高三数学一轮复习 3-8正弦定理、余弦定理的应用随堂训练 文 苏教版VIP

第8课时正弦定理、余弦定理的应用一、填空题1．已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于________．解析：∵AD=ABsin30°=，∴该三角形有两解．由正弦定理得，∴sinC=，C=60°或C=120°，∴A=90°或A=30°，当A=90°时，S△ABC=；当A=30°时，S△ABC=.答案：2．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．解析：由已知可得∠ACB＝120°，又AC＝BC＝a，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝a2＋a2－2a·acos120°＝3a2，∴AB＝eq\r(3)akm.答案：eq\r(3)akm3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)sinBtanB＝eq\r(3)absinC，则角B的值为________．解析：由正、余弦定理知，a2＋c2－b2＝2accosB，eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c).因为(a2＋c2－b2)sinBtanB＝eq\r(3)absinC，则2accosB·eq\f(sinB,cosB)·eq\f(b,c)＝eq\r(3)ab，即sinB＝eq\f(\r(3),2).又B为△ABC的内角，所以B＝eq\f(π,3)或B＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)4．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是________m.解析：如右图所示，由已知，四边形CBMD为正方形，而CB=20m，所以BM=20m．又在Rt△AMD中，DM=20m，∠ADM=30°，∴AM=DMtan30°=(m)，∴AB=AM+MB=(m)．答案：5．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h、15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是______nmile.解析：如图，两船航行的时间为t，则有OA=50，OB=30.而AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos120°=502+302-2×50×30×()=2500+900+1500=4900，∴AB=70.答案：706．有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把倾斜角改为30°，则坡底需伸长______米．解析：坡的倾斜角即为坡度，依题意知，该坡的高度不变，即仍为50eq\斜角变为30°时，坡底的长度为50eq\r(3)米，所以坡度改后，坡底伸长了50(eq\r(3)－eq\r(2))米．答案：50(eq\r(3)－eq\r(2))7．(江苏省高考名校联考信息优化卷)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f(A)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＋1，且f(A)＝2，b＝1，△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则eq\f(b＋c,sinB＋sinC)的值为________．解析：因为f(A)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＋1，且f(A)＝2，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＋1＝2，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2).在△ABC中，∵0<A<π，∴eq\f(π,6)<2A＋eq\f(π,6)<eq\f(π,6)＋2π，∴2A＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，解得A＝eq\f(π,3).又∵S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×c×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝2.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋4－2×1×2×eq\f(1,2)＝3，∴a＝eq\r(3).由正弦定理，得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，所以eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝2.答案：2二、解答题8．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30°角，求该转播塔的高度是多少米？解：根据题意可得，∠ABC＝45°－30°＝15°，∠DAC＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，所以AC＝AB＝40米．在△ADC中，∠BDC＝120°，由正弦定理得eq\f(AC,sin120°)＝eq\f(CD,sin30°)，∴CD＝eq\f(40sin30°,sin120°)＝eq\f(40\r(3),3)(米)，即转播塔的高度为eq\f(40\r(3),3)米．9．(江苏省高考名校联考信息优化卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝eq\f(π,3)，且△ABC的面积S＝eq\r(3)，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC解：(1)由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，得ab＝4.联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4,ab＝4))，解得a＝2，b＝2.(2)由题意得sinBcosA＝sinAcosA，当cosA＝0时，A＝eq\f(π,2)，△ABC为直角三角形；当cosA≠0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，所以△ABC为等腰三角形．10．(·海门中学高三调研)如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为60°(即∠C=60°)，现有可供建造第三面围墙的材料6米(两面墙的长均大于6米)，为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记∠ABC=θ，问当θ为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？解：在△ABC中，由正弦定理：化简得：AC=所以S△ABC==.=即S△ABC=所以当2θ-，即θ=答：当θ=60°时，所建造的三角形露天活动室的面积最大．1．满足条件AB＝2，AC＝eq\r(2)BC的三角形ABC的面积的最大值为________．解析：设BC＝x，则AC＝eq\r(2)x，根据面积公式得S△ABC＝eq\f(1,2)AB×BCsinB＝xeq\r(1－cos2B)，根据余弦定理得cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB×BC)＝eq\f(4＋x2－2x2,4x)＝eq\f(4－x2,4x)，代入上式得S△ABC＝xeq\r(1－(\f(4－x2,4x))2)＝eq\r(\f(128－(x2－12)2,16)).由三角形三边关系有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋x>2,x＋2>\r(2)x))，解得2eq\r(2)－2<x<2eq\r(2)＋2，故当x＝2eq\r(3)时取得S△ABC最大值2eq\r(2).答案：2eq\r(2)2．如上图，甲船以每小时30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10eq\r(2)海里．问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连结A1B2，由已知A2B2＝10eq\r(2)，