高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) 40(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（40）

一、单项选择题（本大题共7小题，共35.0分）

1.把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为

A.2：1B.1：7TC.1：2D.2：7T

2.如图，在三棱柱4BC-&B1C1中,4必，底面4/1乙4cB=90。,

BC=CC[=1,AC=3V2,P为BG上的动点，则CP+P4的最

小值为（）

A.2V5

B.1+3企

D.1+2遍

3.已知在三棱锥中，为等腰直角三角形，NBAC=90。，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

B.4兀C.37rD.67r

4.过平行六面体4BC。-&B1GD1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBBiA平行的直线共有

A.4条B.6条C.8条D.12条

5.如图所示，三棱锥P—48C的外接球的半径为凡且PA过球心，4P4B围绕棱PA旋转60。后恰

好与ZP4C重合.若NP4B=60%且三棱锥P-ABC的体积为丁，则R=（）

4P

A.1B.V2C.V3D.2

6.在正方体4BCD-4a的。］中，如图，M,N分别是正方形ABC£>,

BCGBi的中心.平面QMN将正方体分割为两个多面体，则点C所在

的多面体与点儿所在的多面体的体积之比是（）

7.已知等边△力BC的边长为2,过点4的直线/与过BC的平面a交于点。，将平面a绕BC转动（不

与平面ABC重合），且三条直线/,AB,AC与平面a所成的角始终相等.当三棱锥4-BCD体积

最大时，/与平面a所成角的余弦值为

A-TBTC.亨D-V

二、多项选择题（本大题共2小题，共8.0分）

8.折纸艺术起源于中国，是深受大众喜爱的手工艺.如图，有一张矩

形卡纸ABCD,M为BC的中点，将A4BM沿直线AM翻折成44aM,

连结当。，N为邑。的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的

是（）

A.存在某个位置，使得CN_LAB|

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若AB=BM,贝ih4M1BrD

D.若ZB=BM=1,当三棱锥&-AMD的体积最大时，三棱锥/一AMD的外接球的表面积是

47r

9.用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列判断正确的是（）

A.正六边形B.正三角形C.直角三角形D.梯形

三、填空题（本大题共11小题，共55.0分）

10.已知正方体2BCD-&B1C1O］的棱长为2,一个由两个全等且顶点重合的圆锥组成的沙漏置于其

中，圆锥的底面分别与4/1的。1和ABCC相切，F为GDi的中点.P,E分别为8和AB的中

点，若点M在该正方体的表面上运动，使CFJ•平面PEM,则点M的轨迹所在的平面截沙漏表

面所得的图形中焦点到该图形顶点的距离为.

11.已知三棱锥P-ABC,PAIJgjEfABC,乙4BC=今且PA=AC=2,4B=1,则三棱锥P-ABC

外接球的表面积为.

12.已知点P为半径等于2的球。球面上一点，过。尸的中点E作垂直于。尸的平面截球。的截面

圆为圆E.圆E的内接团4BC中，^ABC=90。，点8在AC上的射影为£),则三棱锥P-ABO体

积的最大值为.

13.已知圆锥的顶点为S,有两条母线SA,S3所成角的余弦值为，S4与圆锥底面所成角为45。，若

O

△S4B的面积为住，则该圆锥的侧面积为.

14.在梯形ABCD中，AB//CD,ABca,CDa,则C£＞与平面a内的直线的位置关系只能是

15.如图，直线1_L平面a,垂足为O,三棱锥A-BCD的底面边长和侧棱长

都为4,C在平面a内，8是直线/上的动点，则点8到平面a和平面ACD

的距离之和的最大值为.

16.在长方体ZBCD-&当的劣中，AD=DDr=1,AB=V3,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的

中点，P是底面4BCD内一个动点，若直线。iP与平面EFG平行，则ABAP面积最小值为

17.如图，在正方体力BCD-4aGD1中，点。为线段8。的中点•直线0G

与平面&BD所成的角为a,贝Usina的值为.

