八年级下册18 1勾股定理 教学设计包沪科版初中数学

课题：§17.1勾股定理

教学目标：

知识与技能：探索直角三角形三边关系，了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的

内容，会用面积法证明勾股定理。

过程与方法：（1）、经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用

意识。（2）、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察一猜想一归纳一验证”的能力，

并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

情感态度与价值观：。）、介绍我国古代勾股定理研究方面所取得的成就，感受数学文

化，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。（2）、在探究活动中，培养学生的合作交流意识

和探索精神。

教材分析

勾股定理是数学中儿个重要定理之一，它揭示的是直角三角形边的数量关系。它在数

学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理的学

习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

教学重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握勾股定理及其应用。

教学难点：理解勾股定理的演绎和推导过程。

教学方法：探讨法、发现法等。

教具准备：多媒体、网格纸。

教学过程

一、创设情境一一观察探索——形成概念

引入首先创设这样一个问题情境：（用多媒体播放视频）“某楼房二楼失火，消防

队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙

基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火？”

［设计意图及设想］问题设计具有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，教师引导

学生将实际问题转化成数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？”的

问题。学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了。这种以实际问

题为切入点引入新课，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产

生这一认识的基本观点。

1、（用多媒体投影）如图是一个行距、列距都是1的方格网。问:

每一个最小格点正方形面积是多少？

然后，在方格网中投影显示出以格点为顶

点等腰直角△ABC,并显示分别以三角形的各边

为边，向形外作正方形I、n、m。

问：1、三个正方形面积SI、SH和Sm分别是

多少？它们之间有怎样的关系？如用它们的边

长表示，能得到怎样的式子？（思考、与同伴交

流）

［设计意图及设想］从学生的生活经验和

己有的知识背景出发，让他们从中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。同时也体现了

知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。

2、在上一题的基础上，设置下列问题情境：

在行距、列距都是1的方格网中，再作一个格点不等腰直角△ABC,分别以三角形的各

边为边，向形外作正方形I、II、III。让学生在课前备好的网格纸上画图，然后投影出图.

根据上述我先后安排如下三个探究题：

（1）、三个正方形面积Su和&口分别是多少？（思考、分组讨论、交流）（学生分组

交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个

大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积.或者，将正方形C分割成四个全等

的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C面积）。

（2）、Si.S”和Sm是什么关系？（思考、分组讨论、交流）

点，为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题

和解决问题的能力在无形中得到了提高，这对后面的学习及有帮助。

根据上述的问题的探究，可安排如下面探究题：你们发现直角三角形三边的长有怎样

的关系？能用简练的语言概括出来吗？（学生分组讨论、小组代表发言）

结论：勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。

二、创设情境一一合作探究一一推理论证

介绍全世界的数学家和数学

1、设置下列问题情境：如图caBP6!R,bF

在直角AABC中，/C=90°AB=C,BC=a,AC=b,

求证：a2+b'=c2

让学生按图示拼图。问：（1）所拼的图中，边长为C的四边形是正方形吗？为什么？

（2）让学生根据理解写出证明的推理过程。

S定力搀ABCD=（a+BP=c2+4-x.—ab

a2+b2=c2

［设计意图及设想］让学生亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加

深刻，体会数形结合思想，发展创造性思维能力.

由传统的数学课堂向实验的数学课堂转变.

2、可向学生介绍下列两种方法，激发学生的兴趣

方法二：“赵爽弦图”法.将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正„

F

力段EFGH=C"={a-bf+4x—ab

a1+i2=c2

方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等

于.把这两个直角三角形拼成如图所

形状，使A、E、B三点在一条直线上.：Rt△EAD丝Rt△CBE,

ZADE=ZBEC.

ZAED+ZADE=90°,

ZAED+ZBEC=90°.

，ZDEC=180°-90°=90°.

ADEC是一个等腰直角三角形，

-c2

它的面积等于2.

又,:ZDAE=90°,ZEBC=90°,

AD/7BC.

—(a+b)2

：.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2

/.a2+b2=c2.

以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明。

［设计意图及设想］让学生模拟数学家的思维方式和思维过程，体会探索的快乐。

3、（定理命名）.约2000年前,代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古

人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股,斜边叫做

弦.“勾三股四弦五”的意思是，在直角三角形中，如果勾为3,股为4,那么弦为5.这里.

人们还发现,勾为6,股为8,那么弦一定为10.勾为5,股为12,那么弦一定为13等.所以我国

称它为勾股定理.

西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理。

［设计意图及设想］对学生进行爱国主义教育，增强学生的民族自豪感.

三、即时训练一一巩固新知

1、课本第6页练习第1、2、题

2、RtaABC的两边长分别是3和4,则第三边长的平方为多少？

3、已知等边三角形ABC的边长是6cm.求:(1)局AD的长；(2)AABC

的面积。

4、如图，一个3cm长的梯子，AB,斜靠在一

竖直的墙A0上，这时A0的距离为2.5m,如果梯

子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外

移0.5m吗？

思路点拨：从BD=0D-0B可以看出，必需

先求OB,0D,因此，可以通过勾股定理在RtA

AOB,RtaCOD中求出0B和0D,最后将BD求出.

教师活动：制作投影仪，提出问题，引导学生观察、应用勾股定理，提问个别学生.

学生活动：观察、交流，从中寻找出RtAAOB,RtACOD,以此为基础应用勾股定理求

得0B和0D.

［设计意图及设想］补充课堂练习，让学生对本节课的知识进行最基本的运用，为下节

课勾股定理的应用做好铺垫.

四、课堂总结一一提高认识

主要通过学生回忆本节课所学内容，从内容、应用、数学思想方法、获取新知的途径

方面先进行小结，后由教师总结。

五、布置作业

1、课本Ps习题17.1第1、2、3、题

2、体会本堂课你所获得成功的经验，写好数学日记，同学交流

《18.1勾股定理》

教学内容

力；

情感态度与价值观：通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的

意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪

感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情.

教学分析

重点：探索和验证勾股定理过程.

难点：通过面积计算探索勾股定理.

关键：关注性质的推导，主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质.

教学方法及教学手段

采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课

件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识.

教学过程

1.创设情境，导入课题

多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题.

2.自主探索，合作交流

活动一：动脑想一想

小明用一边长为k•加的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？①这个问题你

是怎样想的？请说出你的想法.②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中

（每个小正方形边长为1C〃2）,你能知道斜边的长吗？③观察图形，并

填空：

（1）正方形尸的面积为cm2,

正方形Q的面积为cm2,

正方形彳的面积为cm2.

（2）你能发现图中正方形?0、斤的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？

正方形。的面积为—cm2,

正方形"的面积为cm2.

（3）正方形凡Q、"的面积之间的关系是什么？

（4）你会用直角三角形的边长表示正方形尸,。、"的面积吗？你能发现直角三角形三边长

度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流.

让学生自己总结，并用符号语言、文字语言表达勾股定理的内容.

22

对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为C、b,斜边为C,那么一定有，+b-

=c-,这种关系我们称为勾股定理.（我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长

的称为股，斜边称为弦）

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.

3.验证定理，拓展提高

请你利用手中的直角三角形纸片，通过拼图来验证刚才大家的发现.

拼一拼：给出4个全等的直角三角形纸片，拼一拼，摆一摆，看看能否得到一个以C为一边

的正方形？（介绍赵爽弦图和2002ICM标志）A

4.运用新知，体验成功b

例1.RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=C,AC=6,BC=aCB

a

（1）已知AC=6,除8,求AB.

(2)已知。=15,b=9,求

（示范格式，提醒学生注意边的位置，关键“直角所对的边是斜边”）

5.生活中的数学一一你知道吗？

小红家新买了一台29英寸（74须）的电视机，小红量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58前

长和46或宽，他认为营业员搞错了，你同意他的想法吗？你能作出合理的解释吗？

6.课堂小结：

师生一起回顾本节知识，主要是让学生回忆学到了哪些知识和方法，教师最后再作补充.（1

数学家大会所用标志.2勾股定理是宇宙语言.3利用勾股定理，可以解决“已知直角三角形

的两边，求第三边”的问题）

7.作业布置：

P55,2、3

《18.1勾股定理》

教学目标

1.在探索基础上掌握勾股定理.

