高三数学总复习课时提升练测试卷32

课时提升练(三十)数列求和一、选择题1．数列{1＋2n－1}的前n项和为()A．1＋2nB．2＋2nC．n＋2n－1 D．n＋2＋2n【解析】设前n项和Sn，则Sn＝1＋20＋1＋2＋1＋22＋…＋1＋2n－1＝n＋eq\f(1－2n,1－2)＝n＋2n－1.【答案】C2．(2012·福建高考)数列{an}的通项公式an＝ncoseq\f(nπ,2)，其前n项和为Sn，则S2012等于()A．1006B．2012C．503D．0【解析】a1＝coseq\f(π,2)＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….∴数列{an}的所有奇数项为0，前2012项的所有偶数项(共1006项)依次为－2,4，－6,8，…故S2012＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2010＋2012)＝1006.【答案】A3．数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于()A．76 B．78C．80 D．82【解析】由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1得，an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，∴an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)．取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋…＋a11＋a12＝78.【答案】B4．已知函数f(x)＝xa的图像过点(4,2)，令an＝eq\f(1,fn＋1＋fn)，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2014＝()A.eq\r(2013)－1 B.eq\r(2014)－1C.eq\r(2015)－1 D.eq\r(2015)＋1【解析】由f(4)＝2得4a＝2.∴a＝eq\f(1,2)，则f(x)＝xeq\f(1,2)，∴an＝eq\f(1,fn＋1＋fn)＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，S2014＝a1＋a2＋a3＋…＋a2014＝(eq\r(2)－eq\r(1))＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(4)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(2015)－eq\r(2014))＝eq\r(2015)－1.【答案】C5．(2014·南宁模拟)数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A．(3n－1)2 B.eq\f(1,2)(9n－1)C．9n－1 D.eq\f(1,4)(3n－1)【解析】∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，故数列{aeq\o\al(2,n)}是首项为4，公比为9的等比数列．因此aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(41－9n,1－9)＝eq\f(1,2)(9n－1)．【答案】B6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝()A．6n－n2 B．n2－6n＋18C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6n－n21≤n≤3，,n2－6n＋18n＞3)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6n－n21≤n≤3，,n2－6nn＞3))【解析】∵Sn＝n2－6n，∴{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2，∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，∴n≤3时，an＜0，n＞3时，an＞0，∴Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6n－n21≤n≤3，,n2－6n＋18n＞3.))【答案】C二、填空题7．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.【解析】由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.【答案】1008．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.【解析】∵S99＝30，∴a1(299－1)＝30，∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝eq\f(4a11－833,1－8)＝eq\f(4a1299－1,7)＝eq\f(4,7)×30＝eq\f(120,7).【答案】eq\f(120,7)9．若eq\f(1＋3＋5＋…＋2x－1,\f(1,1·2)＋\f(1,2·3)＋…＋\f(1,xx＋1))＝110(x∈N*)，则x＝________.【解析】原式分子为1＋3＋5＋…＋(2x－1)＝eq\f(1＋2x－1x,2)＝x2，原式分母为eq\f(1,1·2)＋eq\f(1,2·3)＋…＋eq\f(1,xx＋1)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(x,x＋1)，故原式＝eq\f(x2,\f(x,x＋1))＝x2＋x＝110，x＝10.【答案】10三、解答题10．(2014·大纲全国卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.【解】(1)由a1＝10，a2为整数，知等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.解得－eq\f(10,3)≤d≤－eq\f(5,2).因此d＝－3.数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝eq\f(1,13－3n10－3n)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10－3n)－\f(1,13－3n))).于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－\f(1,10)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,7)))＋…＋eq\f(1,10－3n)－eq\f(1,13－3n)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10－3n)－\f(1,10)))＝eq\f(n,1010－3n).11．(2012·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9－2an,2n)))的前n项和Tn.【解】(1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－eq\f(1,2)k2＋k2＝eq\f(1,2)k2，故k2＝16，因此k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝eq\f(9,2)－n(n≥2)．又a1＝S1＝eq\f(7,2)，所以an＝eq\f(9,2)－n.(2)因为bn＝eq\f(9－2an,2n)＝eq\f(n,2n－1)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋eq\f(2,2)＋eq\f(3,22)＋…＋eq\f(n－1,2n－2)＋eq\f(n,2n－1)，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,2n－2)－eq\f(n,2n－1)＝4－eq\f(1,2n－2)－eq\f(n,2n－1)＝4－eq\f(n＋2,2n－1).12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)＋1))an(n∈N*)．(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等比数列；(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn，An＝eq\f(1,T1)＋eq\f(1,T2)＋eq\f(1,T3)＋…＋eq\f(1,Tn)，试比较An与eq\f(2,nan)的大小．【解】(1)证明：由a1＝S1＝2－3a1得a1＝eq\f(1,2)，当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1得eq\f(an,n)＝eq\f(1,2)×eq\f(an－1,n－1)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首项和公比均为eq\f(1,2)的等比数列．(2)由(1)得eq\f(an,n)＝eq\f(1,2n)，于是2n·an＝n，Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).所以eq\f(1,Tn)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，于是An＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1)，而eq\f(2,nan)＝eq\f(2n＋1,n2)，所以问题转化为比较eq\f(2n,n2)与eq\f(n,n＋1)的大小．设f(n)＝eq\f(2n,n2)，g(n)＝eq\f(n,n＋1)，当n≥4时，f(n)≥f(4)＝1，而g(n)＜1，所以f(n)＞