18.三棱锥的五条棱长都为2,另一条棱长为x,则x的取值范围是

19.如图，在半径为3的;圆形（。为圆心）铝皮上截取一块矩形材料0A8C,

其中点8在圆弧上，点4c在两半径上，现将此矩形铝皮04BC卷成一

个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），则圆柱形

罐子体积V最大是（圆柱体积公式：V=Sh,S为圆柱的底面积,

/z为圆柱的高）

20.已知正方体ABC。—&B1GD1的棱长为2,。是面的中心，点

P在棱GDi上移动，则|OP|的最小值时，直线。P与对角面44CG所

成的线面角正切值为.

四、解答题（本大题共10小题，共120.0分）

21.如图1,在RtAHBC中，乙4cB=90。，AB=4,AC=2,P为AB边的中点，现将△ACP沿CP

折起成三棱锥⑷-BCP（如图2）,使得4B=V10.

（I）求证：平面4cpJ_平面BCP；

（n）求直线4P与平面4BC所成角的正弦值.

22.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，S.SA=SB=SC,SG为△S48边AB上的高，D,

E,F分别是AC,BC,SC的中点，试判断SG与平面。E尸的位置关系，并给予证明.

23.已知三棱锥4-BCD中，与/BCD均为等腰直角三角形，且NBAC=90。，BC=CD=6,

E为AD上一点,且CE1平面4BD.

(I)求证：AB1CD；

(口)过E作一平面分别交4C,BC,8。于尸,G,H,若四边形EPGH为平行四边形，求多面体ABEFGH

的表面积.

24.如图1,已知在梯形ABC。中，AB//CD,E,尸分别为底A8,C。上的点，且EF1AB,EF=EB=

[FC=2,EA=|FD,沿EF将平面AEFZ)折起至平面4EF。_L平面EBCR如图2所示.

图1图2

(I)求证：平面BCD1平面BDF；

(11)若二面角8-力。一尸的大小为60。，求E4的长度.

25.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABCQ是矩形,P4l¥ffiABCD,

PA=AD=2,AB=1,4Mlp。于点M,连接BM.

(1)求证：PD1BM；

(2)求三棱锥M-ABC的体积.

26.如图1,在边长为2的等边△4BC中，D,E分别为边AC,AB的中点.将AHE。沿QE折起，

使得4B14D,AC1AE,得到如图2的四棱锥4一BCDE,连结B£),CE,且BD与CE交于点、

H.

图1图2

(1)求证：AHBCDE；

(2)求二面角8-AE-D的余弦值.

27.如图，在直三棱柱中，AB=BBi，平面4&口。，平面48%必，。为AC中点.

(1)证明:BiC〃平面4BD；

(2)证明：

28.如图所示，尸是%BCQ所在平面外一点，E,尸分别在PA,8。上，且PE：瓦4=BF：FD.

求证：EF〃平面PBC.

29.已知三棱锥A-BCD中，448C与/BCD均为等腰直角三角形，且4B4C=90。，BC=CD=6,

E为A。上一点，且CEJ■平面A8D

(I)求证：AB1CD；

(II)过E作一平面分别交AC,BC,BD于F,G,H,若四边形EFG”为平行四边形，求多面体ABEFGH

的表面积.

30.如图，四棱锥P-4BCD中，平面PC。1平面ABCD,且APCC是正三角形，四边形ABC。是正

方形，民?分别是。。,8。的中点.

(1)求证：平面P4FJ■平面P8E；

(2)若4B=2,求点E到平面PAB的距离.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查圆柱的几何特征、侧面积体积的计算和导数的应用，其中将圆柱的体积表示为x的函数，

进而转化为函数最值问题，是解答的关键.

设圆柱高为尤，即长方形的宽为X，则圆柱底面周长即长方形的长为6-X,圆柱底面半径：R=F，

27r

圆柱的体积匕利用导数法分析出函数取最大值时的X值，进而可得答案.

