江西省新八校2024届高三第二次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省新八校2024届高三第二次联考数学试题一、单选题1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，由三角函数的定义得.故选：A.2.若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗双曲线的右焦点为，所以抛物线的准线为，，解得.故选：D.3.已知等比数列的前项和为，，且，则（）A.120 B.40 C.48 D.60〖答案〗B〖解析〗因为数列为等比数列，设数列的公比为，若，则，此时，由已知，即，解得，不成立，所以；因为，，则有：，解得，，所以.故选：B4.从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（）A.0.8 B.0.675 C.0.74 D.0.82〖答案〗D〖解析〗根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人，从乙队中抽取人，这人答对题目的平均数为，所以这人答对题目的方差为.故选：D.5.已知，，且，则的最小值为（）A.10 B.9 C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，令，，所以，，代入得：，因为，，所以.当且仅当时，即时等号成立.的最小值为.故选：C.6.已知正方体的棱长为4，点满足，若在正方形内有一动点满足平面，则动点的轨迹长为（）A.4 B. C.5 D.〖答案〗C〖解析〗如图，在棱上分别取点，使得，，连接，因为，，所以，，因为平面，平面，所以平面，因为，所以，又，正方体的棱长为4，所以，，，在棱上取点,使得，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又且，则四边形是平行四边形，所以，所以，因为，所以，则，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以，平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面平面，所以，在正方形内有一动点满足平面时，点的轨迹为线段，因为，所以，动点的轨迹长为.故选：C.7.已知定义在上的函数满足且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可知关于对称，又，则，又，则，，.故选：A.8.已知，求（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意，，由诱导公式，可得，所以，

则.故选：D.二、多选题9.设为复数，且，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则最大值为3C.若，则D.若，则在复平面对应的点在一条直线上〖答案〗BD〖解析〗对于A，令，满足，但不成立，故A错误；对于B，设，，因为，则复数的对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上，的几何意义为到的距离，其最大值为，故B正确；对于C，令，则，，满足，但，故C错误；对于D，因为，设对应的点为，若，则在复平面内对应点到和的距离相等，即在复平面内对应点在线段的垂直平分线上，所以在复平面对应的点在一条直线上，故D正确；故选：BD．10.已知中，为的角平分线，交于点为中点，下列结论正确的是（）A.B.C.的面积为D.在的外接圆上，则的最大值为〖答案〗ACD〖解析〗在中，由余弦定理得，由角平分线定理得：，所以A正确；由得，解得，所以B错误；，所以C正确；在中，设，则，由正弦定理得：，其中，所以D正确.故选：ACD.11.若恒成立，则实数的取值可以是（）A.0 B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由题知，，①当时，在恒成立，②当时，由，则，即恒成立，设，则，令得，所以当时，，则在单调递减，当时，，则在单调递增，所以，则，所以，即满足题意；③当时，设，则，令，，当时，，则在单调递减，当时，，则在单调递增，所以在单调递增，且，，所以，使得；当时，，即，设，则，所以在上单调递减，所以当时，；当时，即，设，则，设，，设，则，可知在内单调递增，所以，即，所以，所以，所以在上单调递增，所以当时，，又因为当时，，所以当时，，解得，又，所以，综上，，故选：ABD三、填空题12.若集合，，且，则___________.〖答案〗〖解析〗因为，，且，所以且，显然，所以且，所以，所以，，所以.故〖答案〗为：13.已知分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，满足，则该双曲线的离心率为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，故点在左支上，作的内切圆，设内切圆与切于点，与切于点，该内切圆切于点，连接，，，，，则，，，且平分，平分，接下来证明点为双曲线的左顶点：由双曲线的定义可知：，因为，，，所以，设点坐标为，则，解得：，故点为双曲线的左顶点，因为，所以，所以所以，所以，所以，所以．故〖答案〗为：.14.球面上的三个点，每两个点之间用大圆劣弧相连接，三弧所围成的球面部分称为球面三角形．半径为的球面上有三点，且，则球面三角形的面积为______．〖答案〗〖解析〗如图1所示，设过的大圆与过的大圆交于直径，过点分别作，垂足为，连接，则，在中，由余弦定理得，，则，所以，则，在中，由余弦定理得，，即，由二面角定义得，二面角为，在图2中，设过的大圆与过的大圆交于直径，过的大圆与过的大圆交于直径，同理可得，二面角为，二面角为；设球的表面积为，则，设球面三角形的面积为，则所在的大圆和所在的大圆，将球面分成了四个部分，其中面积较大的两个部分的面积之和等于球的表面积的倍，即，类似可定义，且同理有，，而根据球面被这三个大圆的划分情况，又有，所以，所以，故〖答案〗为：．四、解答题15.如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为下底面圆周上异于、的点．（1）点为线段的中点，证明：直线平面；（2）若四棱锥的体积为3，求直线与平面夹角的正弦值．解：（1）取中点，连接，则有，，如图：在等腰梯形中，，所以，，则四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面．（2）过点作于，在等腰梯形中，，所以梯形的高，所以等腰梯形面积为，所以四棱锥的体积，解得，在中，由射影定理得或，当时，以为坐标原点，以过点平行与的方向，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系；则有，故，，设平面的法向量，故，令，得，设直线与平面夹角的大小为，则，所以直线与平面夹角的正弦值为；当时，以为坐标原点，以过点平行与的方向，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系；则有，故，，设平面的法向量，故，令，得，设直线与平面夹角的大小为，则，所以直线与平面夹角的正弦值为，综上所述，直线与平面夹角的正弦值为或．16.若数列满足条件：存在正整数，使得对一切都成立，则称数列为级等差数列．（1）若数列为2级等差数列，且前四项分别为，，，，求数列的前项和；（2）若，且是3级等差数列，求数列的前项和．解：（1）因为数列为2级等差数列，所以，对一切都成立，因为，，若为奇数，由可知奇数项是常数列；若为偶数，由可知偶数项是首项为0，公差为4的等差数列；所以．（2）因为是3级等差数列，所以，对一切都成立，所以，，所以或，当时，，当时，，，又因为，所以，此时由于，所以，所以．17.已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）设函数有两个极值点，且，若恒成立，求最小值．解：（1）当时，有，令，即，解得或，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增；所以时，取得极大值，极大值为，时，取得极小值，极小值为.（2）因为，所以由已知函数有两个极值点，所以方程有两个相异正根所以，即或，又，所以，，所以；所以对称轴为，二次函数与轴交点为、，且，所以在对称轴的右侧，则有，因为，即，所以，其中，令，则，令，解得均不在定义域内，所以时，，在上单调递减，，所以，即最小值为.18.已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点．（1）求面积的最大值；（2）求与面积之比的最大值．解：（1）设，，设直线的方程为，联立方程组，得，所以，，则，点到直线距离为：，所以，令，则，当即时面积取得最大值，所以面积的最大值为.（2）设，，，设直线的方程为，联立方程组，得，即所以，即，同理可得：，所以化简得：，当时，取得最大值.19.在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示,其中，而在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：（1）求出维“立方体”的