高三数学一轮复习 3-2 同角三角函数关系、三角函数的诱导公式随堂训练 理 苏教版

第2课时同角三角函数关系、三角函数的诱导公式一、填空题1．sin2(π－α)－cos(π－α)·cos(－α)＋1的值为________．解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.答案：22．若sinθ·cosθ＝eq\f(1,2)，则tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)的值是________．解析：tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝2.答案：23．(南京市调研测试)coseq\f(10π,3)＝________.解析：coseq\f(10π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)4．已知sin(θ＋kπ)＝－2cos(θ＋kπ)，k∈Z.则eq\f(4sinθ－2cosθ,5cosθ＋3sinθ)＝________.解析：由已知得cos(θ＋kπ)≠0，∴tan(θ＋kπ)＝－2，k∈Z.即tanθ＝－2.eq\f(4sinθ－2cosθ,5cosθ＋3sinθ)＝eq\f(4tanθ－2,5＋3tanθ)＝10.答案：105．(苏州市高三教学调研测试)已知α为钝角，sinα＝eq\f(1,3)，则tanα＝________.解析：tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(sinα,－\r(1－sin2α))＝eq\f(\f(1,3),－\r(1－\f(1,9)))＝－eq\f(\r(2),4).答案：－eq\f(\r(2),4)6．(江苏泰州二中模拟)已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，α∈(0，π)，则tanα＝________.解析：∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，①∴1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25).∴sinαcosα＝－eq\f(12,25)<0.又a∈(0，π)，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))∴sinα－cosα＝eq\r((sinα＋cosα)2－4sinαcosα)＝eq\r(\f(1,25)＋\f(48,25))＝eq\f(7,5)②∴由①②得：sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5).∴tanα＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)7．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))等于________．解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(1,3).则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－1＝－eq\f(7,9).答案：－eq\f(7,9)二、解答题8．已知cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)；(2)eq\f(sin[α＋(2n＋1)π]＋sin(π＋α),sin(π－α)·cos(α＋2nπ))(n∈Z)．解：∵cos(π＋α)＝－eq\f(1,2).∴－cosα＝－eq\f(1,2)，cosα＝eq\f(1,2)，又∵α是第四象限角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(3),2).(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝eq\f(\r(3),2).(2)eq\f(sin(α＋(2n＋1)π)＋sin(π＋α),sin(π－α)·cos(α＋2nπ))＝eq\f(sin(α＋2nπ＋π)－sinα,sinα·cosα)＝eq\f(sin(π＋α)－sinα,sinα·cosα)＝eq\f(－2sinα,sinα·cosα)＝－eq\f(2,cosα)＝－4.9．已知sinα，cosα是关于x的二次方程2x2＋(eq\r(2)＋1)x＋m＝0的两根，求2tanα·eq\f(cosα－sinα,1－tan2α)的值．解：2tanα·eq\f(cosα－sinα,1－tan2α)＝eq\f(2sinα,cosα)·eq\f(cosα－sinα,1－\f(sin2α,cos2α))＝eq\f(2sinαcosα,cosα＋sinα).由根与系数的关系可得sinα＋cosα＝－eq\f(\r(2)＋1,2)且eq\f(m,2)＝sinα·cosα＝eq\f((sinα＋cosα)2－1,2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2)＋1,2)))2－1,2)＝eq\f(2\r(2)－1,8)，所以m＝eq\f(2\r(2)－1,4).故原式＝eq\f(\f(2\r(2)－1,4),－\f(\r(2)＋1,2))＝eq\f(3\r(2)－5,2).10．(·东台中学高三诊断性试卷)已知0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(4,5).(1)求eq\f(sin2α＋sin2α,cos2α＋cos2α)的值；(2)求tan(α－eq\f(5π,4))的值．解：∵0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(4,3)，(1)eq\f(sin2α＋sin2α,cos2α＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,2cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,2－tan2α)＝eq\f((\f(4,3))2＋2×\f(4,3),2－(\f(4,3))2)＝20.(2)tan(α－eq\f(5π,4))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(\f(4,3)－1,1＋\f(4,3))＝eq\f(1,7).1．已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，则sinαcosα＝________.解析：∵eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，∴sinα＋cosα＝2(sinα－cosα)，∴平方得：1＋2sinαcosα＝4(1－2sinαcosα)，∴10sinαcosα＝3，∴sinαcosα＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)2．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值．解：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))－s