解：设圆柱高为X,即长方形的宽为X,

则圆柱底面周长即长方形的长为胃=6-x,

••.圆柱底面半径：R=7，

27r

Z

,圆柱的体积V=nRh=7T("$2%="T2"+36%,

'2冗,47r

.y,_3/-24%+36_3(X-2)(x-6)

471471

当久<2或x>6时，Kz>0,函数单调递增；

当2<%<6时，V<0,函数单调递减：

当x>6时，函数无实际意义，

x=2时体积最大，

此时底面周长=6-2=4,

该圆柱底面周长与高的比：4：2=2：I.

故选：A.

2.答案：C

解析：解：连4$,沿BG将ACBCi展开与△&BG在同一个平面内，如图所示,

连&C,则41c的长度就是所求的最小值.

BCi=2VL41cl=3V2.A^B=V26>通过计算可得乙41clp=90°

又乙BC1C=45°

•••"GC=135°

由余弦定理可求得&C=1Ag+的可-2Ale1•(C•COS135。

=J18+1-2x3>/2x1x(-y)=5-

故选：C.

连沿BQ将△CSC】展开与△&BCi在同一个平面内，不难看出CP+P4的最小值是&C的连线,

由余弦定理即可求解.

本题考查棱柱的结构特征，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，是中档题.

3.答案：D

解析：略

4.答案：D

解析:

此题考查线面平行的判断，解题的关键是画出图形，属于基础题.

由题意求平面DBaD1平行的直线，画出图形后，然后进行判断即可.

解：如图所示，与8。平行的有4条，与BB］平行的有4条，

四边形G//FE的对角线与面平行，同等位置有4条，总共12条，

故选。.

5.答案：D

解析:

本题考查三棱锥体积的计算，考查三棱锥的外接球的相关问题，正确求体积是关键.属于中档题.

过点B作1P力于“，连接C”，则依题意，^CHB=609,得出AB=R,CH=BH=-R＞利用

2

2

Vp-ABC=Vp-BCH+VA-BCH=|XX(^/?).2R=R3=旧求解出R的值.

解：过点8作B”1P4于“，连接C4,则C"_LPA,

BHCCH=H,BH、CHu平面BHC,

则241平面BHC,

则依题意，ZCHB=60%

•；P力为球的直径，Z.PBA=90°,又乙PAB=60°,

AB=R.

■■■Z.CHB=60s,

V3

CH=BH=BC=—R,

1V3/V3VV3,「

%-4BC=%-BCH+匕-BCH=gX彳X(丁R).2R=石/?=次

解得R=2.

故选D

6.答案：B

解析：

本题考查多面体的体积，考查空间想象能力，属于难题.

根据题意可作出相关图形，易知，V-：楂制-Qpp，=V三极敝_GHD］，即可得曝功颁pHDgCD=

V长方体QP，HG-DCCM=F正力体,从而可得所求比值为也

解：如图，取BC的中点E,延长OE,DiN,并交于点儿连接FM并延长，

设FMnBC=P,FMCtAD=Q,连接PN并延长交位的于点儿

连接AQ,DrH,则平面四边形5HPQ就是平面DiMN与正方体的截面，如图所示.

经过作图过程中的数据计算，点尸是线段8c靠近点B的三等分点，点Q是线段4。靠近点。的三

等分点，点”是线段&Ci靠近点G的三等分点.

作出线段BC的另一个三等分点P',作出线段为5靠近A的三等分点G,连接QP',HP',QG,GH.

易知，V三棱锥H-QPP，=V三棱锥Q_GHM，

所以名曲WQPHDIQCD=V长方体QP'HG-DCCi%=个正方体，

从而所求比值为

故选B.

7.答案：D

解析：

本题考查线面所成的角，三棱锥的体积等知识，难度较大.作出图形，可知要使体积最大，只需〃最

大，则当40J./1P时，即ADJ•面ABC时最大，可得答案.

如图，记/与平面a所成角为8,作40_La,AP1BC,在AAOC中，AO—2siiW，AP=代,

MBC

VA_BCD=VD_ABC=ix/ixS，要使体积最大，只需力最大，则当力。1AP时，即4。，面ABC

时人最大，

在△AOD中，AD=4^;=2,此时，在Rt△DAP中，tan。=空=追，故＜60=结，

sni0AD21

故选。.

