高中数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教案、导学案与同步练习

《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教案

（第一课时）

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主

要学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

两个计数原理，其核心是准确理解两个原理，弄清它们的区别。理解它关键就是要根据实

例概括两个计数原理。学生对计数问题已经有一些经验和技巧，本节课的内容分类计数原

理和分步计数原理就是在此基础上的发展。由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两

个计数原理为基础,所以在本学科计数问题中有重要的地位，是本学科的核心内容。教学的

重点是两个原理的理解与应用，解决重点的关键是从单一到综合，恰当安排实例。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与1.数学抽象：两个计数原理

分步乘法计数原理；2.逻辑推理：准确运用两个计数原理解决问题

B.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据3.数学运算：运用计数原理解决计数问题

具体问题的特征，选择“分类”或“分步”.4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数

C.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.问题

【重点与难点】

重点：分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用

难点：准确应用两个计数原理解决问题

【教学过程】

教学过程教学设计

一、问题导学

计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基通过导语，帮助

本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧学生回顾计数问

妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从题，引出学习课

中得出巧妙的计数方法.题。

问题1.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座

位编号，总共能编出多少种不同的号码？

因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出

26+10=36种不同的号码.

通过具体问题，

已发学生思考，

问题2.你能说说这个问题的特征吗？

通过分析、比

上述计数过程的基本环节是：

较、归纳、形成

(1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；

对计数原理的认

(2)分别计算各类号码的个数；

识。发展学生数

(3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.

学运算，数学抽

你能举出一些生活中类似的例子吗？

象和数学建模的

一般地，有如下分类加法计数原理：

核心素养。

完成一件事，有两类办法.在第1类办法中有m种不同的方法，在第2

类方法中有n种不同的方法，则完成这件事共有:N=m+n种不同的方法.

二、典例解析

例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一

些自己感兴趣的强项专业，如表,

A大学B大学

生物学数学

化学会计学

医学信息技术学

物理学法学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？

分析:要完成的事情是“选一个专业”.因为这名同学在A,B两所大学

中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同

的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.

解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业

选择

方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所

大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种

数N=5+4=9.

利用分类加法计数原理解题的一般思路

(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类；

(2)计数:求出每一类中的方法数；

(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.

问题3.如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有m种不同

I

的方法，在第二类方案中有巾种不同的方法，在第三类方案中有m种不

23在典例分析和练

同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情习中让学生熟悉

有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计两个计数原理的

数呢？基本步骤，并能

分类加法计数原理：完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有区分它们的联系

m种不同的方法,第二类办法中有m种不同的方法……第n类办法中有和区别，发展学

12

生逻辑推理，直

m种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+m+-+m种不同的方法.

n12n

观想象、数学抽

跟踪训练1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数

象和数学运算的

是()

核心素养。

A.18B.36C.72D.48

解析：方法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分成

八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4

个、3个、2个、1个.由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有

8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).

方法二按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，

在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6

个、7个、8个.由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1+2

+3+4+5+6+7+8=36(个).

方法三考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想

解决.所有的两位数共有90个，其中，个位数字等于十位数字的两位

数为11,22,33,…，99,共9个；有10,20,30,90共9个两

位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有90-18=

72(个).在这72个两位数中，每一个个位数字(a)小于十位数字(b)的两

位数都有一个十位数字(a)小于个位数字(b)的两位数与之对应，故满足

条件的两位数的个数是72+2=36.故选B.

答案：B

问题4.用前6个大写的英文字母和广9个阿拉伯数字，以A,

1

A,…A,B,B,…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少

19I2

种不同的号码？

解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来

方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意一个

组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6X9=54种不同的号码.

问题5.你能说说这个问题的特征吗？

上述计数过程的基本环节是：

(1)由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；

(2)分别计算各步号码的个数；

(3)将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.

你能举出一些生活中类似的例子吗？

例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代

表班级参

加比赛，共有多少种不同的选法？

分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步，选男生；第二步，选女

生.

解：第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；

第二步,从24名女生中选出1人，有24种不同选择；

根据分步计数原理，共有30X24=720种不同方法.

问题6.如果完成一件事有三个步骤，做第1步有m种不同的方法，做

1

第2步有m种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这

2

件事共有多少种不同的方法？

N=mXmXm

123

如果完成一件事需要有n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法,那么

应当如何计数呢？

如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步

1

有m种不同的方法，…，做第n步有m种不同的方法,那么完成这件事的

2n

方法总数如何计算？

外媒集法评皴糜理•般结论：

N=mXmX•••Xm

12n

例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文

艺书，第3层放有2本不同的体育杂志.

