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文档简介
第2讲古典概型一、填空题1.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是________.解析分别从两个集合中各取一个数,共有15种取法,其中满足b>a的有3种取法,故所求事件的概率P=eq\f(3,15)=eq\f(1,5).答案eq\f(1,5)2.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标,则点P在直线x+y=5下方的概率为________.解析试验是连续掷两次骰子,故共包含6×6=36(个)基本事件.事件点P在x+y=5下方,共包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6个基本事件,故P=eq\f(6,36)=eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)3.在一次招聘口试中,每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答,答对其中2道题即为及格,若一位考生只会答5道题中的3道题,则这位考生能够及格的概率为________.解析要及格必须答对2道或3道题,共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)+Ceq\o\al(3,3)=7(种)情形,故P=eq\f(7,C\o\al(3,5))=eq\f(7,10).答案eq\f(7,10)4.从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛,已知三人中至少有一人是女生的概率是eq\f(34,35),则n=________.解析三人中没有女生的概率为eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,n+3)),∴三人中至少有一人是女生的概率为1-eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,n+3)).由题意得1-eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,n+3))=eq\f(34,35),解得n=4.答案n=45.下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学,如果没有2位同学一块走,则第二位走的是男同学的概率是________.解析每个同学均可能在第二位走,故共有4种情况,而男同学有2个,故所求概率为P=eq\f(2,4)=eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)6.某种饮料每箱装6听,其中有4听合格,2听不合格,现质检人员从中随机抽取2听进行检测,则检测出至少有一听不合格饮料的概率是________.解析:从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个,而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件,所以检测到不合格饮料的概率为P=eq\f(9,15)=eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)7.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是________.解析正方形四个顶点可以确定6条直线,甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线),包括10个基本事件,所以概率等于eq\f(5,18).答案eq\f(5,18)8.一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和不小于15的概率为________.解析基本事件为(1,1),(1,2),…,(1,8),(2,1),(2,2)…,(8,8),共64种.两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),∴所求概率为eq\f(3,64).答案eq\f(3,64)9.连掷两次骰子分别得到点数m,n,向量a=(m,n),若b=(-1,1),△ABC中eq\o(AB,\s\up6(→))与a同向,eq\o(CB,\s\up6(→))与b反向,则∠ABC是钝角的概率是________.解析∵∠ABC是钝角,向量a=(m,n),b=(-1,1)夹角为锐角,∴n-m>0,m<n,∴包含15个基本事件,又共有36个基本事件,∴∠ABC是钝角的概率是eq\f(5,12).答案eq\f(5,12)10.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答).解析6节课共有Aeq\o\al(6,6)种排法,按要求共有三类排法,一类是三门文化课排列,有两个空,插入2节艺术课,有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)×2种排法;第二类,三门文化课排列有两个空,插入1节艺术课,有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(1,3)·2Aeq\o\al(3,3)种排法;第三类,三门文化课相邻排列,有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)种排法.则满足条件的概率为eq\f(2A\o\al(3,3)A\o\al(2,3)+A\o\al(3,3)A\o\al(1,3)·2A\o\al(3,3)+A\o\al(3,3)A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))=eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)二、解答题11.将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求:(1)两数中至少有一个奇数的概率;(2)以第一次向上的点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率.解将一颗骰子先后抛掷2次,此问题中含有36个等可能基本事件.(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B,则事件B与“两数均为偶数”为对立事件,所以P(B)=1-eq\f(9,36)=eq\f(3,4);即两数中至少有一个奇数的概率为eq\f(3,4).(2)基本事件总数为36,点(x,y)在圆x2+y2=15的内部记为事件C,则C包含8个事件,所以P(C)=eq\f(8,36)=eq\f(2,9).即点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率为eq\f(2,9).12.为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:(1)估计该校男生的人数;(2)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;(3)从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm之间的概率.解(1)样本中男生人数为40,由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知,样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人),样本容量为70,所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率f=eq\f(35,70)=0.5.故由f估计该校学生身高在170~185cm之间的概率P=0.5.(3)样本中身高在180~185cm之间的男生有4人,设其编号为①②③④,样本中身高在185~190cm之间的男生有2人,设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为:故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15,至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9,因此,所求概率P2=eq\f(9,15)=eq\f(3,5).13.在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6,及这6位同学成绩的标准差s;(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率.解(1)∵这6位同学的平均成绩为75分,∴eq\f(1,6)(70+76+72+70+72+x6)=75,解得x6=90,这6位同学成绩的方差s2=eq\f(1,6)×[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49,∴标准差s=7.(2)从前5位同学中,随机地选出2位同学的成绩有:(70,76),(70,72),(70,70),(70,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共10种,恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有:(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共4种,所求的概率为eq\f(4,10)=0.4,即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.14.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;(2)设ξ=m2,求ξ的分布列及其数学期望E(ξ).解(1)由x2-x-6≤0得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件为:(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).(2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,所以ξ=m2的所有不同取值为0,1,4,9,且有P(ξ=0)=eq\f(1,6),
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