8.答案：BD

解析:

本题考查几何体的翻折问题，考查空间中直线与直线的位置关系，球的表面积计算，考查空间想象

能力，属于中档题，对选项逐一判断其正确性即可.

解：对于A,取AO的中点为E,连接CE交于点F,如图1,

图1

则NE〃AB「NF“MB\

如果CNJ.4B1，则EN1CN,

由于ABilMBi，则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点,

故这是不可能的，故不正确；

对于B,如图1,由/NEC=NMABi,

且NE=^ABltAM=EC,

.♦.在ACEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

图2

取AM中点为0,•••4B=BM,即=则4M1B1。

若4MlBi。，由于当0n=Bi，

且&0,当。u平面ODBi，

AAM1平面。ODu平面0C81，

0D1AM,则/W=M0,

由于4。力MD,故4Ml不成立，故不正确；

对于。，根据题意知，只有当平面&AM，平面AM。时，

三棱锥S-4MD的体积最大，取AD的中点为£,

连接。E,B]E,ME,如图2

AB=BM=1,贝IjABi=BrM=1,

且AB】1BXM,平面&AMC平面AMD=AM

Br0LAM,By0u平面B/M

Bi。_L平面AMD,0Eu平面AMD

:.B]01OE,

则AM=V2,Br0=\AM=y，

OE=-DM=-AM=—，

222

从而%二俯"直=1,

易知£;4=ED=EM=1,

.•.4D的中点E就是三棱锥a-AM。的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4兀，故。正确;

故答案为：BD.

9.答案：ABD

解析：

本题主要考查了空间几何体及其结构特征的应用，解题的关键是熟练掌握空间几何体及其结构特征

的判断，

根据已知及空间几何体及其结构特征的判断，可知截面不可能是哪一个.

解：用一个平面去截正方体，截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、

等边三角形（如图所示），但不可能是钝角三角形或直角三角形，

锐角三角形等腰三角形等边三角形

②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形（如图所示），但不可能是直

角梯形；

梯形平行K边形变形矩形

③截面为五边形时，如图所示，不可能是正五边形;

五边形

④截面为六边形时，如图所示，可以是正六边形.

正六边形

故可选ABD.

10.答案：得

解析：

本题主要考查立体几何中的线面位置关系以及圆锥曲线的概念，属于较难题.

根据平面441D1。〃平面B81GC,可得四边形PE77V为矩形，由FC1平面及四边形PETN〃

平面可得FCJL平面PE7W,求得PN=在，结合抛物线的定义即可求解.

2

解：如图，EP1正方形DCGOi，

M的轨迹为过直线EP且垂直于CF的平面a与正方体的交线.

因为平面441AD〃平面BB1GC,

所以平面a与两平面的交线NT//PE.

同理可得NP〃7E,所以四边形尸E7W为矩形.

分别取CG，的中点G,H,

因为点F和点G分别为AG和CCi的中点，所以FG=：DiG=\CXC=CG.

又因为4FC1C=乙GCD=90。，

所以AFGC三△GCD,所以4GFC=4CGD.

又因为NGFC+GCF=90°,所以Z_CGD+zCjCF=90°,

Q是FC和QG的交点，

则MQC=180°-(乙DGC+NQCF)=90°,所以FC1GD.

又因为尸CLAD,ADCtGD=D,AD,GO属于平面AHGZ),

所以FC1平面AHGD.又可证四边形PETN〃平面AHGD,

故FCL平面PETN,

所以求得PN=叱.

2

故平面PETN截沙漏下面的圆锥表面的曲线为一段抛物线，

PE是垂直于对称轴的一段弦长，PE=2,顶点到PE的距离为由.

2

若设抛物线方程为y2=2px(p>0),则点呼,1)在抛物线上，

代入可得p=g，

所以焦点到顶点的距离为日=在.

210

故答案为更.

