·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）已知抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，准线为l，点Px0,1在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若POA．1 B．2 C．4 D．6【变式22】3.（2003·江苏·高考真题）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则A．18 B．-18 C．【变式22】4.（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点F2,0是抛物线C：y2=2pxp>0的焦点，点M在抛物线C上，点A．6 B．8 C．10 D．12◆类型3焦点坐标【例题23】（2022秋·广西河池·高二校联考阶段练习）抛物线y2A．-a4,0 B．a4,0 C．【变式23】1.（2023·江苏·高二假期作业）如果抛物线y2=2px的准线是直线【变式23】2.（2020秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线为l，圆M:(x-1)2【变式23】3.（2022·全国·高二专题练习）若抛物线y=x28◆类型4与“p”相关的考点【例题24】（2023春·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C5p2,0，且△ACF为等边三角形，△ABCA．1 B．2 C．3 D．2【变式24】1.（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，点M在抛物线上，且|MF|=3，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则A．2 B．22 C．4【变式24】2.（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线C：y2=2pxp>0的顶点为O，经过点AA．12 B．1 C．2【变式24】3.（2023·全国·高二专题练习）已知点P为抛物线y2=2px（p>0）上一动点，点Q为圆C:(x+2)A．1 B．2 C．3 D．4【变式24】4.（2023·全国·高二假期作业）已知抛物线C:y2=2pxp>0的C的准线与x轴交于T点，P0,1，F是C的焦点，Q是C【变式24】5.（2023春·河南濮阳·高二濮阳一高校考期中）已知抛物线E：x2=2pyp>0的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A,B两点，与准线交于C点，F为AC的中点，且AF【变式24】6.（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，直线y=4与抛物线交于点M，且MF题型3焦点弦长问题【方法总结】活用抛物线焦点弦的四个结论抛物线的焦点弦问题一直是高考命题的一个热点，该问题常与弦长、三角形面积、向量、不等式等知识相融合，考查学生的转化与化归意识和灵活解题能力．命题点主要体现在焦点弦的四个结论上：设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)◆类型1利用|AB|=x1+x【例题31】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()A．4B．eq\f(9,2)C．5D．6【变式31】1.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5B．6C．eq\f(16,3)D．eq\f(20,3)【变式31】2.(2022·哈尔滨六中期末)过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝()【变式31】3.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为4，则|AB|＝()A．6B．8C．12D．16◆类型2利用1|AF|+1【例题32】(2022·山东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝________．【变式32】（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=5交于A、B两点，且AB=4，直线l过A．p=2B．1C．存在某条直线l，使得MFD．若点G2,2，则△GFM周长的最小值为◆类型3焦点弦长【例题33】（2023·江苏·高二假期作业）过抛物线y2=2pxp>0A．小于90° B．等于90°C．大于90° D．不能确定【变式33】1.在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.【变式33】2.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.题型4周长问题【例题4】（2023·河南周口·统考模拟预测）已知抛物线E:y2=8x的准线为l，圆x2+y2=20与抛物线E交于A,B两点，与A．20 B．24 C．28 D．32【变式41】1.（2023·天津和平·统考一模）抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y24-x22=1A．2 B．22 C．8【变式41】2.（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，其准线与双曲线x28-yA．2 B．22 C．8【变式41】3.（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线E：y2=4x，圆F：x-12+yA．4 B．5 C．6 D．7【变式41】4.（2023秋·河北邢台·高三统考期末）已知P为抛物线C：x2=-16y上一点，F为焦点，过P作C的准线的垂线，垂足为H，若△PFH的周长不小于48，则点【变式41】5.（2022·全国·高三专题练习）抛物线y2=6x的准线恰好平分圆C:x题型5面积问题【例题5】（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）抛物线C:x2=8y的焦点为F，过F且倾斜角为π4的直线l与抛物线C交于A，B两点，点D为抛物线C上的动点，且点D在A．162 B．122 C．8【变式51】1.（2023·全国·高二假期作业）已知抛物线C:yA．π B．π2 C．π3【变式51】2.（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知O为坐标原点，直线l过抛物线D:y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线D及其准线依次交于A,B,C三点（其中点B在A,C之间），若AF【变式51】3.（2023秋·高二课时练习）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO=120∘（O为坐标原点），AK⊥l，垂足为【变式51】4.（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，PH⊥l于H，若HF=PF题型6最值问题◆类型1定义转换法【方法总结】与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．【例题61】（2023·全国·高二专题练习）已知P为抛物线y2=4x上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为3,2，则A．4 B．3 C．22 D．【变式61】1.（2023·全国·高二专题练习）已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-2，抛物线y2=4x上一动点A．355+1 B．2【变式61】2.（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4,M是抛物线C上一点，若AA．8 B．6 C．5 D．4【变式61】3.（2021秋·陕西延安·高二校考期末）已知点M为抛物线y=x24上任意一点，点N为圆x2+【变式61】4.（2021秋·陕西渭南·高二统考期末）设P是抛物线y2=8x上的一个动点，F为抛物线的焦点，点B3,1【变式61】5.（2023·全国·高二假期作业）已知P为抛物线y2=4x上的动点，F为抛物线的焦点，点Q(3,5【变式61】6.（2023春·广东广州·高二仲元中学校考阶段练习）已知点M为拋物线y2=2x上的动点，点N为圆x2+(y-4)2=5上的动点，则点M◆类型2平移直线法【方法总结】若抛物线上的点P到直线l的距离最小，则过点P与l平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．【例题62】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．【变式62】1.（2021秋·陕西宝鸡·高二统考期中）抛物线y=-x2上的点到直线A．