(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法？

(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法？

(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法?

解：(1)根据分类加法计数原理可得：N=4+3+2=9；

(2)根据分步乘法计数原理可得：N=4X3X2=24；

(3)需先分类再分步.

第一类：从一、二层各取一本，有4X3=12种方法；

第二类：从一、三层各取一本，有4X2=8种方法；

第三类：从二、三层各取一本，有3X2=6种方法；

根据两个基本原理，不同的取法总数是

N=4X3+4X2+3X2=26

答：从书架上取2本不同种的书，有26种不同的取法.

应用分步乘法计数原理解题的一般思路

跟踪训练2.有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各

有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加)

(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项：

(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限.

解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报

名方法.

根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为3，=729.

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，

因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，

第三个项目有4种选法.

根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6X5X4=120.

(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人

参赛.根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6，=216.

三、达标检测

1.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出通过练习巩固本

4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（）节所学知识，通

A.20种B.15种C.10种D.4种过学生解决问

解析：若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方法，题，发展学生的

若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，若4本数学运算、逻辑

中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4本都是数推理、直观想

学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有4+4+6+1=象、数学建模的

15（种）.故选B.核心素养。

答案：B

2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选

择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（）

A.56B.65C.30D.11

解析：（D第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方

法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有5,种

不同的选法.故选A.

3.4张卡片的正、反面分别标有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3

张卡片排放在一起,可组成_________个不同的三位数.

解析:分三个步骤：

第一步:百位可放8-1=7个数；

第二步:十位可放6个数；

第三步:个位可放4个数.

根据分步乘法计数原理,可以组成N=7X6X4=168个不同的三位数.

答案：168

4.如图所示的电路图,从A至B共有_________条不同的线路可通电.

解析:先分三类.第一类,经过支路①有3种方法;第二类,经过支路②有1

种方法;第三类,经过支路③有2X2=4种方法,所以总的线路条数

N=3+1+4=8.

答案：8

5.如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C,求其中经

1

过3条棱的路线共有多少条？

解:从总体上看有三类方法,分别经过AB,AD,AA.从局部上看每一类又需

1

分两步完成.故第一类:经过AB,有m=1X2=2条;第二类:经过AD,有m=1

12

义2=2条;第三类:经过AA,有m=1义2=2条.根据分类加法计数原理,从

13

顶点A到顶点C经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.

1

6.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3

人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不

同的选法？

解：由题意知,有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.

方法一:分两类.

第一类:从只会英语的6人中选1人有6种选法，从会日语的3人中选1

人有3种选法.此时共有6X3=18（种）选法.

第二类:从“全能”的人中选1人有1种选法,从只会日语的2人中选1

人有2种选法,此时有IX2=2（种）选法.所以由分类加法计数原理知,共

有18+2=20（种）选法.

方法二:设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选和不入选两类情形，

入选后又分两种情况：（1）教英语；（2）教日语.

第一类：甲入选.

（1）甲教英语,再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理,有1

X2=2（种）选法；

（2）甲教日语,再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理,有1

X6=6（种）选法.故甲入选的不同选法共有2+6=8（种）.

第二类：甲不入选.

可分两步:第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法;第二步,从只

会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理,有6X

2=12（种）不同的选法.综上,共有8+12=20（种）不同的选法.

四、小结

两个原理的联系与区别通过总结，让学

1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基生进一步巩固本

本、最重要的方法.节所学内容，提

2.区别高概括能力。

分类加法计数原理分步乘法计数原理

区别完成一件事共有n类办法，完成一件事共有n个步骤，关键

关键词是“分类”词是“分步”

