2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库62

第2讲古典概型一、填空题1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．解析分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b>a的有3种取法，故所求事件的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案eq\f(1,5)2．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为________．解析试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36(个)基本事件．事件点P在x＋y＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)3．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________．解析要及格必须答对2道或3道题，共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(3,3)＝7(种)情形，故P＝eq\f(7,C\o\al(3,5))＝eq\f(7,10).答案eq\f(7,10)4．从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中至少有一人是女生的概率是eq\f(34,35)，则n＝________．解析三人中没有女生的概率为eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,n＋3))，∴三人中至少有一人是女生的概率为1－eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,n＋3)).由题意得1－eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,n＋3))＝eq\f(34,35)，解得n＝4.答案n＝45．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二位走的是男同学的概率是________．解析每个同学均可能在第二位走，故共有4种情况，而男同学有2个，故所求概率为P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)6．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是________．解析：从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)7．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是________．解析正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本事件，所以概率等于eq\f(5,18).答案eq\f(5,18)8．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为________．解析基本事件为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)…，(8，8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为eq\f(3,64).答案eq\f(3,64)9．连掷两次骰子分别得到点数m，n，向量a＝(m，n)，若b＝(－1,1)，△ABC中eq\o(AB,\s\up6(→))与a同向，eq\o(CB,\s\up6(→))与b反向，则∠ABC是钝角的概率是________．解析∵∠ABC是钝角，向量a＝(m，n)，b＝(－1,1)夹角为锐角，∴n－m>0，m<n，∴包含15个基本事件，又共有36个基本事件，∴∠ABC是钝角的概率是eq\f(5,12).答案eq\f(5,12)10．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析6节课共有Aeq\o\al(6,6)种排法，按要求共有三类排法，一类是三门文化课排列，有两个空，插入2节艺术课，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)×2种排法；第二类，三门文化课排列有两个空，插入1节艺术课，有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(1,3)·2Aeq\o\al(3,3)种排法；第三类，三门文化课相邻排列，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)种排法．则满足条件的概率为eq\f(2A\o\al(3,3)A\o\al(2,3)＋A\o\al(3,3)A\o\al(1,3)·2A\o\al(3,3)＋A\o\al(3,3)A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)二、解答题11．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率．解将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)＝1－eq\f(9,36)＝eq\f(3,4)；即两数中至少有一个奇数的概率为eq\f(3,4).(2)基本事件总数为36，点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C包含8个事件，所以P(C)＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).即点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率为eq\f(2,9).12．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．解(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f＝eq\f(35,70)＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185cm之间的概率P＝0.5.(3)样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为：故从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率P2＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).13．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．解(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴eq\f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，这6位同学成绩的方差s2＝eq\f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为eq\f(4,10)＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.14．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．解(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝eq\f(1,6)，