北师版八上数学 第七章 平行线的证明 回顾与思考（课件）

第七章平行线的证明回顾与思考数学八年级上册BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS

1.

相关概念.（1）定义：对一些名称和术语的含义加以描述，作出明确的规

定，也就是给出它们的定义；（2）命题：

一件事情的

叫做命题，每个命题

都由条件和结论两部分组成；（3）正确的命题称为

，不正确的命题称为

⁠

⁠；（4）公认的真命题称为

，演绎推理的过程称为

⁠

，经过证明的真命题称为

⁠.判断

句子

真命题

假命

题

公理

证

明

定理

2.

平行线的判定和性质.（1）平行线的判定.判定公理：同位角相等，两直线平行.判定定理：①同旁内角

，两直线平行；②内错角

⁠

，两直线平行；③平行于同一条直线的两条直线

⁠

⁠.推论：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.互补

相

等

互相平

行

（2）平行线的性质.性质定理：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错

角相等；③两直线平行，同旁内角互补.3.

三角形的内角和与外角.（1）三角形内角和定理：三角形的内角和等于

⁠；（2）三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于和它

不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个和

它不相邻的内角.180°

数学八年级上册BS版02典例讲练

要点一

命题、公理

如图，已知∠

A

＝∠

C

，

AE

，

CF

分别与

BD

交于点

E

，

F

.

请你从下面三项中选出其中两项作为条件，第三项作为结论，

写出一个真命题，并加以证明.①

AB

∥

DC

；②

AE

∥

CF

；③

DE

＝

BF

.

【思路导航】选其中两项作为条件，第三项作为结论，结合全

等三角形的性质、平行线的判定或性质等证明即可.解：如果

AB

∥

DC

，

DE

＝

BF

，那么

AE

∥

CF

.

（答案不

唯一）

【点拨】判断一个命题为真命题，需要进行严格地证明；说明

一个命题为假命题，举出一个反例即可.

1.

下列选项中，不是命题的是（

B

）A.

对顶角相等B.

过直线外一点作已知直线的平行线C.

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和D.

如果

a

＝

b

，

a

＝

c

，那么

b

＝

c

B2.

已知命题“三角形的一个外角等于两内角的和”.（1）将命题改写成“如果……那么……”的形式；（2）判断命题的真假，若是假命题，请举出反例.解：（1）如果一个角是一个三角形的外角，那么这个外角等于

两个内角的和.（2）命题是假命题.反例：若一个三角形的三个内角的度数分

别为30°，60°，90°，与30°角相邻的外角等于150°，30°

角和60°角的和是90°，90°≠150°。故命题是假命题.要点二

平行线的判定和性质

如图，已知

MN

∥

BC

，

BD

⊥

DC

，∠1＝∠2＝60°，

DC

是∠

NDE

的平分线.（1）

AB

与

DE

平行吗？请说明理由.（2）求证：∠

ABC

＝∠

C

.

（3）求∠

ABD

的度数.【思路导航】（1）根据平行线的性质得出∠

ABC

的大小，再根

据平行线的判定即可得出结论；（2）根据平行线的性质求得∠

NDE

的度数，根据角平分线的定义结合平行线的性质得出∠

C

的大小即可证明；（3）根据平行线的性质综合进行计算即可.（1）解：

AB

∥

DE

.

理由如下：∵

MN

∥

BC

，∴∠

ABC

＝∠1＝60°.又∵∠1＝∠2，∴∠

ABC

＝∠2.∴

AB

∥

DE

.

（3）解：∵∠

ADC

＋∠

NDC

＝180°，∴∠

ADC

＝180°－∠

NDC

＝180°－60°＝120°.∵

BD

⊥

DC

，∴∠

BDC

＝90°.∴∠

ADB

＝∠

ADC

－∠

BDC

＝120°－90°＝30°.∵

MN

∥

BC

，∴∠

DBC

＝∠

ADB

＝30°.由（1）可知，∠

ABC

＝60°，∴∠

ABD

＝∠

ABC

－∠

DBC

＝60°－30°＝30°.【点拨】在平行线的判定与性质的综合运用问题中，一定要弄

清楚用的是判定定理还是性质定理，前者是为了得到两直线平

行，后者常用来得到角的大小关系等.

1.

如图，将长方形

ABCD

沿

EF

折叠，使

ABFE

落在四边形

MNFE

处.若∠1＝40°，则∠

AEF

的度数为

⁠.110°

2.

如图，在△

ABC

中，已知

DG

，

EH

相交于点

F

，连接

DE

，

∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠

B

，求证：

DE

∥

BC

.

证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠4，∴∠2＋∠4＝180°.∴

AB

∥

EH

.

∴∠3＝∠

ADE

.

又∵∠3＝∠

B

，∴∠

B

＝∠

ADE

.

∴

DE

∥

BC

.

要点三

三角形内角和定理及外角的性质

如图，已知∠

B

＝∠

ACB

，

CD

⊥

AB

，交

BA

的延长线于点

D

，且

CE

平分∠

ACB

.

若∠

DCE

＝42°，求∠

BAC

的度数.【思路导航】根据三角形内角和定理、外角的性质与角平分线

的定义进行计算即可.

∴∠

DEC

＝∠

B

＋∠

ECB

.

∴∠

DEC

＝3∠

ECB

，即3∠

ECB

＝48°.∴∠

ECB

＝16°.∴∠

B

＝32°.∵∠

ACB

＝∠

B

，∴∠

ACB

＝32°.∵∠

B

＋∠

ACB

＋∠

BAC

＝180°，∴∠

BAC

＝180°－32°－32°＝116°.【点拨】在三角形求角问题中，常常综合运用三角形内角和定

理、三角形外角的性质、角平分线的定义等，需要对这些定理

有深刻理解，并能灵活运用.有时还需要通过列方程求解.

1.

如图，已知∠

B

＝20°，∠

E

＝30°，则∠

A

－∠

D

＝

⁠.10°

【解析】∵三角形的内角和为180°，∴∠

A

＋∠

B

＋∠

ACB

＝

∠

D

＋∠

E

＋∠

DCE

＝180°.∵∠

B

＝20°，∠

E

＝30°，∠

ACB

＝∠

DCE

，∴∠

A

－∠

D

＝∠

E

－∠

B

＝30°－20°＝

10°.故答案为10°.2.

如图，在△

ABC

中，已知∠

ABC

的平分线与∠

ACE

的平分线相交于点

D

.

（1）若∠

ABC

＝60°，∠

ACB

＝40°，求∠

A

和∠

D

的度数；（2）由（1）中的计算，你能发现∠

A

和∠

D

有什么数量关系

吗？请说明理由.

（2）∠

A

＝2∠

D

.

理由如下：∵∠

ACE

＝∠

A

＋∠

ABC

，∠

DCE

＝∠

D

＋∠

DBC

.

∴∠

A

＝∠

ACE

－∠

ABC