10

11.答案：87r

解析：

本题考查棱锥的外接球求表面积，考查空间想象能力、推理能力和计算能力，属于基础题.转化为长

方体的外接球问题即可解答.

解：由题意，得三棱锥P—4BC的外接球，相当于长为84=阮匚市=遍，

宽为AB=1,高为24=2的外接球，

则球的半径为R=^AB2+AC2+PA2=V2,

故球的表面积为4万屋=8大

故答案为87r.

B

12.答案：手

解析:

本题考查简单组合体及其结构特征，求棱锥的体积最大值问题，涉及利用导数研究闭区间上三角函

数的最值，属于综合题.

由题意，圆E的半径为百，设484。=仇则ABAD的面积为

SAABD（k*os”siM,得VpaBD2co,再利用导数可求得最大值.

解：由题意，圆E的半径为旧，

设NB力C=。,0<0<p

则AB=2\/3（x）«0,AD=

△A3。的面积为S^ABD6<8'OsiiW,

得VpABD2cos'仇in。,

令ycot<%siD0,0<0<p

则3<x）s2flsiirfl+cos」。，

令y，=0,解得<的6=渔，。=卷

26

当0<0<渺y>0.当、<0<ty，<0.所以函数在（呜）上单调邂增，在（，/上单调递减.

VpABD2cos3ftiiiiff42*（坐）3Xi，

2Lo

即三棱锥P-480体积的最大值为2.

8

故答案为更

8

13.答案：Qy[2n

解析：

本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的侧面面积的求法，考查空间想象能力以及计

算能力.

利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积.

解：圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为1

O

可得sin44sB=Jl-(于=誓.

由^S4B的面积为同，可得：SA2sin4ASB=V15,

BHS炉x叵=后，即S4=4.

28

SA与圆锥底面所成角为45。，可得圆锥的底面半径为：立x4=2鱼，

2

则该圆锥的侧面积：X4rr，8^2n-.

故答案为：8V27T.

14.答案：平行或异面

解析：

本题考查了空间的线面关系，直线与平面平行的判定定理及其应用，为基础题.

利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与平面平行，由此

能求出结果.

解：ABIICD,ABca,CD(ta,

・•・CD//a,

.••直线CD与平面a内的直线的位置关系只能是平行或异面.

故答案为平行或异面.

15.答案：4+V6

解析：

本题考查点到平面的距离.结合图形，弄清题意是解题的关键，首先点B到平面ACD的距离是定值，

而点8到平面a的距离的最大值是BC的长，只要求出点8到平面ACQ的距离问题迎刃而解，作BML

平面ACO,垂足为M,连接4例并延长与CD交于N点，判断历是△4CD的重心，利用勾股定理求

出从而求出所求的最大值.

解：作BM_L平面ACD,垂足为M,连接AM并延长与交于N点，

••♦三棱锥力-BCD的底面边长和侧棱长都为4

M是△力CD的重心

•••AN1CD

：.CN=ND=2

AN=yjAD2-ND2=J42-22=273

•••BM=y/AB2-AM2=/42—(Ix2V3)=|>/6

即B到平面ACD的距离为

点B到平面a距离的最大值等于BC的长，

所以点B到平面a和平面ACD的距离之和的最大值为4+|V6.

故答案为4+|V6.

16.答案:在

4

解析：

本题考查多面体的截面性质，属较难题.利用面面平行的性质补全截面为截面E/GHQR,得到

△BBiP为直角三角形，再求面积的最小值.

解：如图，补全截面EFG为截面EFG/7QR,

易知平面ZCDi〃平面设BRIAC于点R,

「直线QP〃平面EFG,

PeAC,且当P与R重合时，BP最短为BR,此时APaBi的面积最小，

由等积法：^BRxAC=lBAxBC,

得BR=—,又BBiJ•平面ABCD,

2

ABB11BP,APBB1为直角三角形,

故S0BB/=IxBB\xBP=9.

故答案为它.

4

17.答案：迫

3

解析：

本题考查了直线与平面所成角的求法，涉及线面垂直的判定及其性质运用，属于中档题.