每类办法中的每种方法都能除最后一步外,其他每步得到的

独立地完成这件事,它是独只是中间结果，任何一步都不能

区别

立的、一次的且每种方法得独立完成这件事,缺少任何一步

到的都是最后结果，只需一也不能完成这件事，只有各个步

种方法就可完成这件事骤都完成了，才能完成这件事

各步之间是关联的、独立

区别各类办法之间是互斥的、并

的，“关联”确保不遗漏，“独

列的、独立的

立”确保不重复

【教学反思】

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用两个计数原理，产

生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。要解决这一问题，就要要通过

典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出两个计数原理，然后从单一到综合的方式，

安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生体会两个计数原理的基本思想。

《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教案

（第二课时）

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主

要学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

两个计数原理，其核心是准确理解两个原理，弄清它们的区别。理解它关键就是要根据实

例概括两个计数原理。学生对计数问题已经有一些经验和技巧，本节课的内容分类计数原

理和分步计数原理就是在此基础上的发展。由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两

个计数原理为基础,所以在本学科计数问题中有重要的地位，是本学科的核心内容。教学的

重点是两个原理的理解与应用，解决重点的关键是从单一到综合，恰当安排实例。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.进一步理解和掌握分类加法计数原理1.数学抽象：两个计数原理

和分步乘法计数原理；2.逻辑推理：运用分类思想解决复杂问题

B.能应用两个计数原理解决实际问题.3.数学运算：运用计数原理解决计数问题

4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数问题

【重点与难点】

重点：分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用

难点：准确应用两个计数原理解决问题

【教学过程】

教学过程教学设计

一、温故知新

两个原理的联系与区别

1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基

本、最重要的方法.

2.区别通过引导学生回

分类加法计数原理分步乘法计数原理顾计数原理，进

区别完成一件事共有n类办法，关键完成一件事共有n个步一步比较分析加

词是“分类”骤，关键词是“分步”深对两个计数原

理得理解。

除最后一步外,其他每

每类办法中的每种方法都能独步得到的只是中间结

立地完成这件事,它是独立的、果，任何一步都不能独

区别

一次的且每种方法得到的都是立完成这件事，缺少任

最后结果，只需一种方法就可完何一步也不能完成这件

成这件事事，只有各个步骤都完

成了，才能完成这件事

各步之间是关联的、独

区别各类办法之间是互斥的、并列立的，，，关联”确保不

的、独立的遗漏，“独立”确保不

重复

二、典例解析

通过具体问题，

例4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边

分析、比较、归

墙上的指定位置，

纳、加深对两个

问共有多少种不同的挂法？

计数原理的认

分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两

识。发展学生数

边墙上”，可以分步完成.

学运算，数学抽

解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，

象和数学建模的

可以分两个步骤完成：

核心素养。

第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法，

第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法，

根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是

N=3X2=6.

左边右边得到的挂法

亡一乙左甲右乙

丙左甲右丙

______甲左乙右甲

'vj--丙左乙右丙

__一甲左丙右甲

丙"U.

乙左丙右乙

例5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母

A〜G或U〜Z，后两个要求用数字1〜9.问最多可以给多少

个程序命名？

分析：要完成一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完

成：第1步，首选字符，第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字

符，还有首字符又可以分为两类。

解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13，

后两个字符从中选，因为数字可以重复，

所以1〜9不同选法的种数都为9.

由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13x9x9=1053，

即最多可以给1053个程序命名.

例6.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，

而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0

或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要

对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是

计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.

问：

(1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？

(2)计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字，一个汉字为一个字

符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？

分析：（1）要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数

字”.由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都是0,1两种选

择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理来

求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个

即可.

第1位第2位第3位第8位

2种2种2种2种

解：（1）一个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法计数原

在典例分析和练

理，一个字节最多可以表示

习中让学生熟悉

2X2X2X2X2X2X2X2=28=256个不同的字符；

两个计数原理的

（2）由（1）知，用一个字节能表示256个字符，

基本步骤，并能

：256〈6763,••.一个字节不够；根据分步乘法计数原理，

区分它们的联系

2个字节可以表示256X256=65536个不同的字符，

和区别，进而灵

V65536>6763,所以每个汉字至少要用2个字节表示.

活运用两个计数

例7.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行调试，程序员需

原理。发展学生

要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知

逻辑推理，直观

道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多字模块组

想象、数学抽象

成，如图，这是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路

和数学运算的核

径？

心素养。

另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程

序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？

分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执

行到A点；第2步是从A点执行到结束.而第1步可有子模块1、子模块

2、子模块3中任何一个来完成；第2步可以由子模块4、子模块5中任

何一个来完成，因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两

个技术原理.

解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2,、子模块3中的子路径

条数共为18+45+28=91；

子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.

又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为91X81=7371.

在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考

察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块，这样，它可以先分

别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要的

测试次数为

18+45+18+38+43=172.

再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的

各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要测

试的次数为3X2=6.

如果每个子模块都正常功能，并且各个子模块之间的信息交流也正常，

那么整个程序模块就工作，正常这样测试整个模块的次数就变为

172+6=178,显然178与7371的差距是非常大的.

1.使用两个原理的原则

使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”

是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加

法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步

解决,这时可用分步乘法计数原理.

2.应用两个计数原理计数的四个步骤

(1)明确完成的这件事是什么.

(2)思考如何完成这件事.

(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.

(4)选择计数原理进行计算.

例8.通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字

表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示发牌机关代号，第二

部分有阿拉伯数字和英文字母组成的序号如图，

其中，序号的编码规则为：

(1)由10个阿拉伯数字和除0,I之外的24个英文字母组成；

(2)最多只能有2个英文字母.

如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发

放多少张汽车号牌？

省、自治区、

直辖市尚称

发牌机关代号

典例解析

分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发

放的最多号牌数，按程序编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是

可重复的，并且可将序号分为三类；没有字母，有1个字母，有2个字

母，以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号，分为五个子

类，将有2个字母的序号•，分为十个子类.

解：有号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是

序号的个数，根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，

有1个字母，有2个字母.

(1)当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可分5个

步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法，根据分布

乘法计数原理，这类号牌张数为10X10X10X10X10=100000.

(2)当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、

第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.

当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1

步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从

10个数字中选一个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计

数原理，号牌张数为：24X10X10X10X10=240000.

同样，其余四个子类号牌也各有240000张。

根据分类加法计数原理，这类号牌张数，共为

240000+240000+240000+240000+240000=1200000.

(3)当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可将这类序

号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4

位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第

5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.

当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数

字：第广2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位，第2位，各

有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各

有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为

24X24X10X10X10=576000

同样其余九个子类号牌也各有576000张

于是这类号牌张数一共为576000X10=5760000

综合（1）（2）（3）根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发

放的汽车号牌张数为

10000十1200000+5760000=7060000.

解决抽取（分配）问题的方法

（1）当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或图

表法.

（2）当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法:①直接使用分类加法计

数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的，则按分步进行；

若是按对象特征抽取的，则按分类进行.②间接法.去掉限制条件,计算所

有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.

跟踪训练.7名学生中有3名学生会下象棋但不会下围棋,有2名学生

会下围棋但不会下象棋,另2名学生既会下象棋又会下围棋.现从中选出

会下象棋和会下围棋的学生各1人参加比赛，共有多少种不同的选法？

解:第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2

名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得

N=3X2=6（种）.

1

第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既

会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原

理得N=3X2=6（种）.

2

第3类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，同

时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原

理得N=2X2=4（种）.

3

第4类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,另

一名参加围棋比赛，有N=2种.

4

综上，由分类加法计数原理可知,不同选法共有

N=N+N+N+N=6+6+4+2=18（种）.

1234

三、达标检测

1.现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一通过练习巩固本

件上衣配成一套，那么不同的配法种数为（）节所学知识，通

A.11B.28C,16384D.2过学生解决问

401题，发展学生的

解析:要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4数学运算、逻辑

种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的选推理、直观想

法.故共有4X7=28（种）不同的配法.象、数学建模的

答案:B核心素养。

2.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数

的不同取法的种数为（）

A.30B.20C.10D.6

解析:从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加,和为偶数

可分为两类，①取出的两数都是偶数,共有3种取法;②取出的两数都是

奇数,共有3种取法.故由分类加法计数原理得,共有N=3+3=6（种）取法.

答案:D

3.中国有十二生肖，又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动

物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现

有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢

牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从

中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的

选法有（）

A.50种B.60种C.80种D.90种

解析:根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论：

若甲选择牛,此时乙的选择有2种,丙的选择有10种,此时有2X

10=20（种）不同的选法.

若甲选择马或猴，此时甲的选择有2种，乙的选择有3种,丙的选择有10

种，

此时有2X3X10=60（种）不同的选法.

一共有20+60=80（种）不同的选法.故选C.

答案:C

4.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两个端点异

色,若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法共有（）

A.48种B.72种C.96种D.108种

解析:设四棱锥为P-ABCD.