3 B．7C．85 D．【变式62】2.（2021春·福建泉州·高二开学考试）抛物线y=x2上的点到直线A．1033 B．43 C．◆类型3函数法【方法总结】解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．【例题63】（2023·全国·高二专题练习）过抛物线C:y2=12x的焦点F的直线l与C相交于M，NA．15 B．18 C．21 D．27【变式63】1.（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线E:x2=4y，圆C:x2+y-32=1，PA．5 B．22-1 C．2【变式63】2.（2023春·内蒙古通辽·高二校联考开学考试）抛物线C:y2=2pxp>0的焦点到直线x-y+1=0的距离为528，点M是C上任意一点，点N【变式63】3.（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过A-1,0作抛物线C的切线，切点为B，BF=3，则抛物线C上的动点P【变式63】4.(2020·东北四市模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为________．【变式63】5.F是抛物线C：y2=2pxp>0的焦点，直线l与抛物线C相交于P，Q两点，满足∠PFQ=2π3，线段PQA．3 B．33 C．3 D．【变式63】6.（2023·全国·高二专题练习）已知点M0,4，点P在抛物线x2=8y上运动，点Q在圆x【变式63】7.（2023春·广东广州·高二校联考期末）已知抛物线x2=2py(p>0)，焦点为F，过定点0,1且斜率大于0的直线交抛物线于A,B两点，OA⊥OB，线段AB的中点为M，则直线题型7直线与抛物线的位置关系【方法总结】解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[注意]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．◆类型1直线与抛物线的位置关系【例题71】（2021·江苏·高二专题练习）过点2,-1引直线与抛物线y=xA．1 B．2 C．3 D．4【变式71】1.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）已知抛物线C：y2=4x，坐标原点为O，焦点为F，直线l：(1)若l与C只有一个公共点，求k的值；(2)过点F作斜率为2的直线交抛物线C于A,B两点，求△OAB的面积．【变式71】2.（2023·全国·高三专题练习）已知动点M到点F1,0的距离等于它到直线x(1)求动点M的轨迹方程C；(2)已知A-2,0，过点B0,1的直线l斜率存在且不为0，若l与曲线C有且只有一个公共点P，求【变式71】3.（2023·全国·高一随堂练习）已知过抛物线y2=2pxp>0的焦点F的直线交抛物线于A(1)y1y=-p(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【变式71】4.（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，Qm,2位于抛物线C：y(1)求抛物线C的方程；◆类型2弦长问题【例题72】（2023·全国·高二专题练习）过抛物线x2=4y的焦点且倾斜角为【变式72】1.（2023·甘肃·统考二模）过抛物线y2=4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点若以AB为直径的圆经过点N-1,2A．8 B．6 C．5 D．4【变式72】2.（2023·全国·高三专题练习）抛物线C：y2=4x的准线截圆【变式72】3.（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为(1)求p的值；(2)直线y=x-2交抛物线于A、B两点，求弦长AB.【变式72】4.（2023秋·甘肃天水·高二校考期末）已知点M1,0，直线l：x=-2，平面内存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l(1)求点P的轨迹方程C.(2)已知直线l2：y=12【变式72】5.（2023秋·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考开学考试）已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点与抛物线C2：y2=2px，(1)求椭圆C1和抛物线C(2)过点M（3，0）的直线l与椭圆C1◆类型3求直线方程【例题73】（2023·福建龙岩·统考二模）已知抛物线C:y2=4x，直线l过点G0,43且与C相交于A，B两点，若【变式73】1.（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，点P-2,2，过点F的直线l与C交于A，B两点，M是线段AB的中点．若AB=2PM【变式73】2.（2023·江苏·高二专题练习）过椭圆3x2+4【变式73】3.（2022·全国·高二期中）已知抛物线C：y2=4x，直线l过点(1)若l与C有且只有一个公共点，求直线l的方程；(2)若l与C交于A，B两点，点Q在线段AB上，且APPB=AQ【变式73】4.（2022秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知抛物线C:y2=2px    (p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点P(0,1)(1)求抛物线C的方程；(2)求直线l的方程.【变式73】5.（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(1)求p；(2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于A,B两点，若AB=16【变式73】6.（2023秋·全国·高二期中）椭圆E的方程为x24+y2(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长；(2)若直线l过点-1,0，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．题型8中点弦问题【例题81】（2022秋·广东深圳·高三校联考期中）已知抛物线C：y2=2pxp>0【变式81】1.（2023·广西柳州·统考模拟预测）抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，A,B是抛物线上的两个动点，且满足AF⋅FB=0.设线段AB的中点M在【变式81】2.（2023·全国·高三专题练习）已知A-2,0,B2,0(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点N2,3能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段PQ【变式81】3.（2023秋·广西贵港·高二统考期末）已知F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，M4,y(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C交于A,B两点，且线段AB的中点坐标为(8,12)，求直线l的斜率.【变式81】4.（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M，N(1)若AR//FN，求(2)若点R为线段MN的中点，设以线段AB为直径的圆为圆E，判断点R与圆E的位置关系.题型9解答题【例题9】（2022·全国·统考高考真题）设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点Dp,0(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α-β取得最大值时，求直线AB的方程．【变式91】1.（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M2,0，且⊙M（1）求C，⊙M的方程；（2）设A1,A2,A3是C上的三个点，直线A1A【变式91】2.（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线C:y（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF，求直线【变式91】3.（2020·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆C1:x22+y2=1，抛物线C（Ⅰ）若p=116，求抛物线（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．【变式91】4.（2020·全国·统考高考真题）已知椭圆C1：x2a2+（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．题型10实际应用【例题10】（2023·全国·高二专题练习）清代