根据题意，连接AC,AB],同时连接AC1，0C],取4cl与平面占8。的交点为E,连接0E,然后证

明平面&BD,得到“10E即为直线直线0cl与平面&BD所成的角a,然后解直角三角形即可

求解.

解：由题意，连接AC,ABr,同时连接4G，。6，取4cl与平面4B0的交点为E,连接OE,

因为BO14C,BD1CCX,ACClCCX=C,AC,CC；u平面ACQ,

所以BD，平面ACG，

乂AC】u平面力eq,

所以BDlAClt

同理可证B41平面

乂AC】u平面ABiG，

所以_L4Ci，

又B4inB0=B,BAltBDu平面&B0,

所以ACiJ_平面&BC,

所以NGOE即为直线。G与平面&BD所成的角a,

设正方体力BCD-&BiCi5的边长为2,

又三棱锥A为正三棱锥，则点E为底面&BD的中心，且底面正三角形为B。的边长为2vL

所以OE=241。=ix—X2V2=—,

31323

22

OC1=JOC+CCT=V2T4=V6>

GE=Joc/—OE2=j6-(3=?

所以sina=%=^=越.

0cLV63

故答案为2.

解析：

本题考查三棱锥的结构特征，考查组成三角形的三边关系，属于基础题,由三棱锥的结构特征和三角

形的三边关系求解.

解：如图:

设4。=AC=8。=BC=OC=2,点G是8的中点，所以三角形AC。,BC。都是等边三角形，BG=

AG=V3）由三角形三边关系知AB<BG+AG=2b，因为4B>0,所以0cAB<2w，即0cx<

2A/3.

故答案为（0,2V5）.

19.答案：逗

2n

解析：

本题考查圆柱的体积计算公式、利用导数研究函数的最值.

连接。8,在RtAOAB中，设4B=x,利用勾股定理可得04=二/，设圆柱底面半径为r,则

^/9^2=2nr,即可得出r,则U=兀产•式其中。<%<3）,利用导数求出V的最大值.

解：连接。8,在RtACMB中，设=则04=四二三，0〈尤<3,

设圆柱底面半径为r,则，9—/=27rr>

即4n=9—x2>

V=nr2-x=-x=9x~x-,其中0<x<3,

47r47r

由了,=上至=0,得x=6,

47r

由片>0解得0<x<V3;由，<0解得<%<3,

因此V在（0,遮）上是增函数，在（遮,3）上是减函数，

所以当％=旧时，丫有最大值，最大值为这，

2n

故答案为速.

2n

20.答案：I

解析:

由题意画出图形，可知当尸为GD1的中点时，|0P|最短，然后利用空间向量求解直线0P与对角面

4遇CG所成的线面角正切值.

本题考查空间中线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，

是中档题.

解：如图，则当P为GD1的中点时，|0P|最短,

以。为坐标原点，分别以D4,DC,所在直线为x,»Z轴建立空间直角坐标系，

则0(1,1,0),P(0,b2),OP=(-1,0,2)-

由图可知，平面44CG的一个法向量为元=(1,1,0),

则OP与对角面41ACG所成的正弦值sin。=|cos<OP,n>|=|温=I总,1=答.

八3V10.八sinO1

...cos0=__,tan0=—

故答案为七

21.答案：解：(1)在图1中，作AELCP，交CP于O,交CB于E,连接OB.「/ACB90,

AB=4,AC=2,P为AB边的中点，

BC=2值AP=CP=2,

AACP是等边三角形，

AO=V3,0C=1,A/01CP)在AOBC中，

由余弦定理得OB2=12+(2i/3)2-2x1x2x/3xCOB30°=7>

在图2中，；A，B-/IO,.-.A/O2+OB2-A/B2,

.-.A/010B.又CP,OBu平面BCP,CPdOB0,

,A，O,平面BCP,又AQU平面A/CP，

二平面ACP，平面8cp.

