山西省太原市2023-2024学年高二下学期期中学业诊断数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省太原市2023-2024学年高二下学期期中学业诊断数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.等差数列中，，则的公差（）A.3 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，，故选：A．2.已知函数，则（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗，则.故选：C3.等比数列中，，则的前项和（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设等比数列的公比为，由，则，由，则，解得，所以.故选：B.4.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，由，得，所以函数的单调递增区间是．故选：D.5.已知是等差数列，，，则（）A.6 B.9 C.18 D.27〖答案〗C〖解析〗设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以.故选：C6.已知函数的图象如下图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，,,由图可知，，在和单调递减，单调递增，故的解集为,所以二次函数开口向下，，且的根为，故，，所以.故选：C7.已知、分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（）A.13 B.3或13 C.9 D.9或18〖答案〗D〖解析〗设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，，得，解得或．或．故选：D．8.已知函数在处有极小值，则的极大值为（）A.1 B.1或3 C. D.4或〖答案〗C〖解析〗因为，所以，由，即，解得或，当时令，解得或，所以当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，在处取得极大值，则；当时令，解得或，所以当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意，故舍去；综上可得；故选：C．二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（）A. B.C.是递增数列 D.是递增数列〖答案〗ACD〖解析〗由得，，即，因为，所以，，故A正确；因为为增数列，且，所以时最小，所以是递增数列，故C正确；因，故B错误；因为，所以，即为公差为1的等差数列，所以是递增数列，故D正确，故选：ACD．10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.有两个极值点 B.的极小值为C.在上单调递减 D.函数无零点〖答案〗BD〖解析〗定义域为，，令，得或（舍去），当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以是极小值点，极小值为，故B正确，A错误，C错误；，即函数无零点，故D正确；故选：BD．11.已知数列满足，则下列结论正确的是（）A. B.是递增数列C.是等比数列 D.是递增数列〖答案〗ACD〖解析〗对于AB，依题意，，，A正确，B错误；对于C，，而，因此是以为首项，为公比的等比数列，C正确；对于D，由选项C知，，显然数列是递增数列，因此数列是递增数列，D正确.故选：ACD12.已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是（）A B.C.当时， D.当时，〖答案〗BC〖解析〗设，由是定义在上的奇函数知，则时，为偶函数，且时，，故在单调递减，由偶函数的对称性知，在单调递增，故，即，故，B选项正确；当时，，故，C选项正确；当时，，故，D选项错误；由B，D选项知，，故，A选项错误.故选：BC三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13.曲线在处的切线方程为______．〖答案〗〖解析〗当时，，，则，所以曲线在处的切线方程为，即，故〖答案〗为：．14.已知数列中，，则______．〖答案〗〖解析〗由可得，可见数列的周期为3，因，则.故〖答案〗为：.15.已知递增等比数列的前项和为，且，，，则数列的前项和为______．〖答案〗〖解析〗由为递增等比数列，所以，且，由，得，，解得或（舍去），将代入，得，所以，所以，，设数列的前项和为，故〖答案〗为：．16.函数的最小值为______〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，且，令，则，函数在上单调递增.，，所以，存在，使得，则，.当时，，则，此时函数单调递减；当时，，则，此时函数单调递增.所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求在区间上的最大值与最小值．解：（1），令得，或，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以的极大值为，极小值为．（2）由（1）得，在和上单调递增，在上单调递减，因为，所以在区间上的最大值为；因为，所以在区间上的最小值为．18.已知递增等比数列满足，是与的等差中项．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）因为是与的等差中项，，所以，即，解得或，因为为递增等比数列，所以，所以．（2），．19.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．解：（1），因为，所以，令，即，解得，令，即，解得，所以递减区间为，递增区间为和．（2）函数恰有两个零点，则有两个根，即与有两个交点，由，，，，由（1）画出图象，由图象可知，．20.已知数列中，，，是的前项和，且满足，等比数列中，，．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求使成立的的最大值．解：（1）当时，由，得，两式相减得，因为，所以，当时，，则数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，则，则数列的偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，则，综上：；（2）由，，解得，则，，则，，两式相减得，，所以，由，当时，，当时，，所以使成立的的最大值为6.21.已知函数．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）设满足，证明：．解：（1）函数的定义域为，求导得，令，求导得，即函数在上递增，则，即，于是，由，得；由，得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，，解得，所以实数的取值范围