当A,C颜色相同时,先染P有4种方法,再染A,C有3种方法,然后染B

有2种方法,最后染D也有2种方法.根据分步乘法计数原理知,共有4X

3X2X2=48（种）方法;当A,C颜色不相同时,先染P有4种方法,再染A

有3种方法,然后染C有2种方法,最后染B,D都有1种方法.根据分步

乘法计数原理知,共有4X3X2X1X1=24（种）方法.综上,共有

48+24=72（种）方法.故选B.

答案:B

5.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会

钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有多少种不同的选

法？

解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号（把

该人记为甲），只会钢琴的有6人,只会小号的有2人.把从中选出会钢琴

与会小号各1人的方法分为两类.第1类，甲入选,另1人只需从其他8

人中任选1人,故这类选法共8种;第2类，甲不入选,则会钢琴的只能从

6个只会钢琴的人中选出，有6种不同的选法,会小号的也只能从只会小

号的2人中选此有2种不同的选法,所以这类选法共有6X2=12（种）.因

此共有8+12=20（种）不同的选法.

四、小W

个

两通过总结，让学

数

小——分类加法计数原理的应用

理

威生进一步巩固本

应分步乘法计数原理的应用

物

用—两个计数原理的综合应用节所学内容，提

五、课时练高概括能力。

【教学反思】

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题(或困难、障碍)是综合应用两个计数原理，产

生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。要解决这一问题，就要要通过

典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出两个计数原理，然后从单一到综合的方式，

安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生体会两个计数原理的基本思想。

《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》导学案

(第一课时)

【学习目标】

1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”.

3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.

【重点与难点】

重点：分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用

难点：准确应用两个计数原理解决问题

【知识梳理】

一、分类加法计数原理

完成一件事,如果有n类办法，且:第一类办法中有m种不同的方法，第二类办法中有.m种不

12

同的方法……第n类办法中有m种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+m+-+m种不同

n12n

的方法.

利用分类加法计数原理解题的注意事项

(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法,怎么才算是完

成这件事.

(2)完成这件事的n类办法,无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要

用到其他的方法.

(3)确立恰当的分类标准，准确地对“完成这件事的办法”进行分类，要求每一种方法必属于

某一类办法,不同类办法的任意两种方法不同,也就是分类必须既不重复也不遗漏.从集合的

角度看,若完成一件事分A,B两类办法,则AnB=0,AUB=I(I表示全集).

二、分步乘法计数原理

完成一件事,如果需要分成n个步骤，且:做第一步有m种不同的方法，做第二步有m种不同

12

的方法……做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=mXmX-Xm种不同的方

n12n

法.

利用分步乘法计数原理解题的注意事项

(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事需要几步.

(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了，才算完成这件事,无论缺少哪

一步,这件事都不可能完成.

(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐一去做,才能完成这件事,

各步之间既不能重复也不能遗漏.

(4)对于同一个题目，标准不同，分步也不同.分步的基本要求:一是完成一件事，必须且只需

连续做完几步，既不漏步也不重步;二是不同步骤的方法不能互相替代.

【学习过程】

一、问题导学

计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题

中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面

先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.

问题1.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编

出多少种不同的号码？

探究与发现

问题2.你能说说这个问题的特征吗？

你能举出一些生活中类似的例子吗？

二、典例解析

例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强

项专业，如表，

A大学B大学

生物学数学

化学会计学

医学信息技术学

物理学法学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？

利用分类加法计数原理解题的一般思路

(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类；

(2)计数:求出每一类中的方法数；

(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.

问题3.如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类

I

方案中有m种不同的方法，在第三类方案中有m种不同的方法，那么完成这件事共有多少

23

种不同的方法？如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，

那么应该如何计数呢？

跟踪训练1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是()

A.18B.36C.72D.48

问题4.用前6个大写的英文字母和「9个阿拉伯数字，以A,A,-A,B,B,…的

I1912

方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

问题5.你能说说这个问题的特征吗？

你能举出一些生活中类似的例子吗？

例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参

加比赛，共有多少种不同的选法？

问题6.如果完成一件事有三个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m种不同

I2

的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事需要有n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢？

如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m种不同的方

12

法，…，做第n步有m种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？

n

分那寨漆汁教糜理一般结论：

例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2

本不同的体育杂志.

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法？

(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法？

应用分步乘法计数原理解题的一般思路

跟踪训练2.有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报

名方法？(不一定6名同学都参加)

(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；

(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限.

【达标检测】

L某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学

生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有()

A.20种B.15种C.10种D.4种

2.现有6名同学去听同时进行的5