河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期中考试试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.函数的导数（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由函数求导得，.故选：A．2.是等差数列的前n项和，若，，则（）A.43 B.44 C.45 D.46〖答案〗C〖解析〗由，，可得且，即且，所以.故选：C.3.函数图象如图所示，下列关系正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗根据题意的几何意义为在点B处切线的斜率，的几何意义为在点A处切线的斜率，，其几何意义为割线AB的斜率，则有．故选：C4.在一组样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A.-1 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为这组样本数据的所有样本点都在直线上，所以这组样本数据完全负相关，其相关系数是-1．故选：A．5.已知数列为等比数列，，则（）A. B.C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因为为等比数列，则公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，则，故.故选：C.6.若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）A.22 B.24 C.26 D.28〖答案〗B〖解析〗由题意，设等比数列的公比为，因为成等比数列，可得，又因为，即所以，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.7.刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（）元．A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设小明每个月所要还款的钱数为元，根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：，第二个月末所欠银行贷款数为：；．．．，第12个月末所欠银行贷款为：；由于分12次还清所有的欠款，所以，解得.故选：D．8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p（p＞1）满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（）A.16 B.22 C.23 D.25〖答案〗B〖解析〗因为二二数之剩一的数为的形式，三三数之剩一的数为的形式，其中，则数列的项即为以上两类数的公共项，即为的形式，，即，因，故数列是等差数列，于是，，则当且仅当，即时取等号．即时，取得最小值22.故选：B．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若数列是等比数列，且，则下列结论正确的是（）A.数列是等比数列B.数列是等比数列C.数列是等比数列D.数列是等比数列〖答案〗AC〖解析〗设等比数列的公比为，因为，所以，对于A，，所以数列是等比数列，故A正确；对于B，当时，等比数列为正项常数列，此时，所以数列不等比数列，故B错误；对于C，，所以数列是等比数列，故C正确；对于D，，所以数列是等差数列，故D错误．故选：AC．10.小明研究函数的图象与导函数，经查阅资料，发现具有下面的性质：若函数在上的导函数为，且在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．请你根据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗对于A，，其导数，则有，不符合“凹函数”的定义，故A错误；对于B，，定义域为R，其导数，则，在定义域R上不恒成立，不符合“凹函数”的定义，故B错误；对于C，，定义域为R，其导数，则有在R上恒成立，符合“凹函数”的定义，故C正确；对于D，，定义域为，其导数，则有在上恒成立，符合“凹函数”的定义，故D正确．故选：CD．11.已知等差数列的公差，数列为正项等比数列，且，，则下列结论正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗设正项等比数列的公比为，由得：，，又，；对于A，，设，，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，又，，即，A错误；对于B，，，B正确；对于C，由得：，，即，又，，，设，则，在上单调递增，，，即，C正确；对于D，由得：，，即，又，，；设，则，在上单调递减，，，即，D正确.故选：BCD.12.设数列为正项等比数列，为公比，为前项的积，且，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.与均为的最大值〖答案〗ABD〖解析〗为正项等比数列，，，；对于A，，，，，，又，，A正确；对于B，，，B正确；对于C，，又，，，即，C错误；对于D，，，当且时，；当且时，；又，当或时，取得最大值，即与均为的最大值，D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知数列{an}的前5项依次为，则的一个通项公式为____________________．〖答案〗〖解析〗根据题意，数列的前5项依次为，即，则的一个通项公式为，故〖答案〗为：14.已知，则______，〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，则.故〖答案〗为：.15.垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措．某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列正确说法的序号是_____．234522.33.4①变量之间呈正相关关系；②可以预测当时，值为6.88；③表中的值为3.9；④样本中心点为．〖答案〗①②④〖解析〗对于①中，由关于的线性回归方程为，可得，所以变量之间呈正相关关系，所以①正确；对于②中，由关于的线性回归方程为，当时，可得，所以②正确；对于③中，由表格中的数据，可得，，可得，解得，所以③错误；对于④中，由，，即样本中心点为，所以④正确.故〖答案〗为：①②④.16.已知数列满足，且前12项和为134，则_____．〖答案〗1〖解析〗因为，当n为奇数时，，即，，可得；当n为偶数，即，可得，则前12项和为，解得．故〖答案〗为：1四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知曲线．（1）求与直线平行，且与曲线相切的直线方程；（2）设曲线上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围．解：（1），，令，解得：；当时，，切线方程为：，即；当时，，切线方程为：，即；综上所述：所求直线方程为或.（2）由（1）知：，，又，.18.已知数列的前项和．（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前项和．解：（1）因为，所以时，，当时，适合上式，故，所以时，，故数列是以为首项，以2为公差的等差数列；（2），当时，，则当时，，故.19.已知公差不为0的等差数列，前n项和为，且，_____．现有条件：；；．请从这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解决下面问题．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）解：（1）设等差数列的公差为d，选条件，可得，，又，解得，所以；选条件可得，，又，解得（舍去），所以；选条件可得，，又，解得，所以.（2），所以＝．20.为了了解高中学生课后自主学习数学时间x（分钟/每天）和他们的数学成绩y（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．表一编号12345学习时间x3040506070数学成绩y65788599108（1）经分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请求出线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩．（参考数据：，，的方差为200）（2）基于上述调查，某校提倡学生周末自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末自主学习以及成绩是否有进步进行统计，得到2×2列联表（表二）．依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关．表二没有进步有进步合计参与周末自主学习35130165末参与周末自主学习253055合计60160220附：，，0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解：（1），，又的方差为，所以，，故，当时，，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140；（2）零假设为H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关，根据数据，计算得到：，∵，∴依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．21.设函数，过点作轴的垂线交函数图象于点，以为切点作函数图象的切线交轴于点，再过作轴的垂线交函数图象于点，，以此类推得点，记的横坐标为，．（1）证明数列为等比数列并求出通项公式；（2）设直线与函数的图象相交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和．解：（1）函数，，以点为切点的切线方程为：，当时，，即，又，数列是以为首项，为公比的等比数列,.（2）由题意得：，，…①，则…②，①②得：，.22.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．（1）求；（2）若，求n的最小值；（3）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由．解：（1）原数列有3项，经第1次“和扩充”后的项数；经第2次“和扩充”后的项数；（2）数列的每一次“和扩充”是在原数列的相邻两项中