2015届高考数学第一轮基础巩固训练题5

第2讲直线与圆一、填空题1.如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝eq\f(1,2)BC，则sin∠MCA＝________.解析由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC，sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(AC,\r(AC2＋BC2))＝eq\f(AC,\r(5)AC)＝eq\f(\r(5),5).答案eq\f(\r(5),5)2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点．AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO＝________.解析∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.由此得，∠ACO＝∠CAD，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB.∴∠CAO＝40°，∴∠ACO＝40°.答案40°3.(2012·天津卷)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝eq\f(3,2)，则线段CD的长为________．解析因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以eq\f(3,4)＝eq\f(2,BD)，即BD＝eq\f(8,3).设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝eq\f(64,9)，所以x＝eq\f(4,3).答案eq\f(4,3)4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝eq\r(5)－1，则AC＝________.解析由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，所以BC∶AC＝CD∶CB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.答案25.(2012·陕西卷)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.答案56.(2012·广东卷)如图，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.解析∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB.∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AB)，∴AB2＝AD·AC＝mn，∴AB＝eq\r(mn).答案eq\r(mn)7.如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为______．解析∵AC、AD分别是两圆的切线，∴∠C＝∠2，∠1＝∠D，∴△ACB∽△DAB.∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(AB,BD)，∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.∴AB＝eq\r(8)＝2eq\r(2)(舍去负值)．答案2eq\r(2)8．(2013·湖南卷)如图，在半径为eq\r(7)的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．解析根据相交弦定理求出PC的长，过O作弦CD的垂线．由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，∴CD＝PC＋PD＝5.过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，∴OE＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,2)))2)＝eq\r(7－\f(25,4))＝eq\f(\r(3),2).答案eq\f(\r(3),2)9.(2013·重庆卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．解析在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10eq\r(3).∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5eq\r(3).由切割线定理得DC2＝DE·DB，即(5eq\r(3))2＝15DE，∴DE＝5.答案5二、解答题10.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，AC＝eq\r(5)，求AB的长．(1)证明∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝90°，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠ACO，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠ACO，∴OC∥AD.(2)解由(1)知OC∥AD且OC⊥DC，∴AD⊥DC，即∠ADC＝90°，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，∵AD＝2，AC＝eq\r(5)，∴AB＝eq\f(5,2).11.(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝eq\r(3)，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．(1)证明如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.(2)解由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC边的中垂线，所以BG＝eq\f(\r(3),2).设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径为eq\f(\r(3),2).12.如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长．(1)证明因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC.因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.(2)证明因为∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB，所以eq\f(FB,FD)＝eq\f(FA,FB)，所以