(口)以。为原点，OC.OE.OA/分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。一xyz,

则人/(0,0,&)，C(l,0,0),E(0点,0),P(—1,0,0)，/.Aid-(l,0,-V3)t旗=(0,，,-4),

33

设平面A/BC的法向量为记=®%z),贝1]｛吊入£II

rrl-A/t：0

x—V3z=0___.

{V3E7令z=l,则记=(魂,3,1)，又PA，(1,0,g),

——y—V3z=0

3J

由•际_2瓜_v<i9

cow<rfi-PA/>=imi-|PA)i_2s/i3―TT

故直线A/P与平面A/BC所成角的正弦值为

解析：本题考查了面面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题.

(1)在图1中，作AE_LCP，交CP于O,交CB于E,连接。8,可得出AQ^CP，在图2中，

■,A/By/Io..-.A/O2+OB2A/B2,.'.A/010B.A/O±¥ffiBCP,又AQc平面A/CP，

所以平面A/CP，平面8cp.

(U)以。为原点，OC.OE.OA，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。-xyz,求出平面A?BC的法

向量，利用向量夹角公式即可求解.

22.答案：解：SG〃平面0M.

证明如下：

连接CG交。E于点H,连接FH,如图,

VDE是△ABC的中位线，

DE//AB,

在A4CG中，。是AC的中点，S.DH//AG,

•••H是CG的中点.

••.F”是4SCG的中位线，

•••FHHSG.

又SG仁平面DEF,FHu平面DEF,

SG〃平面DEF.

解析：本题考查线面平行判定定理，考查空间想象能力，属基础题目.

连接CG交OE于点H,连接尸”，借助中位线得线线平行，进而得H是CG的中点，FH是ASCG的

中位线，即可得证.

23.答案：（I）证：^BAC=90。，••・AB1AC

vCE1平面AB。，ABu平面ABD,CE1AB

且4CnCE=C,AC,CEu平面4CD,

得4B1平面ACD,AB1CD

（H）解：等腰直角三角形BCQ中，BC=BD,

8cle7）；

又•••ABIC。，且4BnBC=B,

AB,BCABC,

所以CD_L平面ABC,「.CDLAC.

等腰Rt△ABC中，•••BC=6,AC=3近,

又RMACD中，CD=6,CELAD,AD=y/AC2+CD2=376-

而AC2=4EMD,可得4E=V^,故4E=gA。，

•••四边形EFGH为平行四边形，二EF〃GH,EF〃平面BCD,

又EFu平面ACC,且平面ACDn平面BCD=CD,EF//CD.

由4E=1AD得EF=\CD=2,且AF=^AC;

由CD_L平面ABC得CD1FG,进而EF_LFG;

同理可得FG〃/IB,且尸G=^AB=2V2.

进而可分别求得S4AEF=S^BGH=2,S48GF=5,SEFGH=4A/^,S^AEHB=SyTi,

所以所求表面积为S=7+5V3+5V2.

解析：线面垂直的判断定理及性质定理的综合应用，属于中档题.

(1)有题设可证得4814。，CE1AB,根据线面垂直的判断定理可得AB1平面ACD,继而得证结

论.

(U)由条件可证得CDJ"平面ABC,于是CDLAC.Rt^ACD^,根据射影定理可求出AE的长，确

认4E=切立由四边形EFG”为平行四边形又可得知4F=^AC,由CD，平面A8C可证得EF1FG,

可求得FG的长.进而可求出多面体ABEFG”的各面的面积，即可求出结果.

24.答案：解：(I)证明：由EF=EB=^FC=2,EFLAB,

得FB=BC=2近，则8c1FB,

又翻折后平面4EF。，平面EBCF,平面4EF0n平面EBCF=EF,DF1EF,

所以CF1平面EBC凡因而BC1DF,又DFCiFB=F,

所以BC1平面8。尺由于BCu平面BCO,

则平面BCD1平面BDF-,

(II)以F为坐标原点，FE,FC,F。所在的直线分别为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则尸(0,0,0),B(2,2,0),

设£\4=t(t>0),贝！M(2,0,t),0(0,0,2t),

AB=(0,2,-t),AD=(-2,0,t)(8分)

设平面ABD的法向量为沅=(x,y,z),则［里•史=°BP(2T丁=°n,

-(m-AD=0(-2x+tz=0

取x=3则丫=t,z=2,

所以沅=(t,f,2)为平面ABD的一个法向量.

