高三数学综合训练复习题5

广州育才中学高三数学各类题型综合训练系列二次函数和不等式方程1.解关于的不等式：(1)x2－(a＋1)x＋a＜0，(2)．2设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，试求k的取值范围．3．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．4．已知二次函数y＝x2＋px＋q，当y＜0时，有－＜x＜，解关于x的不等式qx2＋px＋1＞0．5．若不等式的解集为，求实数p与q的值．6.设，若，，,试证明：对于任意，有.7.（经典题型，非常值得训练）设二次函数，方程的两个根满足.当时，证明.8.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.9.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.10.已知实数t满足关系式(a>0且a≠1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)若x∈(0,2时，y有最小值8，求a和x的值.11.如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.12.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证：(1)pf()<0;(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？14.已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1；(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；15.设二次函数，方程的两个根满足.且函数的图像关于直线对称，证明：.16.已知二次函数，设方程的两个实数根为和.（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，，求的取值范围.17.设,，,求证：(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；(Ⅱ)方程在（0，1）内有两个实根.18.已知二次函数的图象如图所示：（1）试判断及的符号；（2）若|OA|＝|OB|，试证明。19.为何值时，关于的方程的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。20.证明关于的不等式与，当为任意实数时，至少有一个桓成立。21.已知关于的方程两根为，试求的极值。22.若不等式对一切x恒成立，求实数m的范围.23.设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx2+bx+a<0的解集.答案：1.解：(1)原不等式可化为：若a＞1时，解为1＜x＜a，若a＞1时，解为a＜x＜1，若a=1时，解为(2)△=．①当，△＞0．方程有二实数根：∴原不等式的解集为①当=±4时，△=0，两根为若则其根为－1，∴原不等式的解集为．若则其根为1，∴原不等式的解集为．②当－4＜时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．2．解：，比较因为(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}.(2)当k=1时，x.(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=.B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式，(1)当k=0时，.(2)当k＞0时，△＜0，x.(3)当k＜0时，.故：当时，由B=R，显然有A，当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，.综上所述，k的取值范围是：3..解：(１)当m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时，①若m＝3，原不等式解集为R②若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0∴原不等式解集为｛x｜x＜＝，不合题设条件.(２)若m2－2m－3≠0，依题意有即∴－＜m＜3综上，当－＜m≤3时，不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R.4..解：由已知得x1＝－，x2＝是方程x2＋px＋q=0的根，∴－p=－＋q=－×∴p＝，q＝－，∴不等式qx2＋px＋1＞0即－x2＋x＋1＞0∴x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3.即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝.5.．解：由不等式的解集为，得2和4是方程的两个实数根，且．(如图)解得6.解：∵,∴,∴.∴当时，当时，7.证明：由题意可知.,∴,∴当时，.又,∴,综上可知，所给问题获证.8.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得∴.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)9.(1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=.|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)∵的对称轴方程是.∈(－2,－)时，为减函数∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈().10..解：(1）由loga得logat－3=logty－3logta由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=,∴logay=x2－3x+3，即y=a(x≠0).(2)令u=x2－3x+3=(x－)2+(x≠0),则y=au①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8，则u=(x－)2+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.②若a>1,要使y=au有最小值8，则u=(x－)2+,x∈(0,2应有最小值∴当x=时，umin=,ymin=由=8得a=16.∴所求a=16,x=.11.解：∵f(0)=1>0(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.(2）当m>0时，则解得0＜m≤1综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.12.证明：(1),由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0.(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r①当p＜0时，由(1）知f()＜0若r>0,则f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)内有解;若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解.②当p＜0时同理可证.13..解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－)2+1612.5∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.14.解(1)|c|＝|f(0)|≤1(因为0∈[－1，1])．所以当－1≤x≤1时，15.解：由题意.它的对称轴方程为由方程的两个根满足,可得且,∴，即，而故.16.解：设，则的二根为和.由及，可得，即，即两式相加得，所以，;（2）由,可得.又，所以同号.∴，等价于或,即或解之得或.17.证明：（=1\*ROMANI）因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.（=2\*ROMANII）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.18.解析：解本题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与轴交点个数）及函数零点（方程）的有关知识，即（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与轴交点个数，立即可得：，。（2）由方程结论19.解析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两根为则1）；（2）；（3）；4）；（5）。20.解析：证明不等式恒成立，实质是证明对应抛物线恒在轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒在轴上方或下方的充要条件即可。即由恒成立对应抛物线恒在轴下方；由恒成立对应抛物线恒在轴上方。因此,当为任意实教时，上述两充要条件至少有一个成立，