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文档简介
专题二三角函数第1讲三角函数的图象与性质一、选择题1.(2016·四川卷)为了得到函数y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动eq\f(π,3)个单位长度B.向右平行移动eq\f(π,3)个单位长度C.向左平行移动eq\f(π,6)个单位长度D.向右平行移动eq\f(π,6)个单位长度解析:∵y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))=sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,6))),∴将函数y=sin2x的图象向右平行移动eq\f(π,6)个单位长度,可得y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))的图象.答案:D2.若函数f(x)=sinax+eq\r(3)cosax(a>0)的最小正周期为2,则函数f(x)的一个零点为()A.-eq\f(π,3) B.eq\f(2,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3),0)) D.(0,0)解析:f(x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax+\f(π,3))),∵T=eq\f(2π,a)=2,∴a=π.∴f(x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx+\f(π,3))),∴当x=eq\f(2,3)时,f(x)=0.答案:B3.把函数y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,6)))图象上各点的横坐标缩小到原来的eq\f(1,2)(纵坐标不变),再将图象向右平移eq\f(π,3)个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为()A.x=-eq\f(π,2) B.x=-eq\f(π,4)C.x=eq\f(π,8) D.x=eq\f(π,4)解析:由题意知y=sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,3)))+\f(π,6)))=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,2)))=-cos2x,验证可知x=-eq\f(π,2)是所得图象的一条对称轴.答案:A4.(2016·北京卷)将函数y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))图象上的点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),t))向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y=sin2x的图象上,则()A.t=eq\f(1,2),s的最小值为eq\f(π,6)B.t=eq\f(\r(3),2),s的最小值为eq\f(π,6)C.t=eq\f(1,2),s的最小值为eq\f(π,3)D.t=eq\f(\r(3),2),s的最小值为eq\f(π,3)解析:∵点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),t))在函数y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))的图象上,∴t=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,4)-\f(π,3)))=sineq\f(π,6)=eq\f(1,2).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(1,2))).将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-s,\f(1,2))).∵P′在函数y=sin2x的图象上,∴sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-s))=eq\f(1,2),即cos2s=eq\f(1,2),∴2s=2kπ+eq\f(π,3)或2s=2kπ+eq\f(5,3)π,即s=kπ+eq\f(π,6)或s=kπ+eq\f(5π,6)(k∈Z),∴s的最小值为eq\f(π,6).答案:A5.(2016·山西临汾一中3月模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0,|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示,则函数y=f(x)+ω的图象的对称中心坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)kπ+\f(π,24),\f(3,2)))(k∈Z)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3kπ-\f(3π,8),\f(2,3)))(k∈Z)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kπ+\f(5π,8),\f(3,2)))(k∈Z)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)kπ-\f(3π,8),\f(2,3)))(k∈Z)解析:由题图可知eq\f(T,2)=eq\f(15π,8)-eq\f(3π,8)=eq\f(3,2)π,∴T=3π,又T=eq\f(2π,ω)=3π,∴ω=eq\f(2,3),又eq\f(2,3)×eq\f(3π,8)+φ=2kπ+eq\f(π,2),k∈Z,∴φ=2kπ+eq\f(π,4),k∈Z,又∵|φ|<eq\f(π,2),∴φ=eq\f(π,4),∴f(x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x+\f(π,4))),由eq\f(2,3)x+eq\f(π,4)=kπ,k∈Z,得x=eq\f(3,2)kπ-eq\f(3π,8),k∈Z,则y=f(x)+ω的图象的对称中心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)kπ-\f(3π,8),\f(2,3)))(k∈Z).答案:D二、填空题6.已知函数f(x)=3sin(ωx-eq\f(π,6))(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),则f(x)的取值范围是________.解析:由两个三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω=2,∴f(x)=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6))),那么当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))时,-eq\f(π,6)≤2x-eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6),∴-eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))≤1,故f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),3)).答案:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),3))7.(2016·江苏卷)定义在区间0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.解析:法一:函数y=sin2x的最小正周期为eq\f(2π,2)=π,y=cosx的最小正周期为2π,在同一坐标系内画出两个函数在0,3π]上的图象,如图所示.通过观察图象可知,在区间0,3π]上两个函数图象的交点个数是7.法二:联立两曲线方程,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=sin2x,,y=cosx,))两曲线交点个数即为方程组解的个数,也就是方程sin2x=cosx解的个数.方程可化为2sinxcosx=cosx,即cosx(2sinx-1)=0,∴cosx=0或sinx=eq\f(1,2).①当cosx=0时,x=kπ+eq\f(π,2),k∈Z,∵x∈0,3π],∴x=eq\f(π,2),eq\f(3,2)π,eq\f(5,2)π,共3个;②当sinx=eq\f(1,2)时,∵x∈0,3π],∴x=eq\f(π,6),eq\f(5,6)π,eq\f(13,6)π,eq\f(17,6)π,共4个.综上,方程组在0,3π]上有7个解,故两曲线在0,3π]上有7个交点.答案:78.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为________.解析:f(x)=sinωx+cosωx=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx+\f(π,4))),∵函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,∴f(ω)=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω2+\f(π,4)))=±eq\r(2),∴ω2+eq\f(π,4)=eq\f(π,2)+kπ,k∈Z,即ω2=eq\f(π,4)+kπ,k∈Z,又函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,所以ω2+eq\f(π,4)≤eq\f(π,2),即ω2≤eq\f(π,4),取k=0,得ω2=eq\f(π,4),所以ω=eq\f(\r(π),2).答案:eq\f(\r(π),2)三、解答题9.已知函数f(x)=eq\r(2)sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)-eq\r(2)sin2eq\f(x,2).(导学号55460108)(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-π,0]上的最小值.解:(1)∵f(x)=eq\f(\r(2),2)sinx-eq\f(\r(2),2)(1-cosx)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))-eq\f(\r(2),2),∴f(x)的最小正周期为2π.(2)∵-π≤x≤0,∴-eq\f(3π,4)≤x+eq\f(π,4)≤eq\f(π,4).当x+eq\f(π,4)=-eq\f(π,2),即x=-eq\f(3π,4)时,f(x)取得最小值.∴f(x)在区间-π,0]上的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3π,4)))=-1-eq\f(\r(2),2).10.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0,|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表:ωx+φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,3)eq\f(5π,6)Asin(ωx+φ)05-50(导学号55460109)(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12),0)),求θ的最小值.解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-eq\f(π,6).数据补全如下表:ωx+φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)eq\f(13π,12)Asin(ωx+φ)050-50且函数表达式为f(x)=5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6))).(2)由(1)知f(x)=5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6))),得g(x)=5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+2θ-\f(π,6))).∵y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-eq\f(π,6)=kπ,解得x=eq\f(kπ,2)+eq\f(π,12)-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12),0))成中心对称,令eq\f(kπ,2)+eq\f(π,12)-θ=eq\f(5π,12),解得θ=eq\f(kπ,2)-eq\f(π,3),k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值eq\f(π,6).11.设函数f(x)=sinωx+sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx-\f(π,2))),x∈R.(导学号55460110)(1)若ω=eq\f(1,2),求f(x)的最大值及相应x的集合;(2)若x=eq\f(π,8)是f(x)的一个零点,且0<ω<10,求ω的值和f(x)的最小正周期.解:由已知:f(x)=sinωx-cosωx=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx-\f(π,4))).(1)若ω=eq\f(1,2),则f(x)=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-\f(π,4))).又x∈R,则eq\r(2)sine
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