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文档简介
第2讲直线与圆一、填空题1.如图,AB是⊙O的直径,MN与⊙O切于点C,AC=eq\f(1,2)BC,则sin∠MCA=________.解析由弦切角定理得,∠MCA=∠ABC,sin∠ABC=eq\f(AC,AB)=eq\f(AC,\r(AC2+BC2))=eq\f(AC,\r(5)AC)=eq\f(\r(5),5).答案eq\f(\r(5),5)2.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点.AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D,∠DAB=80°,则∠ACO=________.解析∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD,又∵AD⊥CD,∴OC∥AD.由此得,∠ACO=∠CAD,∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO,∴∠CAD=∠CAO,故AC平分∠DAB.∴∠CAO=40°,∴∠ACO=40°.答案40°3.(2012·天津卷)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=eq\f(3,2),则线段CD的长为________.解析因为AF·BF=EF·CF,解得CF=2,所以eq\f(3,4)=eq\f(2,BD),即BD=eq\f(8,3).设CD=x,AD=4x,所以4x2=eq\f(64,9),所以x=eq\f(4,3).答案eq\f(4,3)4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,⊙O过A、B两点且与BC相切于点B,与AC交于点D,连接BD,若BC=eq\r(5)-1,则AC=________.解析由题易知,∠C=∠ABC=72°,∠A=∠DBC=36°,所以△BCD∽△ACB,所以BC∶AC=CD∶CB,又易知BD=AD=BC,所以BC2=CD·AC=(AC-BC)·AC,解得AC=2.答案25.(2012·陕西卷)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=________.解析由题意知,AB=6,AE=1,∴BE=5.∴CE·DE=DE2=AE·BE=5.在Rt△DEB中,∵EF⊥DB,∴由射影定理得DF·DB=DE2=5.答案56.(2012·广东卷)如图,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,则AB=________.解析∵PB切⊙O于点B,∴∠PBA=∠ACB.又∠PBA=∠DBA,∴∠DBA=∠ACB,∴△ABD∽△ACB.∴eq\f(AB,AC)=eq\f(AD,AB),∴AB2=AD·AC=mn,∴AB=eq\r(mn).答案eq\r(mn)7.如图,⊙O和⊙O′相交于A、B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC=2,BD=4,则AB的长为______.解析∵AC、AD分别是两圆的切线,∴∠C=∠2,∠1=∠D,∴△ACB∽△DAB.∴eq\f(BC,AB)=eq\f(AB,BD),∴AB2=BC·BD=2×4=8.∴AB=eq\r(8)=2eq\r(2)(舍去负值).答案2eq\r(2)8.(2013·湖南卷)如图,在半径为eq\r(7)的⊙O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为________.解析根据相交弦定理求出PC的长,过O作弦CD的垂线.由相交弦定理得PA·PB=PC·PD.又PA=PB=2,PD=1,则PC=4,∴CD=PC+PD=5.过O作CD的垂线OE交CD于E,则E为CD中点,∴OE=eq\r(r2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,2)))2)=eq\r(7-\f(25,4))=eq\f(\r(3),2).答案eq\f(\r(3),2)9.(2013·重庆卷)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为________.解析在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,∴∠ABC=30°.∵AB=20,∴AC=10,BC=10eq\r(3).∵CD为切线,∴∠BCD=∠A=60°.∵∠BDC=90°,∴BD=15,CD=5eq\r(3).由切割线定理得DC2=DE·DB,即(5eq\r(3))2=15DE,∴DE=5.答案5二、解答题10.如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB,AD⊥CD.(1)求证:OC∥AD;(2)若AD=2,AC=eq\r(5),求AB的长.(1)证明∵直线CD与⊙O相切于点C,∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°,∵AO=CO,∴∠OAC=∠ACO,∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠OAC,∴∠DAC=∠ACO,∴OC∥AD.(2)解由(1)知OC∥AD且OC⊥DC,∴AD⊥DC,即∠ADC=90°,连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ADC=∠ACB,又∵∠DAC=∠BAC,∴△ADC∽△ACB,∴eq\f(AD,AC)=eq\f(AC,AB),∵AD=2,AC=eq\r(5),∴AB=eq\f(5,2).11.(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=eq\r(3),延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.(1)证明如图,连接DE,交BC于点G.由弦切角定理,得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,所以BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为圆的直径,∠DCE=90°.由勾股定理可得DB=DC.(2)解由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC边的中垂线,所以BG=eq\f(\r(3),2).设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°,从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径为eq\f(\r(3),2).12.如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.(1)求证:FB=FC;(2)求证:FB2=FA·FD;(3)若AB是△ABC外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6cm,求AD的长.(1)证明因为AD平分∠EAC,所以∠EAD=∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆,所以∠DAC=∠FBC.因为∠EAD=∠FAB=∠FCB,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.(2)证明因为∠FAB=∠FCB=∠FBC,∠AFB=∠BFD,所以△FBA∽△FDB,所以eq\f(FB,FD)=eq\f(FA,FB),所以
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