2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系.

3.已知两边，运用勾股定理列式求第三边.

4.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）.

5.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式.

重点难点

重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边.

难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和.

疑点：灵活运用勾股定理.

教学设想

课型：新授课.

教学思路：探索结论-验证结论-初步应用结论-应用结论解决实际问题.

教学过程

1、情境导入

从观察课本中图18.1.1和图18.1.2入手引入勾股定理.

2、课前热身

观看图18.1.1和图18.1.2,数一数三块面积之间的关系，体验勾股定理的内涵.

3、合作探究

（1）整体感知

由观察课本中图18.1.1和图18.1.2入手得出勾股定理；通过在图18.1.3中动手操作证实

勾股定理：通过对本课本第50页例1的探索求解巩固勾股定理.

（2）四边互动

互动1：

师：你们能数出图18.1.1中三块面积P、Q、R的数值吗？数数看.

生：根据图形进行操作.

由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形

的面积.

师生共同归纳：SP+SQ=SR,即两直角边的平方和等于斜边的平方.

互动2

师：你们能数出图18.1.2中三块面积P、Q、R的数值吗？数数看.

生：根据图形进行操作.

由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形

的面积.师生共同归纳，SP+SQ=SR,即两直角边的平方和等于斜边的平方.

明确：师生合作通过操作证明勾股定理：a2+h2=c\

例题教学：

已知：如图，在AABC中，BC=2,AB=4后，AC=4,AD是BC边上的高，求BC的长.

师：你会用勾股定理解这道题吗？试试看.A

生：操作后相互交流./X.

明确：在一个直角三角形中：两直角边的平方和等于斜边的平方./'

注：在实际问题中往往需要求取近似值.CD

4、达标反馈

(1)在直角AABC中，NC=90°,a=3,b=4,则c值是,理由是.

(2)在直角^ABC中，ZB=90°,a=3,b=4,则c值是,理由是.

(3)在AABC中，a=3,b=4,c=5,则△ABC是.

5、学习小结

(1)内容总结

直角三角形三边满足勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方.

注意：应用勾股定理时应特别注意哪个角是直角.

(2)方法归纳

让学生经历观察、操作、交流合作、合理猜想等体验吸取知识.

6、实践活动：利用勾股数确定直角的方法在测量中的应用，如测量河宽时可用勾股数确定

直角，再利用直角三角形知识解决实际问题.

7、巩固练习：课本第18.1中第1、2题.

《18.1勾股定理》

教学目标

1.掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和

其他性质解决实际问题.

2.正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状.

3.熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培

养探索知识的良好习惯.

疑难重点

教学重点：掌握勾股定理及其逆定理.

教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理.

教学过程

1.按教材的思路讲解，带领同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点：

勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a2+42=c2）,不仅

可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线

段间的一些复杂的等量关系.在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助

线构造直角三角形.

2.为了计算方便，要熟记几组勾股数：

①3、4、5：

②6、8、10；

③5、12、13；

④8、15、17；

⑤9、40、41.

3.勾股数的推算公式：

罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789——1853）任取两个正整数勿和〃（®>n）,

那么成-〃2,2mn,成+成是一组勾股数.

4.典型例题分析:

例1:在直线1上依次摆放着七个正方形（如图1所示），已知斜放置的三个正方形的面积

分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、52、S3、%,则51+52+53+%=—

依据这个图形的基本结构，可设夕、52、53、54的边长为a、b、c、d,则有a2+62=l,。2+龙=3,

51=62,S2=a2,S3=c2,54=o2.51+52+53+51=Z?2+a2+c2+o2=l+3=4

例2：已知线段a,求作线段百a.

分析一：\[5a—J5a2—J4a2+4/

/.、石a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边.

分析二:亚a=《9a-4a2

,是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边.

5.要学会用方程观点解题:

例3：已知：如图7,△/及7中，/庐3,叱4,/庐90°,若将△/比折叠，使C点与4点重

合，求折痕跖的长.

