2023-2024学年湖北省五市州高一数学（下）期末考试卷附答案解析

2023-2024学年湖北省五市州高一数学（下）期末考试卷全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（

）A． B． C． D．2．当时，曲线与直线的交点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．已知，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．已知，，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．5．如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（

）A． B． C． D．6．已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（

）A． B． C． D．7．（

）A． B． C． D．8．已知函数，下面关于函数的图象与性质描述正确的是（

）A．函数的图象关于轴对称B．函数的最小正周期为C．方程在上有5个不同的实根D．恒成立二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学统计了某校高一男生的身高数据（单位：），并整理得到下表身高频数60120180240100根据表中数据，下列说法正确的是（

）A．该校高一年级男生身高的中位数小于B．该校高一年级男生身高的众数和中位数相同C．该校高一年级男生身高的极差介于至之间D．该校高一年级男生身高的平均数介于到之间10．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）满足函数关系：（，，），某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下（其中，，，为未知数），则下列有关函数的描述正确的是（

）0000A．函数的图象关于点对称B．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到C．函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4D．函数的图象与函数的图象重合11．在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（

）A．若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值B．三棱锥外接球的半径为C．若与平面，平面，平面所成的角分别为（），则D．若平面与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，则．13．在中，，，则中最小角的余弦值为．14．设，，若，则称为离实数最近的整数，记作，即，如．另外，定义表示不超过的最大整数，如．令，，当时，如果存在（）满足，那么．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知的内角A，，所对的边分别为，，，且最大，．(1)求；(2)若边上的高为4，求面积的最小值．16．已知函数．(1)求函数的最值与单调递增区间；(2)若方程在上恰有4个不同的实数根，求的值．17．在三棱锥中，，，，.点在平面上的射影恰好在上.(1)若为线段的中点，求证：平面；(2)求二面角的余弦值.18．某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖，，三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.

