初升高数学暑假衔接（人教版）综合测试第4章：指数函数与对数函数（教师版）

第4章：指数函数与对数函数基础检测卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．函数（且）的图象恒过定点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于函数，则，可得，则，所以，函数（且）的图象恒过定点坐标为.故选：C.2．设，那么m等于（）A．B．9C．18D．27【答案】B【解析】,，，故选：B.3．函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，又在上单调递增，所以，故函数的值域为．故选：B．4．碘—131经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是8天（即经过8天的时间，有一半的碘—131会衰变为其他元素）.今年3月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘—131，到3月25日凌晨，测得该容器内还剩有2毫克的碘—131，则3月1日凌晨，放入该容器的碘—131的含量是（）A．8毫克B．16毫克C．32毫克D．64毫克【答案】B【解析】设3月1日凌晨放入该容器的碘—131的含量是x毫克，由题意，3月1日凌晨到月25日凌晨共经历了3个半衰期，所以，解得，即放入该容器的碘—131的含量是16毫克.故选：B5．若函数对任意都有，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，在R上是减函数，则有，解得.故选：D.6．已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数图象可知函数为单调递减函数，结合可知，当时，，当时，，故，故选：D7．函数在区间上的零点必属于区间（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解法一：二分法由已知可求得，，，，，.对于A项，因为，所以A项错误；对于B项，因为，所以B项错误；对于C项，因为，所以C项错误；对于D项，因为，所以D项正确.解法二：因为，所以，即函数在区间上的零点为2，故D正确.故选：D.8．已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为在R上单调递减，故，即，因为在上单调递增，故，因为在上单调递减，故，故.故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列运算中正确的是（）A．B．C．若，则D．【答案】BD【解析】对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；对于选项B，，故B正确；对于选项C，设，两边分别平方可得，因为，所以，故，故C不正确；对于选项D，，故D正确．故选：BD．10．关于函数与函数说法正确的有（）A．互为反函数B．的图像关于原点对称C．必有一交点D．的图像关于对称【答案】AD【解析】与函数是互为反函数，图像关于对称，故AD选项正确;的图像不关于原点对称，故B选项错误;当时,没有交点，故C选项错误;故选:AD.11．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（）A．的单调递减区间是B．的单调递增区间是C．的最大值是D．的最小值是【答案】ACD【解析】设，，则是增函数，且，又函数在上单调递增，在上单调递减，因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误；，故C正确；，，因此的最小值是，故D正确．故选:ACD．12．关于函数，下列描述正确的有（）A．在区间上单调递增B．的图象关于直线对称C．若则D．有且仅有两个零点【答案】ABD【解析】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．求函数的定义域______．【答案】【解析】要使原函数有意义，则，即，解得或．所以，函数的定义域为．故答案为：14．设，，为奇函数，则的值为__________．【答案】【解析】要使为奇函数，∵,∴需，∴，由,得,．故答案为：1.15．已知函数在区间上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：，，，，，，据此可得该零点的近似值为________．（精确到）【答案】【解析】因为，，即，所以由零点存在定理可知的零点在之间，近似值为.故答案为：.16．若方程的两根分别在区间和内，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】令，因为方程的两根分别在区间和内，所以，解得，故答案为：四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）化简：；（2）计算：．【答案】（1）（2）【解析】（1）；（2）.18．已知函数（且）的图象经过点．（1）求的值；（2）比较的的大小；（3）求函数的值域．【答案】（1）a；（2）答案见解析；（3）【解析】（1）因为函数（且）的图象经过点，所以，，因为且，解得.（2）因为函数为上的减函数，且，当时，，则，当时，，则.综上所述，当时，；当时，.（3）因为，则，当且仅当时，等号成立，所以，.19．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份.（参考数据：，）.【答案】（1）选择模型符合要求，解析式为；（2）【解析】（1）函数与在上都是增函数，随着的增加，函数的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型符合要求.根据题意可知时，时，，，解得.故该函数模型的解析式为；（2）当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，由，得，，，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.20．设，且.（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的最大值.【答案】（1）2，；（2）2.【解析】（1）∵，∴，∴.由，解得，∴函数的定义域为.（2），∴当时，是增函数；当时，是减函数，函数在上的最大值是.21．已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）若函数，且在区间上为增函数，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由是偶函数可得，则，即,所以恒成立，故.（2）由（1）得，所以，令，则．为使为单调增函数，则①时显然满足题意；②；③.综上：m