分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连4E由已知，可得

AE=-

2,因此欲求外只要求4尸的长.设4后X,则向d,阶4-X,只要

利用/ZXA（声中，腑-胭=力应这个相等关系布列方程0（4-x）2=9,问题

就可以解决.

6.课堂小结:

2

（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有a

27

+/=c,这种关系我们称为勾股定理.（我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,

较长的称为股，斜边称为弦）

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.

222

(2)直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、b、c有关系：a+b=c,那么这

个三角形是直角三角形.

7.作业:

用5页第1.2题.

《18.1勾股定理》

教学目标

1.通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性.

2.通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能.

重点难点

重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边.

难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和.

疑点：灵活运用勾股定理.

教学过程

一、创设情境，导入课题

1、直角三角形有哪些性质？（从边、角两方面考虑）

（1）有一个角是直角；

（2）两个锐角的和为90°（互余）;

（3）两直角边的平方和等于斜边的平方.

反之，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢？

2、一个三角形满足什么条件才能是直角三角形？（板书课题）

（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（板书）

（2）有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；（板书）

（3）如果一个三角形的三边a,b,c,满足a2+62=c2,那么这个三角形是直角三角形.

3、合作探究

（1）整体感知

通过相同直角三角形的拼图体验，让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性，通

过运用勾股定理解题，训练培养学生应用知识的技能，通过阅读材料让学生体验勾股定理的

妙用.

（2）动手实践，发现新知.

试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什么形状的三角形(按

角分类)

1)3,4,4锐角三角形

2)2,3,4钝角三角形

3)3,4,5直角三角形

使用“几何画板”演示(拼图/还原/度量)，加深学生对拼出三角形形状的认识.

请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系.

1)3,4,4锐角三角形―32+42>42

2)2,3,4钝角三角形-22+32<42

3)3,4,5直角三角形-32+42=52

勾股定理是直角三角形的判定方法之一.

一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判

定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的.利用它可以

判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：

1)确定最大边；

2)算出最大边的平方，另外两边的平方和；

3)比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形；

4、例(补充)已知：在△/回中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,a=n2-l,b=-1n,

c=/?2+l(n>l)求证：Z<?=90°.

分析：(1)运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断

那条边最大.②分别用代数方法计算出a2+62和c-2的值.③判断a2+62和c2是否相等,若相

等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形.

(2)要证NC=90°,只要证△4比■是直角三角形，并且c边最大.根据勾股定理的逆定理只

要证明a2+62=c2即可.

(3)由于a2+62=(/?2-1)2+(2/?)2=/?4+2/?2+1,c2=(〃2+l)2=/?4+2成+1,从而a2+82=c2,

故命题获证.

已知：如图，在△49C中，G9是边上的高，且或求证：△c

BDA

4况1是直角三角形.

分析：•.362=492+或，

B(2=C%BD2.：.A(2+BCi=ADl+2CgBDl=AIk+2AD•B史BD1=(AABD)2=ABI

5、学习小结

(1)内容总结

可以通过拼图，得到正方形，再根据面积相等列出等式，从而验证勾股定理；

运用勾股定理可以解决许多实际问题；

运用三角形相似或全等知识能证明直角三角形中的勾股定理.

(2)方法归纳

通过动手操作、合作交流和亲身体验培养学生良好的学习方法，逐步养成优良的学习.

6、实践活动

动手制作直角三角形，并以三边长度为边作一个你喜欢的正多边形，研究它们面积之间的关

系.

7、巩固练习

课本练习

18.1勾股定理

一、教学目标

1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾,股定理。

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促

其勤奋学习。

二、重点、难点

1.重点：勾股定理的内容及证明。

2.难点：勾股定理的证明。

三、例题的意图分析

例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学

生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数

学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改

变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。

四、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多

信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一

种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在.两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角AABC,用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根

直尺折成直角”两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思

是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜

边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。你是否发现32.+42

与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

五、例习题分析

例1(补充)已知：在AABC中，ZC=90°,NA、/B、NC的对边为a、b、c。

求证：a2+b2=c2。

分析：⑴让学.生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同

的形状，利用面