2017届高考理科数学第二轮专题复习检测19

专题二三角函数第1讲三角函数的图象与性质一、选择题1．(2016·四川卷)为了得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()A．向左平行移动eq\f(π,3)个单位长度B．向右平行移动eq\f(π,3)个单位长度C．向左平行移动eq\f(π,6)个单位长度D．向右平行移动eq\f(π,6)个单位长度解析：∵y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，∴将函数y＝sin2x的图象向右平行移动eq\f(π,6)个单位长度，可得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象．答案：D2．若函数f(x)＝sinax＋eq\r(3)cosax(a>0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为()A．－eq\f(π,3) B.eq\f(2,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0)) D．(0，0)解析：f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(π,3)))，∵T＝eq\f(2π,a)＝2，∴a＝π.∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,3)))，∴当x＝eq\f(2,3)时，f(x)＝0.答案：B3．把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))图象上各点的横坐标缩小到原来的eq\f(1,2)(纵坐标不变)，再将图象向右平移eq\f(π,3)个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为()A．x＝－eq\f(π,2) B．x＝－eq\f(π,4)C．x＝eq\f(π,8) D．x＝eq\f(π,4)解析：由题意知y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝－cos2x，验证可知x＝－eq\f(π,2)是所得图象的一条对称轴．答案：A4．(2016·北京卷)将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))图象上的点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，t))向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则()A．t＝eq\f(1,2)，s的最小值为eq\f(π,6)B．t＝eq\f(\r(3),2)，s的最小值为eq\f(π,6)C．t＝eq\f(1,2)，s的最小值为eq\f(π,3)D．t＝eq\f(\r(3),2)，s的最小值为eq\f(π,3)解析：∵点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，t))在函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象上，∴t＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,4)－\f(π,3)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(1,2))).将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－s，\f(1,2))).∵P′在函数y＝sin2x的图象上，∴sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－s))＝eq\f(1,2)，即cos2s＝eq\f(1,2)，∴2s＝2kπ＋eq\f(π,3)或2s＝2kπ＋eq\f(5,3)π，即s＝kπ＋eq\f(π,6)或s＝kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，∴s的最小值为eq\f(π,6).答案：A5．(2016·山西临汾一中3月模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示，则函数y＝f(x)＋ω的图象的对称中心坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)kπ＋\f(π,24)，\f(3,2)))(k∈Z)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3kπ－\f(3π,8)，\f(2,3)))(k∈Z)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kπ＋\f(5π,8)，\f(3,2)))(k∈Z)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)kπ－\f(3π,8)，\f(2,3)))(k∈Z)解析：由题图可知eq\f(T,2)＝eq\f(15π,8)－eq\f(3π,8)＝eq\f(3,2)π，∴T＝3π，又T＝eq\f(2π,ω)＝3π，∴ω＝eq\f(2,3)，又eq\f(2,3)×eq\f(3π,8)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，又∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,4)))，由eq\f(2,3)x＋eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，得x＝eq\f(3,2)kπ－eq\f(3π,8)，k∈Z，则y＝f(x)＋ω的图象的对称中心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)kπ－\f(3π,8)，\f(2,3)))(k∈Z)．答案：D二、填空题6．已知函数f(x)＝3sin(ωx－eq\f(π,6))(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则f(x)的取值范围是________．解析：由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，∴f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，那么当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤1，故f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))7．(2016·江苏卷)定义在区间0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．解析：法一：函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f(2π,2)＝π，y＝cosx的最小正周期为2π，在同一坐标系内画出两个函数在0，3π]上的图象，如图所示．通过观察图象可知，在区间0，3π]上两个函数图象的交点个数是7.法二：联立两曲线方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝sin2x，,y＝cosx，))两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin2x＝cosx解的个数．方程可化为2sinxcosx＝cosx，即cosx(2sinx－1)＝0，∴cosx＝0或sinx＝eq\f(1,2).①当cosx＝0时，x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∵x∈0，3π]，∴x＝eq\f(π,2)，eq\f(3,2)π，eq\f(5,2)π，共3个；②当sinx＝eq\f(1,2)时，∵x∈0，3π]，∴x＝eq\f(π,6)，eq\f(5,6)π，eq\f(13,6)π，eq\f(17,6)π，共4个．综上，方程组在0，3π]上有7个解，故两曲线在0，3π]上有7个交点．答案：78．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．解析：f(x)＝sinωx＋cosωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))，∵函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，∴f(ω)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω2＋\f(π,4)))＝±eq\r(2)，∴ω2＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，即ω2＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)，即ω2≤eq\f(π,4)，取k＝0，得ω2＝eq\f(π,4)，所以ω＝eq\f(\r(π),2).答案：eq\f(\r(π),2)三、解答题9．已知函数f(x)＝eq\r(2)sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)－eq\r(2)sin2eq\f(x,2).(导学号55460108)(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π，0]上的最小值．解：(1)∵f(x)＝eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)(1－cosx)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－eq\f(\r(2),2)，∴f(x)的最小正周期为2π.(2)∵－π≤x≤0，∴－eq\f(3π,4)≤x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,4).当x＋eq\f(π,4)＝－eq\f(π,2)，即x＝－eq\f(3π,4)时，f(x)取得最小值．∴f(x)在区间－π，0]上的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝－1－eq\f(\r(2),2).10．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,3)eq\f(5π,6)Asin(ωx＋φ)05－50(导学号55460109)(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))，求θ的最小值．解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq\f(π,6).数据补全如下表：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)eq\f(13π,12)Asin(ωx＋φ)050－50且函数表达式为f(x)＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(2)由(1)知f(x)＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，得g(x)＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2θ－\f(π,6))).∵y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－eq\f(π,6)＝kπ，解得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))成中心对称，令eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)－θ＝eq\f(5π,12)，解得θ＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值eq\f(π,6).11．设函数f(x)＝sinωx＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))，x∈R.(导学号55460110)(1)若ω＝eq\f(1,2)，求f(x)的最大值及相应x的集合；(2)若x＝eq\f(π,8)是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．解：由已知：f(x)＝sinωx－cosωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4))).(1)若ω＝eq\f(1,2)，则f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4))).又x∈R，则eq\r(2)sine