高三数学一轮复习 8-3圆的方程随堂训练 理 苏教版

第3课时圆的方程一、填空题1．圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上的圆的标准方程为________________． 解析：设圆的直径的两个端点分别为(x,0)和(0，y)，则由中点坐标公式可求得两个端点分别为(4,0)和(0，－6)，半径长为eq\f(1,2)eq\r(16＋36)＝eq\r(13)，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝132．若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a等于________． 解析：由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a＋2,(\f(2a,a2))2－\f(4a,a2)＞0)).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1或2,a＜1)).∴a＝－1. 答案：－13．若直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9上，则k的值为________． 解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－2k＝0,2x－3y－k＝0))，得交点坐标为(－4k，－3k)，∴(－4k)2＋(－3k)2＝9，解得：k＝±eq\f(3,5). 答案：±eq\f(3,5)4．(扬州市高三期末调研测试)若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是________． 解析：∵直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ab＋ab＝1，∴ab＝eq\f(1,2)，又|OA|＝eq\r(a2＋b2)， ∴以O为圆心，OA长为半径的圆的面积：S＝π·|OA|2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π， 所以面积的最小值为π. 答案：π5．设圆C：x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点在圆的________部． 解析：已知圆的圆心为(－a，－1)，则原点到圆心的距离为eq\r(a2＋1)>eq\r(2a)，在已知条件下恒成立，且eq\r(2a)是圆的半径，所以，原点在圆外． 答案：外6．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称．直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________． 解析：抛物线y2＝4x，焦点为F(1,0)．∴圆心C(0,1)，C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝eq\f(5,5)＝1，且圆的半径r满足r2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. 答案：x2＋(y－1)2＝107．(江苏省高考名校联考信息优化卷)实数x，y满足x2＋y2＝1，若u＝eq\f(x＋y＋2,x－y＋2)，则u的最大值为________． 解析：由条件得x－y＋2不为0，则再由u＝eq\f(x＋y＋2,x－y＋2)，得(u－1)x－(u＋1)y＋2u－2＝0. 又由x，y满足x2＋y2＝1，所以圆x2＋y2＝1与直线(u－1)x－(u＋1)y＋2u－2＝0必有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即eq\f(2|u－1|,\r((u－1)2＋(u＋1)2))≤1， 化简得u2－4u＋1≤0，即2－eq\r(3)≤u≤2＋eq\r(3)，所以u的最大值为2＋eq\r(3). 答案：2＋eq\r(3)二、解答题8．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0关于直线x＋y－1＝0对称，圆心在第二象限，半径为eq\r(2)，求圆C的方程． 解：由已知x＋y－1＝0过圆心． ∴－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)－1＝0，① 又eq\f(D2,4)＋eq\f(E2,4)－3＝2，② 解①②得：D＝2，E＝－4，或D＝－4，E＝2.而D>0，故圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.9．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q两点，O点为原点，经过O，P，Q三点的圆满足OP⊥OQ，求实数m的值． 解：设过P、Q两点的圆的方程为：x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0. 它过O点，得m＝3λ，又OP⊥OQ，则圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋λ,2)，3－λ))在直线x＋2y－3＝0上， 故－eq\f(1＋λ,2)＋6－2λ－3＝0，得λ＝1.∴m＝3λ＝3.10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t是实数)表示的图形是圆． (1)求实数t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． 解：(1)原方程可以转化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1， 则半径的平方r2＝－7t2＋6t＋1>0，∴－eq\f(1,7)<t<1. (2)∵r＝eq\r(－7t2＋6t＋1)＝eq\r(－7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,7)))2＋\f(16,7))，∴当t＝eq\f(3,7)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)，1))时，半径取最大值eq\f(4,7)eq\r(7). 此时面积最大，所对应的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(24,7)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(13,49)))2＝eq\f(16,7). (3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)(4t2)＋16t4＋9<0时，点P在圆内， 即8t2－6t<0，∴0<t<eq\f(3,4).1．已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－ (1)求此圆的圆心与半径； (2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆． (1)解：配方得：(x＋m－1)2＋(y－2m)2＝9，∴圆心为(1－m,2m)，半径 (2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－m,y＝2m))，∴2x＋y＝2. ∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆．2．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 解：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． ∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－