(1)求的值；(2)若去年小明家的月均用电量为，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？(3)通过进一步计算抽样的样本数据，得到A区样本数据的均值为213，方差为24.2；B区样本数据的均值为223，方差为12.3；C区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）19．在直三棱柱中，，，，点是平面上的动点．(1)若点在线段上（不包括端点），设为异面直线与所成角，求的取值范围；(2)若点在线段上，求的最小值；(3)若点在线段上，作平行交于点，是上一点，满足．设，记三棱锥的体积为．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．据此，判断函数在定义域内是否存在，使得函数在上的图象是中心对称图形，若存在，求及对称中心；若不存在，说明理由．1．C【分析】根据复数的除法法则计算．【详解】由题意，故选：C．2．A【分析】结合函数图象，函数的单调性得出结论．【详解】作出函数和的图象，记，，函数在上递减，在上递增，，，，结合图象知在上有两个交点，故选：A．3．B【分析】根据投影向量的定义及向量的坐标运算求解．【详解】由已知，，在上的投影向量为，故选：B．4．B【分析】根据复数的运算及复数、复数的模的概念判断各选项．【详解】选项A，取，满足，但不成立，A错；选项B，设，，则，B正确．选项C，取，满足，但，C错；选项D，取，则，，D错；故选：B．5．D【分析】利用三角形相似，即可求解.【详解】由图象可知，，则，即，所以.故选：D6．D【分析】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解.【详解】因为，，，又与的夹角为，所以，即，解得：.故选：D.7．A【分析】利用两角和与差的余弦公式，正弦的二倍角公式及诱导公式变形可得．【详解】．故选：A．8．C【分析】根据对称性，周期性，最值举例说明ABD错误，解方程判断C正确．【详解】选项A，，，即不可能恒成立，A错；选项B，，即不可能恒成立，B错；选项C，，由得或，，则由得，由得，即在上有5个不同的实根，C正确；选项D，，D错．故选：C．9．AC【分析】根据统计表．结合中位数定义判断A（利用频数），再由众数定义判断B，由极差定义判断C，求出身高期望值判断D．【详解】选项A，由统计表，身高小于170的频数为360，身高不小于170的频数为340，因此身高的中位数小于170，A正确；选项B，由统计表身高的众数在区间上，结合选项A的判断知B错误；选项C，由统计表，身高的极差最大为，最小为，C正确；选项D，身高的平均值为，D错．故选：AC．10．BC【分析】根据五点法求出的解析式，然后结合正弦函数的性质，诱导公式判断各选项．【详解】由五点法知，从而，，由正弦函数性质知，，，，，所以，选项A，，A错；选项B，，其图象可由的图象向右平移个单位得到，B正确；选项C，函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为，C正确；选项D，，D错．故选：BC．11．ACD【分析】对于A，连接交于点，连接，可证得∥平面，进而进行判断，对于B，根据线面垂直的判定定理可证得平面，设为等边三角形的外心，过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上，然后求解，对于C，取的中点，连接，可得与平面，平面，平面所成的角分别，然后求它们的余弦值即可，对于D，由题意可得平面平面，平面平面，为二角面的平面角，为二面角的平面角，然后求出它们的正弦值判断.【详解】对于A，连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为的中点，因为是的中点，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为是线段上的动点，所以点到平面的距离为定值，因为的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以A正确，对于B，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，由选项A可知∥，所以，，因为，平面，所以平面，设为等边三角形的外心，则,过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上，设球心为，连接，过作于，则，，设三棱锥外接球的半径为，则，设，则，因为，所以，解得，，所以B错误，对于C，取的中点，连接，则∥，∥，所以平面，平面，因为平面，所以与平面，平面，平面所成的角分别，因为，所以，所以，即，所以C正确，对于D，因为∥，∥，所以∥，所以平面就是平面，因为平面，平面，平面，所以平面平面，平面平面，因为平面，平面，所以，所以为二角面的平面角，为二面角的平面角，，，所以平面与上下两个底面所成二面角的正弦值为，与前后两个平面所成二面角的正弦值为，与左右两个平面所成二面角的正弦值为，所以，所以D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直，面面垂直，考查线面角，面面角，解题的关键是根据正方体的性质结合线面角和面面角的定义找出线面角和面面角，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.12．【分析】由两角和的正切公式计算．【详解】，故答案为：．13．##【分析】根据数量积的定义化简已知式后求解．【详解】因为，所以，又，所以，即，因此最小，且，故答案为：．14．2024【分析】由函数与为偶函数，只需考虑的情形，然后设，，，分类讨论确定的值，再求和．【详解】由题意与为偶函数，只需考虑的情形，设，时，由定义知，，时，，，，时，，，，，所以（），由偶函数对称性可知，．故答案为：2024.【点睛】方法点睛：本题考查函数新定义，关键是正确理解新定义并进行转化应用，解题方法是根据新定义对的值进行分类讨论，从而确定函数值并判断是否有．15．(1)(2)16【分析】（1）利用两你用和与差的正弦公式对已知等式变形可求得角；（2）由面积建立的关系，利用基本不等式求得的最小值，得面积最小值．也可用角表示出边，然后利用正弦函数性质得面积的最小值．【详解】（1）因为，所以．．．因为最大，所以，从而，即，所以，即或（舍）从而．（2）法一：设面积为，，因为，所以，又，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，面积的最小值为16．法二：由边上的高为4，可得，即，同理，，当且仅当即时取等号．面积的最小值为16．16．(1)最大值，最小值，单调递增区间为，．(2)或．【分析】（1）由三角公式化简函数为形式，然后根据正弦函数的性质求解；（2）方程化为或，求得在上有三个根，因此在上有且仅有一个不同于的实数根，从而根据正弦函数性质可得结论．【详解】（1）由题意，化简得，当，时，即，，取得最大值；当，时，即，，取得最小值；当，时，即，，单调递增．所以的最大值，最小值，单调递增区间为，．（2）由题意，或．因为，当时，所以，即，或或，可得．所以在上有且仅有一个不同于的实数根．所以或．17．(1)证明见解析(2).【分析】（1）连接，，由平面，得，再由中位线定理得平行从而得，从而证得线面垂直；（2）作于，连接，证明即为二面角的平面角，然后在直角三角形中求解.【详解】（1）证明：连接，，平面，平面，平面，，，又，为中点.又为中点，又，，，平面，平面.（2）作于，连接，平面，平面，则，又因为，平面，平面，而平面，.又，为的中点，所以，又，.则即为二面角的平面角.在中，.设，，则.因为，在中，，则，，.18．(1)(2)不正确(3)【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【详解】（1）根据频率和为1，可知，可得.（2）由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为，，所以85%分位数位于内，从而85%分位数为.所以小明的估计不正确.（3）由题意，A区的样本数为，样本记为，，，，平均数记为；B区的样本数，样本记为，，，，平均数记为；C区样本数为，样本记为，，，，平均数记为.记抽取的样本均值为，.设该市第二档用户的月均用电量方差为，则根据方差定义，总体样本方差为因为，所以，同理，，因此，代入数据得.19．(1)；(2)5；(3)存在，对称中心为，．【分析】（1）作交于，确定异面直线所成角，再利用余弦定理求解即得.（2）把矩形与置于同一平面，再求出点到直线的距离即可.（3）求出，结合给定信息，利用奇函数建立方程求解即可.【详解】（1）在直三棱柱中，，作交于，连接，则为异面直线与所成角或其补角，设，，由，得，则，，，在中，，由，得