又平面E4D的一个法向量为五=(0,1,0),

则1侬(沆，元>1=制=而占♦

所以t=VL即EA的长度为鱼.

解析：略

25.答案：(1)证明：•••PAI5?®ABCD,PA1AB.

又TBAIAD,ADC\PA=A,

ABI5?®PAD,：.AB1PD.

AM1PD,ABnAM=A,

PD，平面ABM.

•••PD1BM.

(2)解：由(1)可知：AM1PD.

•.•在△PAD中，AP=AD=2,M是尸。的中点.

过点M作MH_L4D,则MH_L底面ABC。，且MH=gP4=L

V三棱解t-ABC~衿BC,MH回|xix2xlxl.

解析：(1)要证BM1PD,只要证明PD1平面AMB即可，因为已知AM1PD,所以只要证明PD1AB

即可，为此需要证明4B_L平面PAO,由已知条件可以得出；

(2)要计算三棱锥B-AMC的体积，只要求出把ABAC作为底面时的高即可，只要作则可

以证明MH1底面ABCD-,

本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理，几何体体积计算，属于中档题.

26.答案：(1)证明：由题意，AD=CD=1,BD=CE=6,

又因为4B1AD,所以，AB=y/BD2—AD2=V3—1=V2，

所以,AC2=AD2+CD2,即ZD1CD.

又因为CO_LBD,且BOnAO=D,BD,40u平面AB。，

所以，。。_1_平面48£>.

又AHu平面ABD,

所以CD1AH.

由在直角三角形C”。中，CD=1,Z.DCH=30°,DH=—，

3

所以处=丝=在，贝必"DA“△/WB,

ADBD3

所以N4HD=90。，即4H1BD,

又BD,CDu平面BCDE,BDCtCD=D,

所以AHJ.平面BCDE.

(2)解：

如图，过点。作。z_L平面8CDE,。8为"曲，0c为y轴，£>z为z轴，建立空间直角坐标系,

所以，£>(0,0,0),B(V3,0,0),f(y,-pO).

设点4(a,0,b),

由4D=1,AB=夜得｛:0[V3)2j〃=2,

解得a='/=?，所以4(今0净.

所以m=(今一人曲,同=(雪,0,一步育=谭,0净,

设平面AED的法向量为/=(Xi.yi，Zi),

所以笆.日=0,即俨1=9+2曲

(D4•元=0(%1+yJ2z1=0

取Z1=-1,得石=(企，①,一1),

同理可得平面AEB的法向量为五=(1,一次,企)，

所以COS<而，石>=二餐=一手.

由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B-AE-D的余弦值为-立.

3

解析：本题主要考查线面垂直的判定及求二面角问题，是中档题.

(1)利用线线垂直则线面垂直即可判定；

(2)利用空间坐标法，利用求平面的法向量的夹角求两平面的二面角.

27.答案：证明：(1)连结4%交4中于点T,连结7D.

因为三棱柱ABC-ABiG，

所以四边形是平行四边形，且ABiC&B=T,

所以7为4当的中点.

在ZL481c中，因为7、力分别为AB】、AC的中点，

所以D77/B1C,又因为D7u平面&BD,8通《平面&BD,

所以BiC〃平面&BD.

(2)因为直三棱柱48。一为8传1，所以A4_L平面ABC,

因为ACu平面ABC,所以44iJ.AC,

又因为平面4&GC_L平面且平面441clen平面488遇1=441，ACu平面441GC,

所以4c，平面48B遇i，

又因为u平面ABB14,所以ACL&B.

在2L4B1B中，=且T为4B1的中点，

所以AB】_L4iB,又因为4clAiB,S.ACnAB1=A,ACu平面4当。，AB】u平面4BiC,

所以，平面Z