浙江省杭州市“桐·浦·富·兴”教研联盟2023-2024学年高二下学期调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市“桐·浦·富·兴”教研联盟2023-2024学年高二下学期调研测试数学试题考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有〖答案〗必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.36 B.48 C.96 D.24〖答案〗B〖解析〗等差数列中，由得.故选：B2.某校一次数学考试成绩服从正态分布，已知，则（）A.0.15 B.0.25 C.0.3 D.0.2〖答案〗C〖解析〗由服从正态分布，，得.故选：C3.已知随机变量的分布列如下，则（）123A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由分布列的性质知，所以，所以.故选：B4.已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得：，即，根据导数的定义可知：，又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率，所以过点处的切线方程为：，即，故选：A.5.已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，由对立事件概率计算公式可得：，则，故选：D.6.某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲､乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（）A.24 B.12 C.48 D.36〖答案〗A〖解析〗先将甲乙捆绑看做一个元素，那么就变成共有4个不同元素参与站成一排，由于丙不站在两端，特殊元素优先，先安排丙共有种排法；然后其他三个不同元素全排，共有种排法；接着再捆绑的甲乙两人内部全排共有种排法，因此总共满足条件的不同排法有种，故选：A.7.已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，，显然，则有，于是，令，求导得，当，即时，，函数在上单调递增，，即；当，即时，当时，，函数在上单调递减，，，此时，不符合题意，所以实数的取值范围为.故选：C8.记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（）A.23 B.22 C.24 D.25〖答案〗D〖解析〗由于，而，故.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对两个变量和进行回归分析，则下列说法正确的是（）A.在比较两个回归模型的拟合程度时，决定系数越大，拟合效果越好B.若变量和具有线性相关关系，则回归直线方程至少经过样本点的其中一个点C.建立两个回归模型，模型1的线性相关系数，模型2的线性相关系数，则模型1的线性相关性更强D.残差图中的点均匀地分布在一条水平的带状区域内，该带状区域宽度越窄，模型的拟合效果越好〖答案〗ACD〖解析〗对于A：在比较两个回归模型的拟合程度时，决定系数越大，即残差平方和越小，所以拟合效果越好，故A正确；对于B：回归直线方程不一定过样本点，故B错误；对于C：因为，，即，所以模型1的线性相关性更强，故C正确；对于D：残差图中的点均匀地分布在一条水平的带状区域内，该带状区域宽度越窄，说明预测值与实际值越接近，所以模型的拟合效果越好，故D正确.故选：ACD10.已知，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗AC〖解析〗令，代入，得：，故选项A正确的；由得：，所以，，即，，由于，所以，故选项B是错误的；由两边求导得：，再令，代入上式得：，故选项C是正确的；再令，代入可得：，因为，所以，故选项D是错误的；故选：AC.11.已知函数，其中，则下列选项正确的是（）A.若，则BC.，使有两解，则D.有最大值〖答案〗BD〖解析〗对于A选项，，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，无法判断的大小关系，故A错误；对于B选项，，记，则，所以在上单调递增，在上单调递减，故，故B正确；对于C选项，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，因此当时，仅有一解，故C错误；对于D选项，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故D正确，故选：BD.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列满足，且，则__________.〖答案〗1〖解析〗由可得：，两式相减得：，由此可得：，故〖答案〗为：1.13.已知盒子内有大小相同，质地均匀2个红球和3个白球，现从中取两个球，记随机变量为取出的红球的个数，则__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，随机变量的所有可能取值为0,1,2，，，因此的分布列为：012,故〖答案〗为：.14.已知函数满足，且，当时，，则不等式的解集为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以为奇函数，故为偶函数.当时，，令，故当时，，且为偶函数.由，故，即.而，所以.由上知在上递减，上递增.因此，即.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数在处的切线与直线垂直.（1）求；（2）求的极值.解：（1）由可得，则.因为切线与直线垂直，所以，解得.（2）由（1）知，令得，或，当时，，所以的递增区间为；当时，，所以的递减区间为.因此当时，取得极大值1；当时，取得极小值.16.为贯彻落实《健康中国行动（2023-2030年）》､《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，其中男生与女生人数之比为，并对他们进行了“是否喜欢体育运动”的问卷调查，得到如下统计结果：性别体育运动合计喜欢不喜欢男生50女生15合计（1）请根据要求完成列联表，并根据独立性检验，判断是否有把握认为“是否喜欢体育运动”与性别有关；（2）为了了解学生不喜欢体育运动的原因，从上述不喜欢体育运动的同学中随机选3位同学进行咨询，所选的3人中已知至少有两位是男生的条件下，求另外一位是女生的概率.参考公式：.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828解：（1）根据题意完成如下列联表，性别体育运动合计喜欢不喜欢男生501060女生251540合计7525100假设：“是否喜欢体育运动”与性别无关，则，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即可以认为“是否喜欢体育运动”与性别无关.（2）记事件：“所选3人中至少有两位是男生”，“所选3人中有女生”则所以.17.已知数列的前项和为，且，数列为等比数列，且.（1）求数列通项公式；（2）若数列满足，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.解：（1）∵数列的前项和为，且，∴当时，，当时，，故，又数列为等比数列，设公比为，则，所以，所以.（2），∴，故，而，故，由于当时，，故，所以.18.有一款闯关游戏，其规则如下：一颗棋子位于数轴原点处，若掷出的骰子大于或者等于3，则棋子向右移动一个单位（从0移动到1），若掷出的骰子小于或者等于2，则棋子向右移动两个单位（从0移动到2），若棋子移动到99处，则“闯关失败”，若棋子移动到100处，则“闯关成功”，无论“闯关失败”或者“闯关成功”都将停止游戏，记棋子在坐标处的概率为.（1）求；（2）求证：为等比数列（其中），并求出；（3）若有5人同时参加此游戏，记随机变量为“闯关成功”的人数，求（结果保留两位有效数字）.解：（1）由题意，向右移动一步的概率为，向右移动两步的概率为，由此得.（2）由题意，，则，所以是首项为，公比为的等比数列，故，所以累加可得，所以.（3）由（2）可知，，所以，而随机变量服从的二项分布，所以.19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若关于的方程有两根（其中），①求的取值范围；②当时，求的取值范围.解：（1）